Связь между компонентами и результатом действий умножения и деления.

После ознакомления со смыслом действий умножения и деления вводят соответствующую терминологию.

2 * 4= 8, где 2 – первый множитель; 4 – второй множитель; 8 –произведение

2*4 – произведение.

10: 2= 5, где 10 – делимое; 2 – делитель; 5 – частное; 10:2 – частное.

По программам Н.Б.Истоминой и  И.И.Аргинской, вводят термин «значение произведения или частного». Рассматривают три правила, отражающие связь умножения и деления.

ПРАВИЛО №1: если произведение разделить на один множитель, то получим другой множитель.

ПРАВИЛО №2: если делимое разделить на частное, то получим делитель.

ПАРВИЛО №3: если частное умножить на делитель, то получим делимое.

Эти правила выводят на основе эмпирического обобщения, т.е. через рассмотрение частных случаев.

Например, вывод правила №1: М2М, ч.2, с.72

Задание 1. Положите перед собой три ряда по 4 квадрата.

Сколько всего квадратов перед нами,

4*3=12

Соберите квадраты. Теперь у вас 12 квадратов.

Разложите их в три ряда поровну, 12:3=4

Соберите опять квадраты и разложите 12 квадратов по 4 в ряд. Сколько рядов          вы получите? 12:4=3.

4*3=12

12:4=3

12:4=3

Анализируем столбик равенств. Чем похожи? Чем отличаются? Просим прочитать 1 равенство с помощью терминов. Используя эту же терминологию, прочитайте 2 и 3 равенства. Получим первый промежуточный вывод нашего правила: если произведение разделить на один множитель, то получим другой множитель.

2. Можно рассмотреть рисунки в учебнике или на доске.

                                                          5*2=10

                                                          10:5=2

                                                          10:2=5

 

Объясните записи по рисунку. Дети объясняют так, как в первой ситуации. Затем просим прочитать 1 равенство с помощью терминов, затем с помощью этих же терминов, прочитайте 2 и 3 равенство. Получаем второй промежуточный вывод.

Задание 3. Аналогично заданиям 1 и 2.

Задание 4. Сравниваем все полученные записи и все выводы, делаем общий вывод: если произведение разделить на один множитель, то получим другой множитель.

Так же выводят правила №2 и №3. М3М ч.2 с.16.

 По рисункам составляют тройки равенств. Например:

15:5=3

5*3=15

15:3=5

Анализ равенств проводят с помощью терминов деления.

 

5. Методика изучения таблицы умножения и соответствующих случаев деления в курсе математики начальных классов.

Табличные случаи умножения и соответствующие им случаи деления учащиеся должны усвоить на уровне навыка. Это сложный и длительный процесс, в котором можно выделить два основных этапа. Первый этап связан с составлением таблиц, второй – с их усвоением, т.е. прочным запоминанием.

Так как в современной начальной школе речь идет о формировании сознательных вычислительных навыков, то составлению таблиц умножения и деления предшествует изучение теоретических вопросов, являющихся основой тех вычислительных приемов, которыми учащиеся будут пользоваться при составлении этих таблиц.

В число таких вопросов входят: смысл действия умножения как сложение одинаковых слагаемых, переместительное свойство умножения, взаимосвязь компонентов и результатов умножения, смысл деления.

Однако последовательность составления таблиц и организация деятельности учащихся, направленной на их усвоение, может быть различной.

Табличные случаи умножения учащиеся усваивают в процессе изучения смысла умножения (тема «Умножение»), переместительного свойства умножения, понятия «увеличить в несколько раз», «сочетательное свойство умножения». Это позволяет предложить детям интересные содержательные упражнения, выполнения которых способствует непроизвольному запоминанию таблицы умножения. Результаты работы по формированию табличных навыков умножения подводятся в теме «Таблица умножения», где учащимся дается задание, при выполнении которого они могут проверить, как каждый из них усвоил таблицу умножения.

Таким образом, сначала формируются навыки табличного умножения. При этом работа, связанная с составлением и усвоением таблицы умножения, распределяется во времени.

При формировании навыков табличного деления выполняются те же условия. А именно: усвоение табличных случаев деления распределено во времени и органически включается в содержательную линию курса.

Для этой цели в процессе усвоения смысла деления (тема «Деление»), правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий умножения и деления, при изучении понятия «увеличить в несколько раз» и кратного сравнения включены задания на деление чисел, при выполнении которых учащиеся используют таблицу умножения.

Составление и усвоение таблицы умножения я начинаю со случаев умножения числа 9. Это позволяет учащимся не только упражняться в сложении и вычитании двузначных и однозначных чисел с переходом через десяток (заменяя произведение суммой),но и сосредоточить внимание на сложных для запоминания случаях табличного умножения: 9*8, 9*6, 9*7, по отношению к которым дается установка на запоминание.

Учитывая, что не все дети могут непроизвольно запомнить таблицу умножения в процессе выполнения обучающих заданий, в учебнике, в определенной системе даю установки на запоминание трех-четырех табличных случаев. При этом установка на запоминание таблицы ориентирована не на последовательное увеличение второго множителя, а на запоминание определенных табличных случаев. Например, первая «порция», рекомендуемая для запоминания в таблице умножения числа 9, включает случаи: 9*5, 9*6, 9*7. В качестве опорного может выступать случай 9*6, запомнив который учащиеся могут быстро найти значение произведений 9*5 и 9*7. Но в качестве опорного может выступать и случай 9*5. От него учащиеся легко переходят к случаям 9*4 и 9*6.

Вторая «порция», рекомендуемая для запоминания, включает случаи: 9*2, 9*3, 9*4. Здесь внимание учащихся акцентируется на случае 9*3.

И наконец. Последняя «порция» включает случаи 9*8 и 9*9, где в качестве опорного может выступать случай 9*7.

Таким образом, данная методика формирования навыков табличного умножения позволяет учесть индивидуальные особенности памяти каждого ребенка, создавая условия как для непроизвольного, так и для произвольного запоминания таблицы и активизируя при этом смысловую память.

Положительную роль играет тот факт, что таблица умножения числа 9 является самой большой по объему и все случаи этой таблицы включаются в установку: «Постарайся запомнить».

Так как знакомство с переместительным свойством умножения и его использование при составлении таблицы умножения сокращает объем последующих таблиц, то один табличный случай содержится в таблице умножения числа 2 (2*2=4). Два случая в таблице умножения на 3 (3*3, 3*2). Таблица умножения числа 4 содержит случаи: 4*4, 4*3, 4*2. Запоминание этого материала не вызывает у детей затруднений.

Если же учащиеся затрудняются при вычислении значений произведений 2*6, 2*7, 2*8 то, используя переместительное свойство умножения, они получают произведения, которые были включены в установку на запоминание: 6*2, 7*2, 8*2.

Для организации самостоятельной работы учащихся, целью которой является усвоение таблицы умножения, каждый случай табличного умножения рекомендую фиксировать на карточке: на одной стороне выражение, например 9*3, а на другой его значение 27. Целесообразно на отдельные карточки занести и случаи 3*9, так как в конечном итоге ставится задача усвоения одного и другого случая на уровне навыка.\

Аналогично следует поступить со всеми случаями табличного деления. Это поможет учащимся действовать самостоятельно при запоминании табличных случаев умножения и деления и осуществлять самоконтроль.

6.Сравните различные методические подходы к составлению и заучиванию таблиц умножения и деления, используемые в альтернативных учебниках математики для начальных классов.

Рассмотрим подробнее методику традиционной программы под редакцией Моро М.И. [1, с. 88]

Усвоение смысла действия умножения и деления позволяет учащимся самостоятельно справиться с составлением таблицы умножения. Переместительное свойство умножения позволяет сократить число табличных случаев, которые нужно заучивать наизусть. Так запоминание случаев 2 · 3 гарантирует знание случая 3 · 2 и т.д. Это позволяет каждую следующую таблицу начинать со случая умножения одинаковых множителей. В результате число случаев в каждой следующей таблице сокращается:

6 · 6   6 · 7   6 · 8   6 · 9   6 · 10

Для изучения последующих случаев умножения из таблицы необходимо составить второй столбик. Как мы уже сказали, на основе переместительного свойства умножения:

7 · 6   8 · 6   9 · 6

Использование зависимости между множителями и произведением позволяет из каждого табличного случая умножения получить два табличных случая деления. В результате число в каждом следующем случае сокращается:

36: 6   42: 742: 6   48: 848: 6   54: 954: 6

При заучивании таблиц учащиеся испытывают большие трудности, связанные с большим объёмом тех случаев умножения и деления, которые сразу предлагаются учащимся для заучивания.

3 этап - запоминание таблиц.

На первом уроке учащиеся составляют все четыре столбика таблицы, которые они должны запомнить. А на последующих уроках дети выполняют разнообразные упражнения, направленные на запоминание табличных случаев деления и соответствующих случаев умножения. Для учителя на этом этапе важно умело подбирать задания, успешно решающие данную задачу.

Рассмотрим методику работы по изучению таблицы на примере умножения четырёх и соответствующих случаев деления.

4 · 4   4 · 5   4 · 6   4 · 7   4 · 8   4 · 9   4 · 10

Используя зависимость между множителями и произведением, можем из каждого табличного случая умножения получить два табличных случая деления. В результате число в каждом следующем случае сокращается:

16:4  20:520:4  24:624:4  28:728:4   32:832:4     36:936:4

В подготовительную работу можно включить упражнения на нахождение неизвестного множителя (· 2 = 8, 3 · = 15), можно повторить таблицу умножения двух и трёх и соответствующие случаи деления, надо повторить также все известные детям примеры на умножение и деление с числом 4.

Затем переходят к составлению таблицы умножения четырёх по постоянному первому множителю.

Последними составляются записи к случаю 4 · 4: здесь получаются одинаковые выражения на деление.

Далее предлагается ученикам рассмотреть все выражения первой таблицы и сказать, что интересного они заметили. Дети должны ответить, что первые множители одинаковые, вторые множители увеличиваются на единицу, а произведение на 4 единицы. Так же сравниваются записи и других столбиков. Таким образом, дети устанавливают закономерности при составлении таблиц, которая поможет им осмысленно их заучивать, а также использовать при вычислениях в соответствующих случаях умножения (на основе переместительного свойства умножения) и деления.

Заучив все табличные случаи умножения и деления, выполняют в целях закрепления упражнения.

А теперь рассмотрим особенности подхода программы «Гармония» и автора учебника математики для учащихся начальных классов Истоминой Н.Б. [14, с. 91] к формированию навыков табличного умножения и деления, в котором выделяются также три этапа, описанные нами выше.

1) Первый этап - составление и усвоение таблиц умножения и деления включается в содержательную линию курса. Табличные случаи умножения учащиеся усваиваются в процессе изучения смысла умножения. Это позволяет предложить учащимся интересные содержательные упражнения и задания, выполнение которых способствует непроизвольному запоминанию таблицы умножения». [14, с.95]. Результаты работы по формированию табличных навыков умножения подводятся на обобщающих уроках по теме «Умножение», где учащимся даётся задание, при выполнении которых они могут проверить, как каждый из них усвоил таблицу умножения. В процессе усвоения смысла деления, правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий умножения и деления включены задания на деление чисел, при выполнении которых учащиеся используют таблицу умножения и взаимосвязь между компонентами.

Следующие особенности данного подхода к формированию навыка табличного умножения и деления:

2) составление и усвоение таблицы умножения начинается со случаев умножения числа 9 (от более трудного к более лёгкому), что позволяет учащимся не только упражняться в сложении и вычитании двузначных и однозначных чисел с переходом через десяток, заменяя произведение суммой, но также сосредоточить внимание на сложных для запоминания случаях таблицы умножения: 9 · 8, 9 · 7, 9 · 6, по отношению к которым даётся установка на запоминание.

3) Учитывая, что не все дети могут непроизвольно запомнить таблицу умножения в процессе выполнения обучающих заданий, в учебнике, в определённой системе даются установки на запоминание трёх-четырёх табличных случаев. При этом установка на запоминание таблицы ориентирована на запоминание определённых табличных случаев. [14, с. 95]

4) Для организации самостоятельной работы учащихся рекомендуется фиксировать все случаи табличного умножения на карточке. Например, на одной стороне выражение, а на другой – его значение. Аналогично надо поступать со всеми случаями таблицы деления, что поможет учащимся действовать при запоминании табличных случаев умножения и деления, а также осуществлять самоконтроль». [14, с. 96]

В процессе также познакомились с подходом к интересующей нас теме в системе обучения Л.В. Занкова по учебнику И.И. Аргинской [3]. При изучении табличного умножения и деления, автором выделено только два этапа в работе учащихся:

1 этап – ознакомление с теоретическими сведениями, в том числе с порядком действия в выражениях.

2 этап – изучение таблицы умножения и деления с помощью таблицы Пифагора.

И.И. Аргинская выделяет два подхода – прямой и косвенный, давая им подробную характеристику, указывая на преимущества косвенного.

«Прямой подход характеризуется наличием готового образца выполнения изучаемой операции и большим количеством готовых тренировочных упражнений, в процессе выполнения которых ученики овладевают навыком на основе репродуктивной деятельности, где владение навыком выступает как самоцель по принципу «решай, чтобы научиться решать». Репродуктивная деятельность характеризуется тем, что учащийся получает готовую информацию, воспринимает её, понимает, осознаёт, запоминает, а затем сам воспроизводит. Основная цель этого вида деятельности – формирование у учащихся ЗУН, развитие внимания и памяти». [7, с. 20]

При работе над темой выделяется два этапа:

1. Ознакомление с действиями умножения и деления. Изучение переместительного свойства умножения. Установление связи между результатами и компонентами умножения и деления, а также между самими действиями. Ознакомление с особыми случаями умножения и деления. Знакомство с модернизированной таблицей Пифагора.

2. Изучение табличного умножения и деления. В связи с изучением случаев умножения и деления с десятками, нулём и единицей до изучения таблицы умножения и деления, у учащихся отпадает необходимость задавать вопрос: «Почему в таблице умножения нет результатов умножения с числами 1 и 10?»

После раскрытия смысла умножения и деления учитель знакомит учащихся с таблицей Пифагора. Структура этой таблицы аналогична структуре таблицы на сложение и вычитание в пределах 20, которую учащиеся изучали в 1 классе. Часть таблицы Пифагора выделена. При её удалении получится срезанная таблица Пифагора. При работе со срезанной таблицей Пифагора ученики чаще пользуются переместительным законом умножения. При работе с таблицей числа нужно искать по определённой системе:

по строкам (сверху вниз);

по столбцам (слева направо).

Это позволяет с минимальной затратой времени находить результаты таблицы умножения и деления.

Таблица умножения:

Изучение таблицы умножения всегда начинают от результата действия. Выявление всех случаев умножения и их результатов ведётся на числовых промежутках по таблице Пифагора:

от 1 до 10;4) от 31 до 40;

от 11 до 20;5) от 41 до 60;

от 21 до 30;6) от 61 до 90.

1) Выясняется, что для запоминания требуется 5 случаев:

4 68 910

2 · 2 2 · 3 2 · 4 3 · 3 2 · 5

3 · 2 4 · 2 3 · 3 5 · 2

Выделяется таблица умножения с числом 2. Ученики доказывают, как получается в таблице с числом 2 каждое последующее число (оно больше на 2 единицы). Им предлагается сразу же запомнить результат, что с числами 4 и 9 можно составить только по одному примеру на умножение и деление, а с результатами 6, 8, 10 по два примера на умножение (с помощью применения правила о переместительном свойстве умножения) и по два примера на деление.

Для запоминания выделяют 6 различных случаев. Сначала выделяют результаты таблицы умножения с числом 2, составляются примеры умножения и деления:

121416181520

2 · 6 2 · 7 2 · 8 2 · 9 3 · 5 4 · 5

3 · 4 7 · 2 4 · 4 9 · 2 5 · 3 5 · 4

4 · 3 8 · 2

6 · 2

Выделяются результаты, по которым можно составить по одному, два, три и четыре примера на умножение и деление.

В числовом промежутке от 21 до 30 предлагается для запоминания 6 чисел:

212425 2728

3 · 7 3 · 8 5 · 5 9 · 3 4 · 7

7 · 3 8 · 3 3 · 9 7 · 4

6 · 4

4 · 6

Теперь обобщается таблица умножения трёх, выделяются другие случаи. Учащиеся делают вывод, как получается в таблице умножения с числом 3 каждый последующий результат. Выделяются результаты, по которым можно составить по одному, два, четыре примера на умножение и деление.

от 31 до 40.

32 35 3640

4 · 8 5 · 7 4 · 9 5 · 8

8 · 4 7 · 5 9 · 4 8 · 5

6 · 6

Выделяется таблица умножения на 4 и составляются примеры на деление по аналогии.

от 41 до 60.

Учащиеся находят по таблице Пифагора все результаты таблицы умножения.

Работа ведётся аналогично предыдущему этапу.

42 45 48 49 54 56

6 · 7 5 · 9 6 · 8 7 · 7 6 · 9 7 · 8

7 · 6 9 · 5 8 · 6 9 · 6 8 · 7

от 61 до 90:

63 64 72 81

7 · 9 8 · 8 8 · 9 9 · 9

9 · 7 9 · 8

Аналогично составляются таблица умножения на 7, 8, 9.

Учащиеся должны понять и запомнить, что с результатами 4, 9, 25, 49, 64, 81 можно составить только по одному примеру на умножение, с результатом 16 и 36 можно составить только три примера, с результатом 12, 18, 24 можно составить по четыре примера на умножение, а по остальным результатам – по два примера.

После ознакомления с таблицей умножения с числом 2 и соответствующим случаем деления на 2 учащиеся знакомятся с понятием чётных и нечётных чисел.

После изучения всех таблиц умножения рассматриваются случаи умножения и деления с нулём. Сначала вводится случай умножения нуля на любое число (0 · 5, 0 · 7, 0 · 9). Результат учащиеся находят сложением (0 · 2 = 0 + 0 = 0). Решив ряд аналогичных примеров, ученики замечают, что при умножении нуля на любое число получается нуль. Этим правилом они в дальнейшем и руководствуются.

Если второй множитель равен нулю, то результат нельзя найти сложением, нельзя использовать и перестановку множителей, так как это новая область чисел, в которой переместительное свойство умножения не раскрывалось. Поэтому второе правило: «Произведение любого числа на нуль считают равным нулю» – учитель просто сообщает детям.

Затем оба эти правила применяются при выполнении различных упражнений на вычисления.

Деление нуля на любое число, не равное нулю, рассматривается на основе связи между компонентами и результатом умножения. В результате решения ряда примеров ученики замечают, что при делении нуля на любое число, не равное нулю, частное равно нулю. В дальнейшем учащиеся пользуются этим правилом.

Как известно, делить на нуль нельзя. Этот факт сообщается детям и поясняется на примере: нельзя 8 разделить на 0, так как нет такого числа, при умножении на нуль получится 8.

7. Рассмотрите, каким образом учащиеся знакомятся с умножением и делением с числами 0 и 1 в различных учебниках математики.