Удельное акустическое сопротивление среды

Определим отношение звукового давления и колебательной скорости для синусоидальной волны. Из уравнения движения среды:

,

.

Из этой записи следует, что:

1) колебательная скорость и звуковое давление связаны линейной зависимостью, точнее прямой пропорциональностью;

2) коэффициент связи вещественный, следовательно, v и p_зв имеют одинаковые фазы.

Произведение называется удельным акустическим сопротивлением среды z_a. Это аналог электрического сопротивления, если звуковое давление сопоставить с напряжением, а колебательную скорость с током. При нормальном атмосферном давлении и температуре 20⁰С z_a=413 кг/(м²с).

Если удельное сопротивление среды умножить на некоторую площадь поверхности, то получим сопротивление, оказываемое средой этой поверхности (сопротивление излучения): . Размерность . Таким образом, колеблющееся тело испытывает со стороны среды сопротивление, подобное трению: оно также требует от источника колебаний совершения работы (см. пункт "Энергетические характеристики звукового поля"), но связано не с переводом энергии в тепло, а с оттоком мощности в пространство.

Сами по себе удельное сопротивление среды и сопротивление излучения от частоты не зависят, но, для того, чтобы развить то же звуковое давление на низких частотах, нужна большая амплитуда смещения или большая площадь, т.к. .

Сферическая волна

Волна, фронт которой представляет собой сферу, называется сферической.

Лучи при этом совпадают с радиусами сферы. Сферическая волна формируется в следующих случаях.

1. Размеры источника много меньше длины волны и расстояние до источника позволяет считать его точкой. Такой источник называется точечным.

2. Источник представляет собой пульсирующую сферу.

В обоих случаях предполагается, что переотражения волны отсутствуют, т.е. рассматривается только прямая волна. Чисто сферических волн в сфере интересов электроакустики не бывает, это такая же абстракция, как и плоская волна. В области средневысоких частот конфигурация и размеры источников не позволяют считать их ни точкой, ни сферой. А в области низких частот непосредственное влияние начинает оказывать как минимум пол. Единственная близкая к сферической волна формируется в заглушенной камере при малых габаритах излучателя. Но рассмотрение этой абстракции позволяет уяснить некоторые важные моменты распространения звуковых волн.

На больших расстояниях от излучателя сферическая волна вырождается в плоскую.

На расстоянии r от излучателя звуковое давление может быть представлено в виде:

,

где p_зв1 - амплитуда звукового давления на расстоянии 1 м от центра сферы. Уменьшение звукового давления с удалением от центра сферы связано с растеканием мощности на все большую площадь - 4pr². Суммарная мощность, перетекающая через всю площадь волнового фронта не меняется, поэтому мощность, приходящаяся на единицу площади уменьшается пропорционально квадрату расстояния. А давление пропорционально корню квадратному из мощности, поэтому оно уменьшается пропорционально собственно расстоянию. Необходимость нормирования к давлению на некотором фиксированном расстоянии (1 м в данном случае) связана с тем же фактом зависимости давления от расстояния, только в обратную сторону - при неограниченном приближении к точечному излучателю звуковое давление (а также колебательная скорость и смещение молекул) неограниченно увеличивается.

Колебательную скорость молекул в сферической волне можно определить из уравнения движения среды:

.

Дифференцирование выполним по формуле производной произведения:

.

Преобразуем в экспоненциальную форму: . Итого, колебательная скорость , фазовый сдвиг относительно звукового давления (рис. 3.1). Упрощенно говоря, наличие фазового сдвига между звуковым давлением и колебательной скоростью связано с тем, что в ближней зоне с удалением от центра звуковое давление гораздо быстрее убывает, чем запаздывает.

Рис. 3.1. Фазовый сдвиг колебательной скорости относительно звукового давления в зависимости от расстояния до центра сферической волны, выраженного в длинах волн

На рис. 3.1 можно видеть две характерные зоны.

1. Ближняя r<<

l.

2. Дальняя r>>

l.

Сопротивление излучения сферы радиуса r:

.

Т.е. не вся мощность расходуется на излучение, часть запасается в некоем реактивном элементе и затем возвращается излучателю. Физически этому элементу можно сопоставить массу соколеблющегося с излучателем воздуха (присоединенная масса среды):

,

.

Легко видеть, что присоединенная масса среды уменьшается с ростом частоты.

На рис. 3.2 представлена частотная зависимость безразмерных коэффициентов вещественной и мнимой составляющих сопротивления излучения. Излучение эффективно, если Re (z (r))> Im (z (r)). Для пульсирующей сферы это условие выполняется при kr >1.

Рис. 3.2. Частотные характеристики безразмерных коэффициентов активной и реактивной составляющих компонент сопротивления излучения для пульсирующего шара

В заключение отметим, что выше не учитывалось затухание волны в воздухе. В качестве первого приближения это допустимо, основной источник затухания волны в помещении прослушивания - поглощение ее поверхностями помещения (см. Лекцию 4).