Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2022-05-08 | 33 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Задача 34. Сколько способов поставить по порядку 7 шаров, среди которых есть 3 красных, 2 белых, 1 жёлтый и 1 синий?
Решение. Здесь перестановка состава (3,2,1,1).
Вычисляем по формуле ,
= = = 420. Ответ. 420.
Заметим, что 24 = 4! < 420 < 7! = 5040.
Если все шары одного и того же цвета были соединены, то фактически 4 объекта и 4! способов их расположить.
Задача 35. Сколько различных последовательностей длины 3 можно составить из цифр от 0 до 9 (цифры могут повторяться)?
Решение. Размещение с повторениями, считаем по формуле , . Ответ .
(Это и есть все числа от 000 до 999).
Задача 35-А. Сколько различных «слов» длины 4 можно составить из 33 букв? Ответ = 1.185.921
Задача 36. Сколько есть способов составить новогодние наборы из 6 объектов, если есть 2 типа объектов: конфета, фрукт?
Решение. Вычисляем по формуле сочетаний с повторениями , .
.
| ФФФФФФ К | ФФФФФ КК | ФФФФ
ККК | ФФФ КККК | ФФ ККККК | Ф КККККК |
Задача 37. Сколько есть способов составить новогодние наборы из 7 объектов, если есть 3 типа объектов: конфета, фрукт, печенье?
Решение. Вычисляем по формуле сочетаний с повторениями , .
.
КК | ФФФ | ПП (черта на местах 3,7)
ККККККК | | (черта на местах 8,9).
ПРАКТИКА 7. 04.03.2021.
Задача 38. В фирме было 7 человек, занимающих разные 7 должностей. Сколько способов реорганизации может быть, чтобы каждый получил какую-то другую должность?
Решение. Вычисляем по формуле числа беспорядков, т.е. ищем количество перестановок порядка 7, не оставляющих на месте ни одно число.
= =
=
= 1854.
Заметим, что , то есть перестановок, сохраняющих хотя бы один номер, гораздо больше.
2-й способ - по рекуррентной формуле:
Доказывали, что: d(n) = (n-1) (d(n-1)+d(n-2)).
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
1 | 2 | 9 | 44 | 265 | 1854 |
Ответ. 1854.
Задача 39. Сколько существует квадратных матриц порядка 6, содержащих 6 единиц (остальные элементы нули), ровно по одной единице в каждой строке и в каждом столбце, причём на диагонали нет ни одной единицы?
Решение. Это то же самое, что число перестановок, не сохраняющих ни одного элемента, =
= =
= 265.
Ответ. 265.
Задача 40. Взаимосвязь числа размещений с повторениями и сочетаний с повторениями .
1) Выбирают наборы из 4 объектов двух сортов.
2) Выбирают наборы из 4 объектов двух сортов и располагают по порядку.
Написать все варианты и сравнить.
n=2 n-1 =1 m=4
1) Число вариантов
| 2222 1 | 222 11 | 22 111 | 2 1111 |
2) Число вариантов .
1111 1112 1121 1122
2111 2112 2121 2122
1211 1212 1221 1222
2211 2212 2221 2222
Сочетаний 5, размещений = 1+4+6+4+1
(нет 2) (одна 2) (две 2) (три 2) (четыре 2) | 1111 111 2 11 22 1 222 2222 | 1111 1112 1121 1122 2111 2112 2121 2122 1211 1212 1221 1222 2211 2212 2221 2222 |
В сумме 16 случаев , но 5 вариантов
- количество чисел в строке треугольника Паскаля,
- сумма чисел в той же строке треугольника Паскаля.
Задача 41. (число Стирлинга 2 рода). Перечислить все 15 разбиений множества из 5 элементов на 2 подмножества.
Решение. Разложения в сумму двух натуральных чисел: 1+4 и 2+3.
Заметим, что = = .
Способов выбрать одно из 5 чисел, а 4 оставить в другом подмножестве, 5 штук:
1 2345 | 2 1345 | 3 1245 | 4 1235 | 5 1234 |
Способов выбрать два числа, оставив 3 в другом подмножестве, 10:
12 345 | 13 245 | 14 235 | 15 234 |
23 145 | 24 135 | 25 134 | |
34 125 | 35 124 | ||
45 123 |
Задача 42. . Вычислить это же число Стирлинга с помощью числа сочетаний.
Решение. Сначала рассмотрим, все разложения числа 7 в сумму 4 натуральных чисел. 1+1+1+4, 1+1+2+3, 1+2+2+2.
Число Стирлинга можно найти и так:
1) Способов выбрать 4 элемента из 7 (оставшиеся 3 образуют одноэлементные подмножества) .
2) Способов выбрать 3 элемента из 7, затем 2 из 4 оставшихся (после чего прочие 2 образуют одноэлементные подмножества) .
3) Способов выбрать 2 элемента из 7, затем 2 из 5 оставшихся и после 2 из 3 оставшихся , но здесь 3 множества по 2 элемента равнозначны, нужно поделить на 3!.
Итак, общее число случаев (проверим, что оно окажется = 350).
=
= =
= = 350.
Перерыв
Задача 43. Доказать рекуррентную формулу для чисел Белла:
.
Решение. В задаче 33 мы выводили ещё одну формулу для чисел Стирлинга 2 рода: .
Формулу можно написать и в таком виде: , подразумевая, что при .
Вспомним, что по определению, число Белла есть сумма всех чисел Стирлинга в строке, то есть при всех при одном и том же , т.е. = = .
Тогда = = . Вынесем за знак внутренней суммы то, что не зависит от : = .
Во внутренней сумме остались именно числа Белла для меньшего номера, так как там сумма чисел Стирлинга в количестве, меньше или равном .
записана отдельно для удобства вычислений, так как для неё нет предшествующего столбца. Получили .
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!