Точечные оценки генеральных характеристик

      Пусть имеется некоторая генеральная совокупность объема N, которую необходимо исследовать относительно заданного количественного признака X. Основными характеристиками этой совокупности являются: генеральная средняя М (Х) = а, генеральная дисперсия D _г = σ² и генеральное среднее квадратическое отклонение σ_г = σ = .  Эти характеристики имеют постоянные числовые значения, которые нам неизвестны и которые нужно оценить. Для оценки генеральных характеристик используются соответствующие выборочные характеристики: средняя выборочная _в, дисперсия выборочная D _в   и выборочное среднее квадратическое отклонение σ_в, которые вычисляют по извлеченной выборке объема п.

 Выборочные характеристики, найденные по данным одной выборки, имеют, очевидно, определенные числовые значения. Если же извлекать другие выборки из той же генеральной совокупности, то выборочные характеристики будут изменяться от выборки к выборке. Таким образом, выборочные характеристики можно рассматривать как случайные величины, с помощью которых оцениваются генеральные характеристики.

 Точечной оценкой неизвестной величины θ называется ее оценка в виде числа (точки). Для нахождения точечных статистических оценок неизвестных параметров генеральной совокупности находят характеристики выборочных данных, с помощью которых можно приближенно оценить параметры генеральной совокупности. Чтобы точечная оценка по результатам различных выборок была «качественной», она должна удовлетворять перечисленным ниже требованиям.

1. Несмещенность. Означает отсутствие систематических ошибок в одну сторону от истинного значения параметра θ, т. е. или только в сторону завышения, или только в сторону занижения.

2. Эффективность. Означает, что рассеяние выборочных оценок от истинного значения параметра θ должно быть наименьшим по сравнению с другими оценками.

3. Состоятельность. Означает выполнение закона больших чисел, т. е. чем больше объем выборки, тем выше вероятность того, что оценка мало отличается от истинного значения параметра θ  генеральной совокупности.

Если по нескольким выборкам достаточно большого объема из одной и той же генеральной совокупности будут найдены выборочные средние, то они будут приближенно равны. В этом состоит свойство устойчивости выборочных средних.

Сказанное означает, что выборочная средняя  является несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой генеральной средней: = а ≈ .

Выборочная дисперсия D _в является смещенной оценкой генеральной дисперсии D _г= σ². Смещение происходит в сторону занижения оценки, т. е.   D _в< D _г. Поэтому выборочную дисперсию «исправляют», умножая ее на множитель  > 1. Полученную характеристику называют исправленной выборочной дисперсией и обозначают   S ²:

                                  S ² = D _в.

 При больших значениях n величины и D _в отличаются незначительно.

      Исправленная дисперсия S ² является несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии:

D _г= σ² ≈ S ² = · D _в.

     Исправленное среднее квадратическое отклонение S является

несмещенной, эффективной и состоятельной оценкой генерального среднеквадратического отклонения:σ_г =σ ≈ S.

      Пример. Оценим генеральные характеристики по выборочным, если средняя выборочная = 5,2; выборочная дисперсия       D _в = 9;  а объем выборки    п = 10.

      Решение. Очевидно, что генеральная средняя: а ≈  ≈ 5,2; генеральная дисперсия:

D _г = σ² ≈ S ² = · D _в = ·9 =10,

генеральное среднеквадратическое отклонение:

σ =  ≈  ≈3,16.

 8.2.  Интервальные оценки генеральных характеристик

     Точечные оценки генеральных характеристик являются приближенными, причем точность их приближения неизвестна. Эти оценки могут оказаться далекими от истинных значений характеристик генеральной совокупности: а, D иs, особенно для выборок небольшого объема. С другой стороны, при решении ряда практических задач часто необходимо определить надежность оценок, поэтому используют интервальные оценки.

       Интервальная оценка представляет собой интервал (α; β) со случайными границами α и β, найденными по выборке. Этот интервал с заданной вероятностью g  покрывает точное значение оцениваемого параметра θ:    Р (α < θ < β) = γ.  

      Интервал (α;β), покрывающий истинное значение параметра θ называется доверительным, а вероятность g – доверительной вероятностью, или   надежностью,  оценки.

Значения надежности γберут, как правило, высокими:  0,9 (90%); 0,95 (95%); 0,99 (99%) или 0,999 (99,9%). Тогда событие, состоящее в том, что оцениваемый параметр   θ  попадет в интервал (α; β),  будет практически достоверным.