Доверительный интервал для оценки математического

 ожидания нормально распределенного признака

 

 Пусть количественный признак X в генеральной совокупности распределен по нормальному закону, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения известно. Требуется найти интервальную оценку неизвестного математического ожидания а по выборочной средней . Это означает, чтонужно найти доверительный интервал, покрывающий параметр а с надежностью g.

Выборочная средняя – точечная несмещенная оценка неизвестного параметра а, равного генеральной средней. Поэтому доверительный интервал для параметра а выбирается симметричным относительно этой оценки:

( – δ, + δ),   

где δ –  величина ошибки, которая характеризует точность оценки. Оценка тем точнее, чем меньше величина δ (δ > 0). 

Так как значение генеральной средней   а содержится в доверительном интервале, то для параметра а выполняется неравенство:

δ < а < +   δ.

Вычитая из всех частей этого неравенства значение , получим:

–  δ < а –     <   δ.  

 Это означает, что доверительный интервал можно записать в виде неравенства:

  а –  < δ.

По условию это неравенство должно выполняться с надежностью (вероятностью) g:

Р (   а – < δ) = γ.

Таким образом, вероятность того, что генеральная средняя а отличается от выборочной средней по абсолютной величине меньше, чем на δ, равна γ.

 

 Если количественный признак X в генеральной совокупности распределен по нормальному закону, то величина ошибки δ составляет:  

δ =  ,

где   n  – объем выборки;

 σ – известное генеральное среднее квадратическое отклонение нормального распределения;

   t – вспомогательный параметр, зависящий от надежности (вероятности) γ.

 Приведем значения параметра t  для наиболее часто встречающихся значений γ:  если γ = 0,90, то t  = 1,65;

если γ = 0,95, то    t  = 1,96;

если γ = 0,99, то    t  = 2,58.

Очевидно, что значение t увеличивается с ростом надежности γ.

 

Из формулы δ = , определяющей точность оценки, можно сделать следующие выводы:

    а) при увеличении объема выборки п величинаошибки d   уменьшается и, следовательно, точность оценки увеличивается;

      б) увеличение надежности оценки g приводит к увеличению параметра t и, следовательно, к возрастанию ошибки d, что свидетельствует об уменьшении точности оценки.

 

    Таким образом, увеличение надежности оценки приводит к уменьшению ее точности. Чтобы иметь большую надежность и высокую точность, нужно увеличивать объем выборки. Если требуется оценить математическое ожидание с заданной надежностью g,и точностью, определяемой значением d, то минимальный объем выборки n, который обеспечит эту точность, и эту надежность находят из формулы:

δ = , откуда   n = .

 

 

     Пример. Случайная величина X имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением s = 5.

     Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а   по выборочной средней = 15, если объем выборки n = 49 и заданная надежность оценки   g = 0,95.

    Решение. Доверительный интервал для оценки математического ожидания а имеет вид:

–  δ < а  <    +   δ,    где   δ =  .

    По условию задачи s = 5, n = 49.  

   Так как g= 0,95,  то   t = 1,96.  Тогда  δ =  = 1,4.

    Это означает, что доверительный интервал для а:

15 – 1,4 < а < 15 + 1,4,

13,6 < а < 16,4.

    Таким образом, значение неизвестного параметра а, согласующееся с данными выборки, содержится в доверительном интервале (13,6; 16,4) с надежностью 95%.

 

Решение типовых задач [2]

      Задача 1. По выборке объема n = 16 найдены средняя выборочная     = 52,4 и выборочная дисперсия D _в = 4.

  Найти точечные оценки генеральных характеристик: генеральной средней а, генеральной дисперсии D _г и генерального среднего квадратического отклонения   σ_г.

  Решение. Согласно теории, несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой генеральной средней является выборочная средняя: а   ≈   ,   т. е.    а ≈ 52,4. 

 Для генеральной дисперсии несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой является исправленная выборочная дисперсия:

D _г ≈ S ²  = D _в =  ·4 ≈ 4,267.

  Оценка генерального среднего квадратического отклонения:

σ _г = ≈ ≈ 2,066.

      Задача 2. Дано статистическое распределение выборки количественного признака Х:

х i	3	5	8	12
ni	2	4	5	3

     Найти доверительный интервал для генеральной средней признака Х с надежностью 90%, если известно, что признак Х в генеральной совокупности распределен по нормальному закону, а генеральная дисперсия совпадает с исправленной выборочной дисперсией.

      Решение. Найдем сначала выборочные характеристики данного статистического распределения:

     Объем выборки:    n  = 2 + 4 + 5 + 3 = 14.

    Среднее выборочное значение:

  = (3·2 + 5·4 + 8·5 + 12·3) =  = 7,2857 ≈ 7,29.

    Среднее выборочное квадратов значений:

=  ·(3²·2 + 5²·4 + 8²·5 + 12²·3) =  = 62,14285.

     Выборочная дисперсия:

)²  = 62,14285 –7,2857² = 9,0614.

      Исправленная выборочная дисперсия:

S ² = D _в  ≈   · 9,0614 ≈ 9,7585.

      Исправленное среднее квадратическое отклонение:

S =  = ≈ 3,124.

    По условию задачи генеральная дисперсия совпадает с исправленной выборочной дисперсией, поэтому генеральное среднее квадратическое отклонение  σ = S = 3,124.

 

   Так как в генеральной совокупности признак Х распределен по нормальному закону, то предельная  ошибка δ равна:

δ =  =  ≈ 1,38,

где t = 1,65,  т. к.  γ = 0,9 (90%).

      Искомый доверительный интервал:

( – δ, + δ) = (7,29 – 1,38; 7,29 +1,38) = (5,91;8,67).

    Таким образом, генеральная средняя а с надёжностью 90% содержится в интервале (5,91; 8,67).

     

    Задача 3. Для определения средней урожайности пшеницы с помощью случайной бесповторной выборки отобрано 100 га. Результаты выборки представлены в виде интервального статистического распределения урожайности Х ц/га и соответствующих количествах га, попавших в каждый интервал:

Х	11 – 13	13 – 15	15 – 17	17 – 19	19 – 21
ni	10	15	45	20	10

     Найти:

а) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена средняя урожайность на всем засеянном массиве;

б) вероятность того, что средняя урожайность всего массива отличается от средней выборочной урожайности по абсолютной величине не более чем на 0,5 ц/га;

в) представительный объем выборки для оценки средней урожайности всего массива с надежностью γ = 99% и погрешностью δ не более 0,4 ц/га.

     Все вычисления произвести в предположении, что признак Х распределен по нормальному закону, и генеральная дисперсия совпадает с исправленной выборочной дисперсией.

      Решение. Найдем выборочные характеристики данного интервального статистического распределения. Для этого перейдем к дискретному статистическому распределению, взяв в качестве значений признака Х середины интервалов:

 

xi	12	14	16	18	20
ni	10	15	45	20	10

     

Объем выборки:   n  = 10 + 15 + 45 + 20 + 10 = 100.

Среднее выборочное значение признака:

= ·(12·10 + 14·15 + 16·45 + 18·20 + 20·10) =  = 16,1.

Среднее выборочное квадратов значений признака:

 =  ·(12²·10 +14²·15 +16²·45 +18²·20 + 20²·10) =  = 263,8.

  

Выборочная дисперсия:

)² = 263,8 – 16,1² = 4,59.

Исправленная выборочная дисперсия:

S ² = D _в ≈  ·4,59 ≈ 4,6364.

 Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:

S =  = ≈ 2,1532.

    По условию задачи генеральная дисперсия совпадает с исправленной выборочной дисперсией, поэтому генеральное среднее квадратическое отклонение σ ≈ S = 2,154 (округляем по избытку, чтобы был запас точности):

     а) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена средняя урожайность на всем засеянном массиве, находим как границы доверительного интервала для нормально распределенного признака Х. При γ = 0,95 вспомогательный параметр t = 1,96, тогда предельная ошибка δ составит:

δ =  =  ≈ 0,422.

    Используя найденное значение предельной ошибки, получим доверительный интервал:

( – δ, + δ) = (16,1 – 0,422; 16,1 + 0,422) = (15,68; 16,52).

   Таким образом, средняя урожайность на всем засеянном массивес надежностью 95% заключена в границах от 15,68 ц/га до 16,52 ц/га;

  б) в этом вопросе дана предельная ошибка δ = 0,5.

 Нужно найти вероятность того, что средняя урожайность всего массива, отличается от средней выборочной урожайности по абсолютной величине не более чем на 0,5 ц/га. В этом случае, выразив  вспомогательный параметр   t из формулы δ =  ,  получим:

                   t =  =  = 2,32.

   Найденное значение t  близко, но меньше  значения t = 2,58, которое соответствует вероятности 0,99. Это говорит о том, что значению   t = 2,32  соответствует вероятность близкая, но меньше   чем 0,99. Она равна γ = 0,98. Таким образом, искомая вероятность 98%.

     в) в этом вопросе известны надежность γ = 0,99 и предельная погрешность  δ = 0,4.

    Нужно найти наименьший объем выборки, который обеспечит одновременно требуемые точность и надежность.

    Отметим, что при γ = 0,99 параметр   t = 2,58.     

   Объем выборки   n  получим из формулы  δ = :

               n = =  =  = 193,024 ≈ 194.

     Объем выборки округляем до целого числа с избытком, чтобы иметь гарантию достижения заданной точности и надежности.

    Таким образом, чтобы одновременно повысить точность и надежность оценки, нужно значительно увеличить объем выборки (в примере от   n = 100  до    n ≥ 194).

 

 

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

Контрольные вопросы

1. Назовите основные характеристики генеральной совокупности, которые нужно оценить. Как они обозначаются?

2. Какие оценки называются точечными? Каким требованиям они должны удовлетворять?

 3. Каковы точечные оценки для генеральной средней и генеральной дисперсии признака?

 4. Для чего служит доверительный интервал?

 5. Что такое  надежность оценки?

 6. Как характеризуется точность оценки?

 7. Как вычислить длину доверительного полуинтервала, если значения признака Х распределены по нормальному закону? От чего зависит длина?

8. Как влияет заданный уровень надежности  на точность оценки?

9. Как добиться одновременного повышения точности и надежности оценки?

 

Задачи

    1. Известно, что объем выборки n = 25, средняя выборочная = 10,2, а выборочная дисперсия D _в = 3. Найти точечные оценки генеральных характеристик: генеральной средней а, генеральной дисперсии D _г и генерального среднеквадратического отклонения  σ _г.

Ответы: а ≈ 10,2;   D _г ≈ 3,125;    σ _г ≈1,768.

    2. По выборке объема n = 20 найдены средняя выборочная = 16,8 и выборочная дисперсия D _в = 4.  Найти точечные оценки генеральных характеристик: генеральной средней , генеральной дисперсии D _г и генерального среднего квадратического отклонения.  

Ответы:  ≈ 16,8; D _г ≈ 4,21; σ _г ≈ 2,052.

     3. Признак Х в генеральной совокупности распределен по нормальному закону. Найти интервальную оценку для его неизвестного математического ожидания а, с надежностью γ = 95%, если известны: генеральное среднее квадратическое отклонение   σ = 5, средняя выборочная = 18,3  и  объем выборки   n = 25.

Ответ: (16,34; 20,26).

 

    4. Найти доверительный интервал для генеральной средней   признака   Х с надежностью  γ = 0,9. Известно, что в генеральной совокупности признак Х распределен по нормальному закону, причем генеральная дисперсия D   = 10. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема   n = 22 и найдена выборочная средняя = 14,5.

Ответ: (13,387; 15,613).

 

     5. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью γ = 0,9 ошибка оценки математического ожидания нормально распределенного признака не будет превосходить 0,4, если генеральная дисперсия распределения равна 4.

Ответ: 69.

     6. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 шт. Средняя продолжительность горения лампы по выборке оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью 95% доверительный интервал для средней продолжительности горения лампы всей партии, если известно, что продолжительность горения ламп распределена по нормальному закону и ее среднее квадратическое отклонение составляет40 ч.

Ответ: (992,16; 1007,84).

     7. Станок автомат штампует валики. По выборке объема       n = 100 валиков вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных валиков. С надежностью γ = 90%  найти ошибку  δ, с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что их значения распределены по нормальному закону и их генеральное среднее квадратическое отклонение равно 30 мм.

Ответ: 4,95 мм.

     8. Каждая из семей, обслуживаемых торговым предприятием, имеет некоторый месячный доход на одного члена семьи. Проведено выборочное обследование пяти семей, имеющих месячный доход:  300; 500; 401; 800  и 1000 руб.

     По данным выборки требуется:

     а) оценить средний месячный доход на одного человека, найдя для него доверительный интервал с надежностью γ = 90%;

    б) оценить надежность пробной выборки, если доверительное отклонение δ не превышает 200 руб.;

      в) найти представительный объем выборки для оценки генеральной средней а  с надежностью γ = 95% и заданной предельной погрешностью  δ = 100 руб.

     Все вычисления произвести в предположении, что месячный доход на одного члена семьи распределен по нормальному закону и генеральная дисперсия совпадает с исправленной выборочной дисперсией.

Ответы:  а) (384,866;  815,134); б) 87%;  в) 33 семьи.

 

     9. Для определения средней годовой выработки угля по схеме случайной бесповторной выборки отобрано 100 шахт. Их распределение по годовой добыче угля Х в тыс. тонн задано статистическим распределением:

Х	20 – 40	40 – 60	60 – 80	80 – 100	100 – 120
ni	4	18	35	29	14

 Найти:

      а) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключена средняя годовая добыча угля всех шахт генеральной совокупности;

       б) вероятность того, что средняя годовая выработка угля по всем шахтам генеральной совокупности отличается от средней выборочной по абсолютной величине не более чем на 5 тонн;

        в) представительный объем выборки шахт для оценки средней годовой добычи угля с надежностью γ = 95% и погрешностью δ, не превышающей 5 тонн.

      Все вычисления произвести в предположении, что признак Х распределен по нормальному закону и генеральная дисперсия совпадает с исправленной выборочной дисперсией.

Ответы:  а) (72,08; 80,32); б) 98%;  в) 68 шахт.   

Варианты индивидуальных заданий

Вариант 1

      Задача 1. Абонент забыл три последние цифры номера телефона и, помня лишь, что все они различны и больше 5, набрал их наугад. Какова вероятность дозвониться с первого раза?

      Задача 2. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, а для второго 0,9. Найти вероятность того, что при одновременном выстреле: а) оба стрелка попадут в цель; б) только один из них попадет в цель; в) цель будет поражена.

      Задача 3. В торговую фирму поступают однотипные изделия от трех поставщиков. Первый поставщик поставляет 30% всей продукции, второй 25%, а третий 45%. Практика показала, что у первого поставщика бракованных изделий 1%, у второго 2%, а у третьего 3%. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие окажется бракованным.

      Задача 4. Вероятность, что саженец сосны приживется, равна 0,7. Найти вероятность того, что из пяти саженцев приживутся: а) ровно 3; б) хотя бы 1; в) найти наивероятнейшее количество прижившихся саженцев и соответствующую этому событию вероятность.

       Задача 5. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

xi	– 1	2	4
pi	?	0,2	0,6

   а) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины;

   б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины  Z = 3 X – 5.

     Задача 6. В результате выборочного наблюдения получено следующее интервальное распределение значений признака Х:

Х	1–  3	3 –  5	5 –  7	7 – 9	9 – 11
ni	8	11	14	9	3

     а) найти основные характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение;

    б) изобразить данное распределение графически, построив гистограмму относительных частот;  

    в) указать точечные оценки для генеральных характеристик признака: генеральной средней а, генеральной дисперсии D _г и генерального среднего квадратического отклонения  σ _г;

    г) с надежностью 90% найти доверительный интервал для генеральной средней признака Х.

     Вычисления в двух последних пунктах произвести в предположении, что значения признака Х в генеральной совокупностираспределены по нормальному закону и генеральная дисперсия совпадает с исправленной выборочной дисперсией.

Вариант 2

      Задача 1. Две игральные кости бросают один раз. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет не менее 9.

      Задача 2. Вероятность занятости каждого из двух телефонов равна соответственно 0,2 и 0,3. Найти вероятность того, что:   а) оба телефона свободны; б) только один из них свободен; в) хотя бы один из них свободен.

      Задача 3. В первом ящике содержится 10 деталей, из них 5 стандартных; во втором 20 деталей, из них 14 стандартных; в третьем 18, из них 7 стандартных. Найти вероятность того, что наугад извлеченная деталь из наугад выбранного ящика будет стандартной.

      Задача 4. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность, что изделие стандартное, равна 0,8. Найти вероятность того, что из пяти проверяемых изделий: а) менее двух стандартных; б) хотя бы одно стандартное; в) найти наивероятнейшее количество стандартных изделий и соответствующую этому событию вероятность.

      Задача 5. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

xi	5	12	14	16
pi	0,1	0,2	?	0,3

      а) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины;

      б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины  Z = 2 X – 9.

      Задача 6. Дано дискретное статистическое распределение выборочных значений количественного признака Х:

xi	3	7	9	10
ni	4	6	8	2

       а) вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение признака Х;

     б) построить полигон относительных частот;

     в) указать точечные оценки для генеральных характеристик признака: генеральной средней а, генеральной дисперсии D _г и генерального среднего квадратического отклонения  σ _г;

    г) найти доверительный интервал для генеральной средней с надежностью 90%.

     Для пунктов в) и г) считать, что в генеральной совокупности значения признака Х распределены по нормальному закону и генеральная дисперсия совпадает с исправленной выборочной дисперсией.

 

Вариант 3

     Задача 1. Две игральные кости бросают один раз. Найти вероятность того, что на второй кости выпало больше очков, чем на первой.

 Задача 2. Из полной колоды (36 карт) вынимают наугад одну за другой 3 карты без возвращения. Вычислить вероятность того, что: а) впервые туз появится при третьем испытании; б) все карты будут тузами; в) из трех извлеченных карт будет хотя бы 1 туз.

     Задача 3. Мастер и его ученик производят одинаковые изделия, но производительность мастера в 3 раза выше, чем у его ученика. Мастер допускает брак при изготовлении изделия с вероятностью 0,1, а ученик с вероятностью 0,2. Какова вероятность, что взятое наугад изделие бракованное?

     Задача 4. Применяемый метод лечения в 80% случаев приводит к выздоровлению. Найти вероятность того, что из четырех больных  поправятся: а) трое; б) хотя бы 1; в) найти наивероятнейшее количество поправившихся больных и соответствующую этому вероятность.

Задача 5. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

xi	1	3	5
pi	0,2	?	0,4

   а) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины;

   б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z =  5 X + 3.

     Задача 6. Имеются выборочные данные интервального статистического распределения значений признака Х:

Х	8 – 10	10 – 12	12 – 14	14 – 16	16 – 18
ni	2	4	10	6	3

    а) найти основные характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение;

   б) изобразить данное распределение графически, построив гистограмму относительных частот;

    в) указать точечные оценки для генеральных характеристик признака: генеральной средней а, генеральной дисперсии D _г и генерального среднего квадратического отклонения  σ _г;

     г) с надежностью 95% найти доверительный интервал для генеральной средней признака Х.

    Вычисления в двух последних пунктах произвести в предположении, что значения признака Х в генеральной совокупностираспределены по нормальному закону и генеральная дисперсия совпадает с исправленной выборочной дисперсией.

Вариант 4

     Задача 1. Буквы П, О, Р, Т, С, В, Е  написаны на отдельных карточках. Ребенок берет четыре карточки в случайном порядке, прикладывая их одну к другой. Какова вероятность, что получится слово «свет»?

  Задача 2. Три стрелка делают по одному выстрелу в цель. Вероятность попадания для первого стрелка 0,8, для второго 0,7, а для третьего 0,6. Найти вероятность того, что: а) все стрелки попадут в цель; б) только один стрелок попадет в цель; в) цель будет поражена.

      Задача 3. В группе лыжников 7 спортсменов из Омска, 5 из Барнаула и 8 из Новосибирска. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника из Омска составляет 70%, из Барнаула 65%, из Новосибирска 80%. Какова вероятность того, что взятый наугад из списка спортсмен выполнит норму?

     Задача 4. Найти вероятность того, что при пятикратном бросании монеты орел выпадет: а) не более 2 раз; б) хотя бы 1 раз;  в) найти наивероятнейшее количество выпавших гербов и соответствующую ему вероятность.

 

      Задача 5. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

xi	– 5	1	4	6
pi	0,1	?	0,2	0,3

    а) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины;

    б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины  Z = 1,5 X + 6.

 

      Задача 6. Дано дискретное статистическое распределение выборочных значений количественного признака Х:

xi	8	10	13	15
ni	4	8	10	5

      а) вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение признака Х;

   б) построить полигон относительных частот;

    в) указать точечные оценки для генеральных характеристик признака: генеральной средней а, генеральной дисперсии D _г и генерального среднего квадратического отклонения  σ _г;

   г) найти доверительный интервал для генеральной средней с надежностью 95%.

  Для пунктов в) и г) считать, что в генеральной совокупности значения признака Х распределены по нормальному закону, и генеральная дисперсия совпадает с исправленной выборочной дисперсией.

 

Вариант 5

     Задача 1. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 9?

 Задача 2.  Студент пришел на экзамен, выучив всего 10 вопросов из 20. Студенту задают два случайно выбранных вопроса. Найти вероятность того, что он ответит: а) на оба вопроса; б) только на один вопрос; в) хотя бы на один вопрос.

     Задача 3.  На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 45 % всех изделий, вторая – оставшуюся часть.  Брак составляет соответственно 6 и 8 %. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный.

     Задача 4. В лотерее на каждые 100 билетов приходится 20 выигрышных. Найти вероятность того, что у лица, купившего 4 билета, выиграют: а) более 2 билетов; б) хотя бы 1 билет; в) найти наивероятнейшее количество выигравших билетов и соответствующую ему вероятность.

      Задача 5. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

xi	3	8	11
pi	0,3	0,2	?

   а) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины;

   б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины  Z = 4 X + 5.

      Задача 6. Имеются выборочные данные интервального статистического распределения значений признака Х:

Х	5 – 7	7 – 9	9 – 11	11 – 13	13 – 15
ni	4	8	12	6	2

    а) найти основные характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение;

    б) изобразить данное распределение графически, построив гистограмму относительных частот;   

    в) указать точечные оценки для генеральных характеристик признака: генеральной средней а, генеральной дисперсии D _г и генерального среднего квадратического отклонения  σ _г;

   г) с надежностью 99% найти доверительный интервал для генеральной средней признака Х.

     Вычисления в двух последних пунктах произвести в предположении, что значения признака Х в генеральной совокупностираспределены по нормальному закону и генеральная дисперсия совпадает с исправленной выборочной дисперсией.

Вариант 6

     Задача 1. Абонент забыл три последние цифры номера телефона и, помня лишь, что они различны и среди них нет нулей, набрал их наугад. Какова вероятность дозвониться с первого раза?

    Задача 2. В ящике находятся 30 изделий одинаковых по внешнему виду. Из этих изделий 20 шт. первого сорта и 10 шт. второго. Наугад извлекают два изделия. Какова вероятность, что они оба окажутся: а) одного сорта; б) разных сортов;  в) хотя бы одно из них первого сорта?

     Задача 3.  На строительство объекта от четырех цементных заводов поступают железобетонные плиты в количестве 20, 30, 25 и 15 шт. Каждый из заводов допускает при изготовлении плит брак (несоответствие ГОСТ) составляющий в среднем 1, 3, 2 и 4% соответственно. Какова вероятность, что взятая наугад плита удовлетворяет требованиям ГОСТ?

     Задача 4. Считая рождение мальчика и девочки равновероятными, найти вероятность того, что в семье, где трое детей: а) не менее 2 мальчиков; б) хотя бы 1 мальчик; в) найти наивероятнейшее количество мальчиков в семье и соответствующую этому вероятность.

     Задача 5. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

xi	– 2	0	4	8
pi	0,1	?	0,3	0,4

     а) вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины;

    б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины  Z = 5 – 3 Х.

 

      Задача 6. Дано дискретное статистическое распределение выборочных значений количественного признака Х:

х i	7	10	12	14
ni	5	9	7	3

       а) вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение признака Х;

    б) построить полигон относительных частот;

    в) указать точечные оценки для генеральных характеристик признака: генеральной средней а, генеральной дисперсии D _г и генерального среднего квадратического отклонения  σ _г;

     г) найти доверительный интервал для генеральной средней с  надежностью 99%.

     Для пунктов в) и г) считать, что в генеральной совокупности значения признака Х распределены по нормальному закону и генеральная дисперсия совпадает с исправленной выборочной дисперсией.

 

 

Вариант 7

     Задача 1. В коробке лежат 10 шаров, из которых 8 белые. Найти вероятность того, что из трех взятых наугад шаров все будут  белыми.

     Задача 2. Вероятности попадания в цель для первого и второго стрелков равны 0,6  и 0,7 соответственно. Найти вероятность того, что: а) в цель попадут оба стрелка; б) в цель попадет только один стрелок;  в) цель будет поражена.

    Задача 3.  В цехе трудятся 2 мастера и 6  учеников. При изготовлении изделия мастер допускает 3% брака, ученик 10%. Какова вероятность, что взятое наугад изделие будет бракованным? 

    Задача 4. Цех выпускает 20% изделий отличного качества. Найти вероятность того, что в партии из 5 изделий отличного качества: а) не менее 4 изделий; б) хотя бы 1 изделие;  в) найти наивероятнейшее количество изделий отличного качества и соответствующую ему вероятность.

  Задача 5. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:

xi	5	6	8
pi	0,5	0,2	?