Понятие определённого интеграла

Определённый интеграл

Вычисления определённого интеграла

   Формула Ньютона-Лейбница

   Теорема. Если функция у = f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и F (x) – какая-либо её первообразная на [ a, b ] (), то выполняется равенство

                                          .                           (7.2)

    Доказательство. Пусть F (x) – первообразная функции f (x). Тогда в соответствии с приведенной выше теоремой, функция  - первообразная функция от f (x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то

при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а:

, ,

    Тогда .

     А при х = b:   

 Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – Лейбница:

Теорема доказана.

  Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов, если известна первообразная функция F (x).

  Примеры. Вычислить интеграл

1. ;

2. ;

3. .

 Рассмотрим теперь методы вычисления определенных интегралов, эти методы практически ничем не отличаются от всех тех способов, которые были рассмотрены при нахождении неопределенных интегралов.

  При вычислении определённых интегралов широко применяются метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

  Интегрирования подстановкой

   Пусть необходимо вычислить определённый интеграл , где f (x) – непрерывная функция на отрезке [a, b]. Вычисление данного интеграла будем производить методом заменой переменной x = j (t).

Теорема. Пусть 1) функция x = j (t) и её производная x ’ = j ’(t) непрерывны

                            на отрезке [ a, b ];

                       2) множество значений функции x = j (t) при  яв-

                           ляется отрезок [ a, b ];

                       3) j (a) = а, j (b) = b,

            тогда                            

                         .                               (7.3)

Доказательство. Пусть F (x) - первообразная для функции f (x) на [ a, b ].

Тогда по формуле Ньютона-Лейбница .  Так как , то  является первообразной для функции , .  Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница 

= .

  Теорема доказана.

  Формула (7.3) называется формулой замены переменной в определённом интеграле.

  Пример.

   Интегрирование по частям

  Теорема. Если непрерывные на отрезке [ a, b ] функции u = u (x) и v = v (x) имеют непрерывные на этом отрезке производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

                                                                                         (7.4)

   Вывод этой формулы совершенно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

  Формула (7.4) называется формулой интегрирования по частям для определённого интеграла.

  Пример.

= .

       

  Примеры для самостоятельного решения

  Вычислить определённый интеграл

1) .    2) .    3) .     4) .

5) . 6)  . 7)  . 8)  . 9)  . 10) .     11)  . 12) . 13) .

14) . 15) . 16) . 17) .

Примеры.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = sin x и осью Ох при . Построим данную фигуру (рис. 7.7)

Рис. 7.7.

     Используя формулу (7.5), находим искомую площадь фигуры

              (кв. ед.)

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями у = х, , х = 2.

Изобразим данную фигуру (рис. 7.8)

Рис. 7.8.

     Находим пределы интегрирования: точка пересечения линий у = х,  имеет абсциссу , следовательно, промежуток интегрирования - . По формуле (7.6) определяем площадь фигуры

 (кв. ед.)

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линями   и .

Построим фигуру, площадь которой необходимо вычислить (рис. 7.9).

    

Рис. 7.9.

Находим точку пересечения линий   и . Решаем уравнение

, имеем   или , откуда . Из рисунка видно, что пределами интегрирования являются . Определяем площадь фигуры, используя формулу (7.6)

                 (кв. ед.)

    Параметрические координаты

   Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметри-чески

                                    ,

прямыми  и  и осью Ох, то её площадь определяется по формуле

                                            ,                                     (7.7)

где α и β определяются из равенств   и .

Примеры.

1. Найти площадь фигуры ограниченной эллипсом, который задан в параметри-ческой форме

                                   .

Изображаем фигуру, площадь которой необходимо определить (рис. 7.10)

Рис. 7.10.

   Найдём четвёртую часть площади S, расположенной в первой четверти ко-ординатной плоскости (на рисунке она окрашена серым цветом). Здесь х изменяется от 0 до а и, следовательно, t изменяется от π / 2 до 0. По формуле (7.7) находим

       =

= . Таким образом, . Значит .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одно аркой циклоиды и осью Ох.

Циклоида есть траектория точки, расположенной на ободе колеса радиуса а, при равномерном качении колеса по оси Ох. При одном обороте колеса  центр колеса переместится на расстояние (рис. 7.11).

Рис. 7.11.

  Уравнение циклоиды в параметрической форме имеет вид

,

При изменении  параметр t изменяется в пределах . По формуле (7.7) находим искомую площадь

   =

       = =

      = .

   Полярные координаты

В некоторых случаях вычисление площадей криволинейных фигур удобно проводить в полярных координатах.

Полярная система координат определяется заданием точки О (полюс)луча Ор, исходящего из точки О (полярной оси) и масштаба для измерения длины. Положение точки М на плоскости определяется в полярной системе координат двумя числами: полярным радиусом (рис. 7.12), выражающим длину отрезка ОМ в выбранном масштабе, и полярным углом φ = .

Рис. 7.12.

  Из рис. 7.10 видно, что независимо от расположения точки М на плоскости имеют место следующие формулы перехода от полярных координат () к декартовым (х, у): , ;

и от декартовых к полярным: ,  .

Найдём площадь криволинейного сектора.Пусть кривая АВ за­дана в полярных координатах уравнением , , причем функция  непрерывна и неотрицательна на отрезке [ α, β ]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы α  и β, будем называть кри­волинейным сектором (рис. 7.13). Площадь S криволинейного сек­тора определяется формулой

                                                  .                                   (7.8)

Рис. 7.13.

   Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [ α, β ] иа п частей точками , выберем на каждом частичном отрезке [ ] произвольно точку () и построим круговые сек­торы с радиусами . В результате получим веерообразную фигуру, площадь которой приближенно равна площади   S  криволи­нейного сектора:

                                             ,

где . С другой стороны, площадь веерообразной фигуры является интегральной суммой для интеграла (7.8). Так как функция  непрерывна на отрезке [ α, β ], то предел этой суммы при  существует и равен интегралу (7.8).

    Следовательно, и площадь криволинейного сектора численно равна этому определенному интегралу:

.

    Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной поляр­ной осью и первым витком спирали Архимеда: , где а — положительное число (рис. 7.12).

Рис. 7.12.

    Решение. При изменении  от 0 до 2π полярный радиус описывает кривую, ограничивающую криволинейный сектор ОАВС. Поэтому по формуле (7.8) имеем

.

   Расстояние от точки С до полюса равно . Поэтому круг радиуса ОС имеет площадь π ∙ OC ² = 4 π³ a ² = 3 ∙ , т. е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна  1/3площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому вы­воду пришел еще Архимед.

   Пример 2. Второй закон Кеплера (закон площадей) о движении планет солнечной системы гласит: площадь, описываемая радиусом-вектором планеты, проведенном из центра Солнца, возрастает пропорционально времени.

Пользуясь этим законом площадей, покажем, что скорость планеты V_П в ближайшей к Солнцу точке орбиты П (перигелий) будет наибольшей, а в наиболее удалённой от Солнца точке А (афелий) – скорость будет наименьшей (рис. 7.15)

Рис. 7.15.

  Рассмотрим перемещение планеты в окрестностях точек А (афелий) и П (перигелий), по закону Кеплера площади секторов  и  равны между собой, т.е.

,

где  - площадь сектора, опирающегося на дугу , длина этой дуги равна , аналогично  - площадь сектора, опирающегося на дугу , длина этой дуги равна .

     Из формулы для площади криволинейного сектора (7.8) следует, что

                                      

или  , т.е. . Здесь  и  перемещение планеты за один и тот же промежуток времени  в окрестности точек А и П орбиты. Разделим предыдущее равенство на промежуток времени :

.

Отношение перемещения планеты  ко времени  есть скорость планеты в точке А, аналогично отношение перемещения  ко времени  есть скорость планеты в точке П, т.е.

                                           , .

В результате  или , откуда следует, что

.

 

Вычисление объёма тела

     Вычисление объема тела по известным площадям его поперечных

     сечений

       Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела S, известна как непрерывная функция S = S (x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки х _i разбиения отрезка [ a, b ]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [ x_{i -1}, x_i ] функция S (x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно M_i и m_i.

Рис. 7.18

    Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны M_i D x_i и m_i D x_i здесь D x_i = x_{i +1} - x_i.

    Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно  и .

    При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:

.

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

                                                 .                                (7.13)

    Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию S (x), что весьма проблематично для тел сложной формы.

     Объём тела вращения

        Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f (x). Предположим, что функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения (рис. 7.19).

Рис. 7.19.

  Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (), есть круг с радиусом y = f (x). Следовательно, площадь поперечного сечения S (x) = π y ².

Применяя формулу (7.13) объёма тела по площади поперечных сечений, получаем

                                                   .                            (7.14)

  Пример. Определить объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y = x ², x = 1, x = 2 (рис. 7.20).

Рис. 7.20.

Решение. По формуле (7.14) находим

= .

7.4. 4. Механические приложения определённого интеграла\

Центр тяжести плоской фигуры

     Согласно закону всемирного тяготения все тела притягиваются к Земле с силой, пропорциональной массе тела (  m - масса тела и g = 9,81 м/с²), эта сила называется весом тела (силой тяжести).

  При рассмотрении равновесия и движения тел сложной формы важно знать положение центра тяжести этого тела.

  Рассмотрим определение положения центра тяжести материальной пластины АВВ₁А₁ в виде криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой АВ, которая задана явным уравнением у = у(х), и линиями х = а, х = b (a < b) и у = 0 (Рис. 7.21).

Рис. 7.21

   Предположим, что поверхностная плотность материала пластины постоянна, т.е. фигура однородна. Можно для определенности считать, что удельный вес материала пластины равен 1 (γ = ρ g = 1, ρ – плотность материала), тогда масса пластины или её любой части измеряется соответствующей площадью.

  Для определения положения центра тяжести проведём разбиение рассматриваемой пластины на вертикальные полосы с основаниями   i = 1,2,…, n (). Центр тяжести каждой полосы определяется координатами

 , ,

где  и  - координаты точки кривой  ( = y ()).

  Центром тяжести рассматриваемой однородной пластины АВВ₁А₁, также как любого другого тела, обладает тем свойством, что его положение не зависит от поворота данной пластины на любой угол по отношению к вертикали. Как показано в курсе теоретической механики координаты центра тяжести тела определяется формулами

                               , ,                  (7.15)

когда количество разбиений стремится к бесконечности, а длина элементов разбиения . В формулах (7.15) - площадь i – ой полосы разбиения

 (, ).

Переходя к пределу в формулах (7.15), когда  и , соответствующие суммы являются интегральными, поэтому координаты центра тяжести криволинейной трапеции определяется формулами

                                     , ,                             (7.16)

где y = y (x) – уравнение кривой АВ.

   Замечания. 1. Если плоская фигура имеет ось или центр симметрии, то центр тяжести такой фигуры находится на оси или в центре симметрии.

    2. Если тело состоит из частей, центры тяжести которых известны, то центр тяжести составной фигуры определяется по формулам

, ,

здесь k – количество составных частей; S_i и х_i, у_i – соответственно площадь и координаты центра тяжести i-ой части. Если же плоская фигура имеет отверстия, то центр тяжести этой фигуры определяется по этим же формулам, однако площади, соответствующие отверстиям должны быть отрицательными.   

   Пример. Определить координаты центра тяжести четверти круга  (х, у > 0). Изобразим данную плоскую фигуру

Площадь четверти круга .

Определяем интегралы числителей формул (7.16) (эти интегралы называются статическими моментами)

                                   ,

                 .

Таким образом, координаты центра тяжести четверти круга равны

                      , .

   Задачи для самостоятельного решения.

   Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями:

1) ,   x = 0, y = 0. 2) x = 0, x = , y = 0, y = cos x.

        3) y = 2 x – x², y = 0.              4) y = , y = sin x.

   Работа и мощность силы

   Для характеристики действия, оказываемого на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы. Рассмотрим прямолинейное движение тела M вдоль оси Ох под действием переменной силы F (x) из положения х₀ в положение х₁ (рис. 7.22). Примером переменной силы, зависящей от перемещения х, является сила упругости пружины

                                                      ,                                          (7.17)

где с – жёсткость пружины, х – деформация этой пружины. Другими примерами таких сил являются сила всемирного тяготения, сила Кулона взаимодействия между зарядами, эти зависят от расстояния между телами (зарядами).

Рис. 7.22.

   Введём сначала понятие об элементарной работе силы F на бесконечно малом перемещении

                                                    .

   Работа силы на любом конечном перемещении как интегральная сумма соответствующих элементарных работ равна

                                                    .                           (7.18)

  Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж = 1 н м).

  Мощность. Мощностью называется величина, определяющая работу, совераемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

                                                    ,                                            (7.19)

где t – время, в течение которого произведена работа. В общем случае

                                             ,                              (7.20)

где v – скорость движения тела.

Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт (1 вт = 1 дж/сек).

  Работу, произведенную машиной, измеряют произведением её мощности на время работы. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт-час.

  Примеры. 1) Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы поднять тело массы m с поверхности Земли на высоту h (радиус Земли R = 6400 км). С помощью полученного результата определить вторую космическую скорость (скорость, при которой вертикально поднимающееся тело может подняться на любую высоту).

Решение. На ракету, имеющую массу m, по закону всемирного тяготения действует сила  , где G – гравитационная постоянная; M – масса Земли; m – масса ракеты;   x – расстояние ракеты до центра Земли, = 9,81 м/с² -  ускорение свободного падения.

  Искомая работа силы тяготения при выводе ракеты с поверхности Земли на высоту h равна

      

или, учитывая значение ускорения свободного падения, имеем

                                    

В то же время работа равна изменению кинетической энергии ракеты

, учитывая, что стартовая кинетическая энергия равна нулю, а V – скорость ракеты на высоте h над поверхностью Земли. Таким обра-зом, скорость ракеты V на высоте h определяется из уравнения

       , откуда .

  Чтобы рассчитать вторую космическую скорость, которую надо сообщить ракете у поверхности Земли для преодоления земного притяжения, нужно перейти пределу h → ∞ в последнем выражении

                                  (м/с).

2)Вычислить работу, которую надо затратить, чтобы растянуть пружину, находящуюся в положении равновесия, на 10 см. Известно, что при растяжении пружины на 1 см сила натяжения равна 5 н.

  Решение. Упругая сила, с которой действует пружина на тело, подчиняется закону Гука, согласно которому F =с x, где с – жёсткость пружины, а х – удлинение пружины. Из условия задачи находим жёсткость пружины с. Так как при растяжении пружины на 0,01 м сила упругого натяжения равна 5 н, то 5 н = с ∙0,1 м. Следовательно, с = 500 н /м и сила упругости пружины равна F (x) = 500 x, н

Искомая работа силы упругости при растяжении пружины на 10 см = 0,1 м вычисляется по формуле:

    

Несобственные интегралы

  Определённый интеграл  называют собственным интегралом, если промежуток интегрирования конечен, а подынтегральная функция f (x) непрерывна на этом отрезке. В данном разделе рассматриваются так называемые несобственные интегралы, т.е. определённый интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования, либо определённый интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей в этом интервале бесконечный разрыв.

       Несобственный интеграл I рода (интеграл с бесконечным

     промежутком интегрирования)

    Пусть подынтегральная функция f (x) непрерывна и ограничена для всех  . Несобственный интегралом первого рода обозначается символически как . Несобственным интегралом от функции f (x) на бесконечном промежутке  называется предел, если он существует, при  определённого интеграла , т.е.

                                      = .                       (7.21)

    Если этот предел существует и он конечен, то несобственный интеграл   сходится. Если указанный предел не существует или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

   Аналогичным образом определяется несобственный интеграл на промежутке

                                        = .                      (7.22)

  Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

                                  = + ,                (7.23)

где с – произвольное число. В данном случае интеграл слева сходится в том случае, когда сходятся оба интеграла справа.

  Примеры. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1.  = , интеграл расходится;

2.  = =  = 

               =    ;

3. =  , интеграл расходится, так как при  предел  не существует.

4. Определить площадь фигуры, ограниченной кривой   и осью Ох = =

                           =   .     

Рис. 7.19.

  Признаки сравнения

  Приведём без доказательства один из признаков сходимости несобственных интегралов I рода.

  Теорема. Если на промежутке  для непрерывных функций удовлетворяется неравенство 0 , то из сходимости интеграла  следует сходимость интеграла , из расходимости интеграла  следует расходимость интеграла .

   Пример. Исследовать сходимость интеграла . Подынтегральная функция  в промежутке интегрирования меньше чем , а интеграл  является сходящимся. Следовательно, данный интеграл также сходится.

 

   Несобственный интеграл II рода (интеграл от разрывной функции)

  Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке  и имеет бесконечный разрыв в точке х = b. Несобственным интегралом II рода называется конечный предел, если он существует, интеграла . Таким образом, по определению,

                                               .                                  (7.18)

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл   сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.

  Если функция f (x) имеет разрыв в точке с на промежутке [ a, b ], то несобственный интегралом II рода определяется формулой

.

В этом случае интеграл слева сходится, если оба несобственных интегралов справа являются сходящимися.

Примеры. Вычислить или установить сходимость несобственного интеграла:

1. . При х = 1 функция  терпит бесконечный разрыв.

=

2. . При х = 0 функция  терпит бесконечный разрыв.

= ,

интеграл расходится.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить несобственные интегралы:

1) .     2) .       3) .       4) .

5) .     6)