Точку пересечения осей поверхностей принимаем за центр вспомогательных сфер.

                                                           12 Î 22

                      

 

                                                                    21

                               

                                                         

                                                                         11

Если сфера соосна с каждой из поверхностей, то она пересечет их по окружностям плоскости которых перпендикулярны осям поверхностей соответственно. ЭТИ ОКРУЖНОСТИ ПЕРЕСЕКАЯСЬ ДАЮТ ТОЧКИ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. В общем случае таких точек будет четыре.

На чертеже показано построение точек 1 и 2.

Проведя множество сфер получим сколько угодно точек принадлежащих линии пересечения поверхностей.

Чтобы избежать лишних построений, надо сразу определить радиусы наибольшей и наименьшей сфер.

Для этого отметим точки пересечения очерковых образующих поверхностей. Отрезок от центра сферы до проекции наиболее удаленной точки на линии пересечения поверхностей - будет радиусом наибольшей сферы.

Для определения радиуса наименьшей сферы из центра сферы О проводят две нормали к очерковым образующим данных поверхностей. Точки пересечения нормалей с очерковыми образующими дадут нам точки N и N*. Наибольший из отрезков ОN или ОN* даст нам радиус наименьшей сферы. Между этими сферами проводят необходимое количество вспомогательных сфер.

Вопрос видимости здесь решается просто. Обычным способом.

Достроим линию пересечения поверхностей.

 

 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ.

Нахождение точек пересечения прямой линии с поверхностью производится следующим методом.

Через заданную прямую проводят вспомогательную поверхность.

Находят линию пересечения вспомогательной поверхности с заданной поверхностью.

Определяют общие точки прямой с линией пересечения поверхностей. Это и будут искомые точки.

Затем определяют видимость.

В каждом отдельном случае вспомогательную секущую поверхность выбирают так, чтобы она простейшим образом пресекалась с заданной поверхностью.

Например коническая поверхность пересекается горизонтальной прямой.

Заключим эту прямую в плоскость уровня горизонтальную плоскость.

Эта плоскость пресечет конус по окружности, которая на фронтальную плоскость проекций спроектируется в прямую линию, а на горизонтальную в окружность. Замерим радиус этой окружности от оси до очерковой образующей конуса в месте прохождения секущей плоскости на фронтальной проекции. Проведем эту окружность на горизонтальной проекции. Определим точки пересечения горизонтальной проекции горизонтали с этой окружностью.

Найдем их фронтальные проекции. Определим видимость.

                              h 2              12         22

                                    

                              h 1

                                              11                            21

      

Рассмотрим аналогичную задачу, но более сложный случай, когда плоскость частного положения в качестве дополнительной секущей провести нельзя.

 

 

                                                                                                   S 2

                                                      l 2

                                                                     1. 2  2 2

                                                                                                                                                                                                 

                                                                                                            T2

                                                                                                                          К 2 

                                                                                                                 P 2        

                                       3 2            4 2    

                                                                                               S 1

                           l 1

 

                                                                                                                           

                                                                       11  21

                                                                                                                                                                             Т 1

                                                                                                                                                                                                                 К 1

                                                                                                                                                                                               Р 1  

                                                                3 1                                     4 1

Проведем линию через вершину конуса и пересекающую заданную прямую. Эти две линии зададут нам плоскость общего положения пересекающую поверхность конуса.

Построение начнем с фронтальной проекции. Проведем проекцию S2 T2 и продлим ее до пересечения с проекцией прямой проходящей через основание конуса в точке Р2.

Продлим также проекцию прямой l 2 до пересечения с проекцией прямой проходящей через основание конуса в точке К 2.

      Переходим к построениям на горизонтальной плоскости проекций.

      По линии проекционной связи на проекции прямой l 1

найдем Т 1.

      На продолжении S1 T1 на линии проекционной связи найдем положение Р 1. 

      Так как точка К принадлежит прямой L, то найдем ее проекцию К 1 по линии проекционной связи на продолжении

l 1.

      Теперь у нас есть две точки Р 1 и К 1 для того, чтобы

провести линию проходящую через основание конуса и одновременно принадлежащую плоскости в которую мы заключили прямую L.

      Проведем горизонтальную проекцию этой прямой, которая пересечет основание конуса в точках 31 и 41.

Соединив проекции этих точек с вершиной S 1 получим проекцию фигуры сечения.

       Там где прямая l 1 пересечет фигуру сечения будут точки 11 и 21. Это горизонтальные проекции точек пересечения прямой L с поверхностью конуса.

             Найдем фронтальные проекции этих точек. Для этого определим положение точек 32 и 42 и соединим их с вершиной S2. Остальное очевидно.

 

 

                   Пересечение прямой и поверхности.

                   (Повторение и продолжение).

 

Для контроля усвоения материала хочу предложить выполнить самостоятельно две простые задачи на пересечение прямых частного положения с поверхностями конуса и цилиндра.

 

  Чтобы построить точки пересечения прямой с конической или цилиндрической поверхностью, следует заключить прямую в плоскость, проходящую через вершину поверхности (собственную или несобственную), найти линию пересечения плоскости и поверхности, а затем точки, в которых эти линии пересекаются с заданной прямой.     

 

      ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВОЙ ЛИНИИ С ПОВЕРХНОСТЬЮ.

Рассмотрим на примере пересечения кривой линии с поверхностью конуса.

На фронтальной проекции видно, что кривая L не может пересечь поверхность конуса с вершиной S левее точки А2 и правее В2.

Глядя на горизонтальную проекцию можно утверждать, что пересечение может находится в пределах ограниченных точками С 1 и D 1.

Определим как горизонтальные так и фронтальные проекции этих точек и рассмотрев их станем утверждать, что пересечение происходит между точками А и D. Если кто затрудняется прийти к такому выводу, то задавайте вопрос и я дополнительно поясню.

Далее воспользуемся дополнительным центральным проецированием.

Спроецируем коническую поверхность конуса S и кривую в пределах

АD на плоскость Т.

 

                                                                        

 

                                                                                                          S 2

 

                                                                                              Т2

                                                                                              

 

 

Проекцией поверхности будет окружность, а проекцией кривой кривая со штрихом.,то линии пересекаются в точках К и М.

Найдем горизонтальные проекции точек К и М.Соединив их с вершиной S получим горизонтальные проекции точек пересечения кривой с поверхностью. Найдем на фронтальной проекции этой кривой. соответствующие проекции точек пересечения. 

 

..

.

.

.

.

.

                          Метрическая задача.

 

      Задача очень простая. Мы сможем решить ее различными известными нам

методами. Я покажу вам решение самым первым методом - треугольника.

Вы же попробуйте получить решение заменой плоскости проекций и методом

вращения.

       Построить основной чертеж сферы с центром в точке С, если точка А

 принадлежит ее поверхности.

 

               

 

                             А 2 ·

 

.

 

.                                                        · С 2       

 

 

                                                          · С1

 

 

                                    · А1

 

 

Задача сводится к нахождению натуральной величины отрезка АС.

Если мы возьмем превышение по оси Z токи А2 над тоской С2 и отложим его под

прямым углом к проекции А1С1, то диагональ полученного прямоугольного

 треугольника будет равна натуральной величине отрезка или радиусу сферы.