Правило умножения вероятностей для зависимых событий.

Условная вероятность [3]

     Пусть события А и В зависимые. Это означает, что вероятность наступления одного из них зависит от того, произойдет или не произойдет другое событие. При этом возникает понятие условной вероятности: Р_А (В) – это вероятность события В при условии, что событие А произошло. Условную вероятность находят по классическому определению вероятности, учитывая при подсчете общего количества элементарных, равновозможных исходов n  и количества благоприятных исходов m, что событие А уже произошло.

 

     Пример 3. В урне 10 одинаковых на ощупь шаров, из которых 7 белых и 3 черных. Наугад извлекают два шара. Какова вероятность, что второй шар будет белым?

 

     Решение. Обозначим: событие А – первый извлеченный шар белый, событие Ч – первый извлеченный шар чёрный, событие В – второй извлеченный шар белый. Вероятность события В зависит от того, какой шар был извлечен первым, белый или черный. Если первым извлекли белый шар, то в урне останется 9 шаров, из которых белых только 6. Тогда Р_А (В) = 6/9 = 2/3. Если же первым был извлечен черный шар, то в урне из оставшихся девяти шаров белых, как и прежде, будет 7, тогда Р_Ч (В) = 7/9.

    Теорема 3. Вероятность совмещения двух зависимых событийравна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого события, при условии, что предыдущее событие произошло:

Р (А·В) = Р (А и В) = Р (А)· Р_А (В).

 Аналогично для трех независимых событий А, В и С:

Р (А·В·С) = Р (А и В и С) = Р (А)· Р_А (В)· Р_АВ (С),

где Р_АВ (С) – условная вероятность события С, при условии, что события А и В произошли.

Пример 4. Студент пришел на экзамен, выучив только 20 из 25 вопросов. Найти вероятность того, что студент ответит на три случайно последовательно выбранных вопроса.

 Решение. Обозначим события: А – студент знает все три вопроса, А₁ –знает первый вопрос, А₂ –знает второй вопрос, А₃ –знает третий вопрос.

 События А₁, А₂, А₃ – зависимые. При вычислении вероятности ответа на второй вопрос необходимо учесть, что студент уже ответил на первый вопрос, следовательно, вопросов осталось на один меньше, число выученных вопросов также уменьшилось на 1. При вычислении вероятности ответа на третий вопрос необходимо учесть, что студент ответил на первые два вопроса, следовательно, вопросов осталось еще на один меньше, и число благоприятных вопросов также уменьшилось еще на 1, тогда: 

Р (А) = Р (А ₁) · (А ₂) · (А ₃)  = =   ≈ 0,496.

 

 

 2.5. Правило сложения вероятностей для совместных событий

     Теорема 4. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности  их совместного появления:

 

Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (А · В).

      Пример 5. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, а для второго 0,9. Какова вероятность, что при одновременном выстреле цель будет поражена?

     Решение. Обозначим: событие А – первый стрелок попал в цель, Р (А) = 0,8; событие В – второй стрелок попал в цель,           Р (В) = 0,9. Очевидно, что события совместные. Пусть событие С заключается в том, что цель будет поражена, это означает, что хотя бы один стрелок попадет в цель, т. е. попадет или один стрелок или оба. Тогда по теореме сложения вероятностей для совместных событий получим:            

Р (С) = Р (А + В) = Р (А) + Р (В) – Р (А · В) = 0,8 + 0,9 – 0,8·0,9 = 0,98.

 

2.6. Полная группа событий [1]

     Определение. Несколько событий Н ₁, Н ₂, Н ₃ … Н _n образуют полную группу, если они: а) несовместны попарно;                                      б) единственно возможны (других нет).

 

     Теорема 5. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице:

Р (Н ₁) + Р (Н ₂) + Р (Н ₃)+ … + Р (Н _n) = 1.

      Доказательство. Так как события Н ₁, Н ₂, Н ₃ … Н _n по условию единственно возможны, то в результате испытания достоверно, что хотя бы одно из них обязательно наступит, а значит:

Р (Н ₁ или Н ₂ или Н ₃ или … или Н_n) = 1.

Так как события Н ₁, Н ₂, Н ₃ … Н_n по условию попарно несовместны, то к левой части последнего равенства применима теорема сложения вероятностей для несовместных событий, таким образом получим:

Р (Н ₁) + Р (Н ₂) + Р (Н ₃)+ … + Р (Н_n) = 1,

что и требовалось доказать.

     Заметим, что система элементарных исходов образует полную группу событий.

     Пример 6. В урне 20 одинаковых на ощупь шаров, из них 8 – красных, 7 – синих и 5 – зеленых. Извлекаем наугад 1 шар. Перечислите все возможные события, которые при этом могут наступить, и покажите, что они образуют полную группу.

 

    Решение.  Возможно наступление следующих событий: Н ₁ – извлечен красный шар, Р (Н ₁) = 8/20 = 0,4;   Н ₂ – извлечен синий шар, Р (Н ₂) = 7/20 = 0,35;   Н ₃ – извлечен зеленый шар, Р (Н ₃) = 5/20 = 0,25.

 Очевидно, что события Н ₁, Н ₂ и Н ₃ образуют полную группу, так как они попарно несовместны и единственно возможны (шаров других цветов в урне нет). Поэтому сумма их вероятностей:

Р (Н ₁) + Р (Н ₂) + Р (Н ₃) = 0,4 +0,35 +0,25 = 1.

 

Противоположные события

     Если полная группа событий содержит только два события, то такие события называются противоположными. Их обозначают:      А и  (событие  читается не А).

     Из определения полной группы событий вытекает, что противоположные события А и    несовместны и единственно возможны, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

Р (А) + Р () = 1.

 Отсюда находим вероятность противоположного события :

Р () = 1– Р (А).

     Например.

    Пусть событие А – экзамен сдан, тогда противоположное событие – экзамен не сдан, и если Р (А) = 0,8, то Р () = 1– 0,8 = 0,2.

 

     Пусть событие В – попадание при стрельбе в цель, тогда противоположное  событие  – непопадание в цель (промах), и  если Р (В) = 0,6, то Р () = 1– 0,6 = 0,4.

 

Решение типовых задач [7]

       Задача 1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Возможность того, что в нужное время сработает первый из них, оценивается как 95%, второй –90%. Найти вероятность того, что:

           а) сработают оба сигнализатора;

           б) сработает только один сигнализатор;

           в) оба сигнализатора не сработают;

           г) поступит сигнал об аварии.

      Решение. Обозначим:

 

– событие А – сработает первый сигнализатор:

Р (А) = 0,95;        Р () = 1 – 0,95 = 0,05;

 

– событие В – сработает второй сигнализатор:

Р (В) = 0,9;         Р ( = 1 – 0,9 = 0,1.

 

    По условию задачи события А и В независимые.

 

 а) через С обозначим событие – сработают оба сигнализатора.

По теореме умножения вероятностей для независимых событий:

 

Р (С) = Р (А и В) = Р (А·В) = Р (А) ·Р (В) = 0,95 ·0,9 = 0,855;

 

б) через D обозначим событие – сработает только один сигнализатор. Тогда по теореме сложения вероятностей для несовместных событий и теореме умножения вероятностей для независимых событий получим:

Р (D) = Р (А и   или   и В) = Р (А · ) + Р ( · B) =

 

= Р (А)· Р () + Р ()· Р (В) = 0,95·0,1+ 0,05·0,9 = 0,14;

 

в) через Е обозначим событие – оба сигнализатора не сработают. Тогда по теореме умножения вероятностей для независимых событий:

 

Р (Е) = Р ( и ) = Р ( · ) = Р ()· Р () = 0,05·0,1 = 0,005.

 

       Контроль. Очевидно, что события С, D и Е образуют полную группу, т. к. они попарно несовместны и единственно возможны, поэтому сумма их вероятностей должна быть равна единице. Действительно:    Р (С) + Р (D) + Р (Е) = 0,855 + 0,14 + 0,005 = 1;

 

    г) через Н обозначим событие – поступление сигнала об аварии. Это означает, что сработает хотя бы один сигнализатор, т. е. или оба сигнализатора сработают, или только один. Тогда по теореме сложения вероятностей для несовместных событий получим:

 Р(Н)=Р (С или D)= Р (С + D) = Р (С)+ Р (D)= 0,855+0,14 =0,995 (99,5%).

 

   Задача 2. Три стрелка делают по одному выстрелу в цель. Вероятность попадания в цель для первого стрелка 0,8, для второго 0,7, а для третьего 0,6. Найти вероятность того, что:

а) все стрелки попадут в цель;

б) только один стрелок попадет в цель;

в) только два стрелка попадут в цель;

г) все стрелки промахнутся;

д) цель будет поражена.

Решение. Обозначим:

– событие А – первый стрелок попадет в цель:

      Р (А) = 0,8; Р () = 1 – 0,8 = 0,2;  

– событие В – второй стрелок попадет в цель:

      Р (В) = 0,7;    Р () = 1 – 0,7 = 0,3;  

– событие С – третий стрелок попадет в цель:  

          Р (С) = 0,6;     Р () = 1 – 0,6 = 0,4.  

       События A, B, C – независимые.

а)через D обозначим событие – все стрелки попадут в цель. Тогда по теореме умножения вероятностей для независимых событий:

  Р (D) = Р (A и B и C) = Р (A)× Р (B)× Р (C) = 0,8×0,7×0,6 = 0,336;

б) через E  обозначим событие –  только один стрелок попадет в цель. Тогда по теореме сложения вероятностей для несовместных событий и теореме умножения вероятностей для независимых событий получим:

   Р (E) = Р (А и   и    или   В и    или  и  и С) =

   = Р (A)× Р ()× Р () + Р ()× Р (B)× Р () + Р ()× Р ()× Р (C) =

= 0,8×0,3×0,4 + 0,2×0,7×0,4 + 0,2×0,3×0,6 = 0,096 + 0,056 + 0,036 = 0,188;

в) Через F обозначим событие –  только два стрелка попадут в цель. Аналогично находим:

Р (F) = Р (А и B и или  и C или  и B и С) =

= Р (A) × Р (B) × Р () + Р (A) · Р () × Р (C) + Р () × Р (B) × Р (C) =

= 0,8 × 0,7 × 0,4 + 0,8 × 0,3 × 0,6 +0,2 × 0,7 × 0,6 =

= 0,224 +0,144 + 0,084 = 0,452;  

      г) через Н обозначим событие – все стрелки промахнутся:

Р (Н) = Р () = Р () × Р ()· Р () = 0,2·0,3·0,4 = 0,024.

 

         Контроль. Очевидно, что события D, Е,   F и   Н образуют полную группу, поскольку они единственно возможны и несовместны попарно. Следовательно, их сумма должна быть равна единице. Действительно: 0,336 + 0,188 + 0,452 + 0,024 = 1;

 

д) через G обозначим событие – цель будет поражена, т. е. в цель попадет хотя бы один стрелок. Событие G противоположно событию  = H =  (все стрелки промахнутся). Тогда вероятность события   G равна:

Р (G) = 1 – Р () = 1 – Р () = 1– Р () × Р ()· Р () =

= 1– 0,2 × 0,3 × 0,4 = 1 – 0,024 = 0,976 (97,6%).

 

      Задача3. В ящике находятся 30 изделий одинаковых по внешнему виду. Из этих изделий 20 шт. первого сорта и 10 шт. второго. Наугад извлекают два изделия. Какова вероятность того, что они оба окажутся: а) одного сорта; б) разных сортов.

      Решение. Обозначим:

– событие А ₁ – первое взятое изделие первого сорта;

– событие А ₂ – второе взятое изделие первого сорта;

– событие В ₁ – первое взятое изделие второго сорта;

– событие В ₂ – второе взятое изделие второго сорта.

   а) через С обозначим событие – оба взятых изделия одного сорта. По теоремам сложения вероятностей для несовместных событий и умножения вероятностей для зависимыхсобытий найдём, что:

Р (С) = Р (А ₁ и А ₁  или   В ₁ и В ₁) = Р (А ₁· А ₂ + В ₁· В ₂) =

 

 б) через D обозначим событие – оба взятых изделия разных сортов. По тем же теоремам сложения и умножения вероятностей получим:

Р (D) = Р (А ₁ и B ₂  или   В ₁ и A ₂) = Р (А ₁· B ₂ + В ₁· A ₂) =

      Контроль. События С и D несовместны и единственно возможны, а значит, образуют полную группу. Действительно, сумма их вероятностей:

Р (С) + Р (D)= 47/87 + 40/87 = 87/87 = 1.

 

 

 Задача 4. Студент пришел на экзамен, выучив всего 12 вопросов из 20. Найти вероятность того, что студент ответит хотя бы на один вопрос из двух последовательных случайно выбранных вопросов (то есть студент ответит либо только на один вопрос, либо ответит на оба).

 

     Решение. Обозначим событие А₁ – студент знает первый вопрос, событие A₂ – студент знает второй вопрос. Эти события зависимые.

    При нахождении вероятности «наступило хотя бы одно событие» удобно находить сначала вероятность противоположного ему события: «не наступило ни одного события».

Пусть событие С – студент знает хотя бы один вопрос. Противоположное ему событие  – студент не знает оба вопроса, т. е.:  = ₁ и ₂ = ₁· ₂.  Тогда:

Р (С) =1– Р () = 1– Р ( ₁· ₂) = 1– Р ( ₁)· ( ₂) = 1–  ·  =

= 1 – = = ≈ 0,853 (85,3%).

Здесь использована теорема умножения вероятностей для зависимых событий: вероятность,  что студент не ответит на первый вопрос 8/20, т. к. он не знает 8 вопросов из 20 (по условию 12 вопросов он знает). При нахождении вероятности не ответить на второй вопрос необходимо учесть, что студент уже не ответил на первый вопрос, следовательно, вопросов осталось на один меньше, и количество невыученных вопросов также уменьшилось на 1, т. е. «плохих» вопросов осталось 7 из 19.

 Задача 5. Из полной колоды 36 карт вынимают наугад две карты. Вычислите вероятность события А: а) обе карты бубновой масти; б) только одна карта бубновой масти; в) среди извлеченных карт нет карт бубновой масти; г) вторая карта бубновой масти;  д) вторая карта туз; ж) вторая карта туз пик; з) среди извлеченных карт нет тузов; и) среди извлеченных карт хотя бы один туз; к) среди извлеченных карт будет туз пик; л) две извлеченные карты разной масти.

   Решение. Обозначим события:

Т – извлеченная карта туз;

  Т п – извлеченная карта туз пик;

Б – извлеченная карта бубновой масти;

Ч – извлеченная карта червовой масти;

П – извлеченная карта пиковой масти;

 К – извлеченная карта крестовой (трефовой) масти;

а) Р (А) = Р (ББ) = ·  =  ;

б) Р (А) = Р (Б Б) = ·  + ·  =  ;

 

 

в) Р (А) = Р ( ) = ·  =  ;

 

г) Р (А) = Р (ББ Б) = ·  + ·  =  ;

 

д) Р (А) = Р (ТТ Т) = ·  + ·  =  ;

 

    ж) Р (А) = Р ( _п ) = ·  =  ;

з) Р (А) = Р ( ) = ·  =  ;

и) Р (А) = 1 –   Р ( ) = 1 – ·   = 1 –  = ;

 

к) Р (А) = Р ( _{п п}) = ·   + · =  ;

 

л) Р (А) = Р (Б ) = · ·4 = .

 

Задача 6. Из полной колоды 36 карт вынимают наугад карты одну за другой без возвращения. Вычислите вероятность того, что впервые туз появится при четвертом испытании.

   Решение. Обозначим: событие Т  – появился туз; событие А  –  впервые туз появился при четвертом испытании. По условию задачи: A = Т. Тогда, используя теорему умножения вероятностей для зависимых событий и учитывая, что 32 карты не тузы, получим:

Р (А) = Р ( Т) = · ·  =  ≈ 0,084.

 

Вопросы и задачи для самостоятельного решения

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных событий.

2. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

3. Что такое условная вероятность?  Как ее найти?

4. Определение полной группы событий. Каким свойством обладают вероятности событий, образующих полную группу?

5. Какие события называются противоположными? Как найти вероятность противоположного события?

6. Как найти вероятность появления только одного из двух независимых или зависимых событий?

7. Как найти вероятность появления только одного из трех независимых или зависимых событий?

8. Как найти вероятность появления только двух событий из трех независимых или зависимых событий?

9. Как найти вероятность появления хотя бы одного из двух независимых или зависимых событий?

10. Как найти вероятность появления хотя бы одного из трех независимых или зависимых событий?

Задачи

       1. Вероятности попадания в цель для первого и второго стрелков равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) в цель попадут оба стрелка;

   б) оба стрелка промахнутся; 

   в) в цель попадет только один стрелок;

  г) цель будет поражена.

Ответы: а) 0,42; б) 0,12; в) 0,46; г) 0,88.   

       2. Вероятность занятости каждого из двух телефонов равна соответственно: 0,2; 0,3. Найти вероятность того, что:

        а) оба  телефона свободны;

        б) только один из телефонов свободен;

        в) хотя бы один из телефонов свободен.

Ответы: а) 0,56; б) 0,38; в) 0,94. 

       3. В урне 3 белых и 2 черных шара. Из урны вынули два шара. Определить вероятность того, что оба шара окажутся: а) белыми; б) одного цвета; в) разных цветов; г) хотя бы один шар белый.

Ответы: а) 0,3; б) 0,4; в) 0,6; г) 0,9.   

        4. Мастер обслуживает два станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность, что первый станок в течение смены потребует внимания мастера, равна 0,4, а для второго станка эта вероятность 0,2. Найти вероятность того, что в течение смены:

        а) для двух станков потребуется мастер;

        б) только для одного станка потребуется мастер;  

        в) хотя бы для одного станка потребуется мастер.

Ответы: а) 0,08; б) 0,44; в) 0,48; г) 0,52.   

      5. Студент ищет формулу в двух справочниках. Вероятность, что нужная студенту формула есть в первом справочнике, равна 0,9, а для второго справочника 0,8. Найти вероятность того, что нужная формула:

        а) не содержится ни в одном справочнике;

        б) содержится только в одном справочнике;

        в) содержится  и в том и в другом справочниках;

        г) содержится хотя бы в одном из справочников.

Ответы: а) 0,02;    б) 0,26; в) 0,72; г) 0,98.   

     6. В ящике находятся 7 изделий, из которых 3 бракованных. Наугад из ящика берут 2 изделия. Найти вероятность того, что:

а) оба изделия окажутся небракованными;

б) хотя бы одно изделие окажется небракованным;

в) хотя бы одно изделие окажется бракованным.

Ответы: а) 2/7; б) 6/7; в) 5/7.   

     7. Из колоды в 36 карт наугад одну за другой извлекают 3 карты. Найти вероятность, что среди них:

    а) два туза;

    б) нет ни одного туза.

Ответы: а) 0,027; б) 0,695.

 

     8. Вероятность занятости каждого из трех телефонов равна соответственно 0,7; 0,6; 0,5. Какова вероятность, что хотя бы один из телефонов свободен?

  Ответ: 0,79.

     9. В первой урне 3 белых и 5 черных шаров, во второй урне 4 белых и 2 черных шара. Из каждой урны наугад извлекли по одному шару. Найти вероятность того, что они:

    а) оба белые;

    б) оба черные;

    в) одного цвета;

    г) разных цветов.

Ответы:   а) 1/4; б) 5/24; в) 11/24; г) 13/24.   

  10. По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий равны 0,1 и 0,15. Найти вероятность того, что обанкротятся:

     а) оба предприятия;

     б) только одно предприятие;

     в) хотя бы одно предприятие.

Ответы: а) 0,015; б) 0,22; в) 0,235. 

 

   11. В автобусе 15 пассажиров, из которых 5 мужчин. Найти вероятность того, что первые два пассажира, вышедшие из автобуса, будут женщинами. 

  Ответ: 3/7.

    12. Рабочий обслуживает три станка. Вероятности того, что в течение смены потребуется наладка станка, соответственно равны 0,7, 0,75 и 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены ремонт потребуется каким-либо двум станкам.

Ответ: 0,425.