Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2020-12-06 | 88 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Замена переменной в ТИ (геометрический вывод для общего случая); переход в ТИ к цилиндрическим и сферическим координатам.
а) переход к цилиндрическим координатам
M(x,y,z)=M(ρcos(φ), ρsin(φ),z) (2)
(x,y,z)↔(ρ, φ,z)
x= ρcos(φ)
(1) (1’)
(2)
это знак якобиана если что;)
dV=dxdydz= dρdφdz (3)
(4)
б) Переход к сферическим координатам
ψ-отсчитывается от Oz по часовой стрелке
r-радиус-вектор точки M
Пусть -новые координаты, тогда:
(5) (5’)
dxdydz=
6.криволинейные интегралы: 1)пусть переменная t с помощью отображений x=x(t),y=y(t),z=z(t) отображает [ R’ в Г (1);2) тогда x(t),y(t),z(t) – координаты вектор-функции (2) и определяет некоторую кривую в пространстве,т.е. x=x(t), y=y(t),z=z(t),t параметр.уравнение кривой в пространстве.Если t –время,то (3)-уравнение траектории движения.3)если предшествует точке M(, т.е. M[x( y(,z( ] предшествует M[x( y(,z( ]. Г: t) .если .если M( t x(0)=x(2 ),y(0)=y(2 )=0.
Криволинейные интегралы 2 рода
Определение: Конечный предел интегральной суммы In при λ→∞,не зависящий от точек Mi,называется криволинейным интегралом
второго рода от функций P,Q,R по пути L:
In=
Определение (еще одно хз какое лучше): Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),
Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы: , , ,то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают: = + + (1)
Свойства КИ-2:
1) Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (1) существует
2) При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак: = -
|
Про работу: Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода:
A= , где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение * означает скалярное произведение векторов и .
Механически КИ-2 представляет собой работу переменной силы , точка приложения которой описывает кривую L
Вычисление КИ-2: Если линия AB задана в параметрической форме:x=x(t), y=y(t), z=z(t), t1≤t≤t2, где x(t), y(t), z(t) – непрерывно дифференцируемые функции, и при изменении параметра t от t1 к t2 кривая описывается именно от точки A к точке B, то
=
Причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл
Решение уравнения с разделяющимися переменными
Понятие однородной функции n -ого измерения однородные ДУ-1, их решение
Линейные ДУ-1: определение, отыскание общего решения методом Бернулли.
Линейные ДУ высшего порядка(ДУ- n): однородные, неоднородные. Однородные ДУ- n: доказать теоремы о свойствах решений, понятие фундаментальной системы ЛОДУ- n. Доказать теорему о структуре общего решения ЛОДУ- n.
(1)
Если при всех рассматриваемых значениях x ф-я то уравнение (1) наз-ся линейным однородным, в противном сл-е он наз-ся лин-но неоднородным.
Введем оператор: (2)
С помощью оператора (2) ур-е (1) примет вид:
ЛОДУ-(n) Свойства решений
Т1 Если - решения, то - тоже решения
Д-во:
Тогда:
Т2 Если - решение, то -тоже решение, где
Д-во: , тогда
Понятие ФС ЛОДУ-(n)
Т опред. на были лин-но незав-мы, необходимо и достаточно чтобы Вронскиан хотя бы в одной точке на
Т Если Вронскиан в точке , то он не равен о ни в одной точке
О n - лин-но незав-х решений ЛОДУ-(n) наз-ся фундаментальной системой решений (ФСР)
Т о структуре общего решения ОЛДУ-(n)
Если – ФСР ОЛДУ-(n)
, то общ. Решение ОЛДУ-(n) имеет вид:
|
, (2)
Д-во: имеем
А) Тогда
Б) Покажем, что задача Коши имеет единственное решение:
(3)
(2) в (3): (4)
(4) – система лин-х неодн-х алгебр-х ур-й. Она имеет единственное решение, если опред-ль системы не равен 0.
Значит (4) – единственное решение
Подставляя найденное значение в (2) получаем решение задачи коши. Теор. Доказана
Вопрос.
П-ОЛДУ с постоянными коэффициентами
L(y)=yn+a1yn-1+…+an-1y’+any=0 (11)
a1,a2,…,an-const
Метод Эйлера: ищем решение в виде y=eλx λ-const (12)
y’=λeλx,y”=λ2eλx…yn=λneλx (13)
(12) и (13) в (11)
L(eλx)= λneλx+a1 λn-1eλx+…+an eλx
L(eλx)= (λn+a1 λn-1+a2 λn-2+…+an) eλx
L(eλx)=P(λ) eλx≡0 (14)
eλx≠0 xϵ(-∞;∞)
Из (14) следует P(λ)≡λn+a1 λn-1+…an=0 (15)
Характеристическое уравнение(ху)
Задача. Интегрирование диф. уравнения свелось в
Случаи:
1. ХУ(15) имеет n различных вещественных корней
n решений λ1, λ2,.., λn y1= eλ1x,y2= eλ2x,…,yn= eλx(16)
W(eλ1X,…, eλnX)= eλ1X eλ2X … eλnX
λ1 eλ1X x2 eλ2X… λn eλnX
………………………
λ1n-1 eλ1X … λnn-1 eλnX
= eλ1X* eλ2X*… eλnX * I I …. I
λ1 λ2 …. λn ≠0 xϵ(-∞;∞)
λ1n-1 λ2n-1… λnn-1
определитель Вандер Монда т.е (16)-ФСР
Тогда yоо=с1y1+ с2y2+…+ сnyn= c1eλ1X + c2 eλ2X+…+ cn eλnX (17)
2. Среди корней XУ имеется комплексный корень λ1=α+iβ
Тогда имеется обязательно сопряжённый корень λ2=α+iβ
y1= eα+iβ)x=eαx(cosβx+isinβx)= eαxcosβx+ ieαxsinβx=u(x)+iv(x)=y1(c волнистой чертой) y2(c волн.ч)= eα-iβ=eαxcosβx-ieαxsinβx= u(x)+iv(x)
Теорема о комплексном решении ДУ
Пусть y=u+iv – комплексное решение ДУ. Тогда L(y)≡0 следовательно L(u)+iL(v)=0 следовательно
т.е u(x) и v(x)-действительное решение ДУ.
Вывод: двум комплексным сопряжённым корням λ1,2=α+iβ характеристического уравнения P(λ)=0 соответствует вещественное решение y1= eαxcosβx,y2= eαxsinβx
3. Среди корней ХУ корень λ1 кратности “к”
XУ P(λ)=(λ-λ1)kQn-k(λ)=0 (18)
P’(λ)=k(λ- λ1)k-1 Q(λ)+ (λ- λ1)kQ’(λ)
P’’(λ)= k(k-1)(λ-λ1)k-2Q(λ)+2k(λ-λ1)k-1Q’(λ)+ (λ-λ1)kQ’’(λ)
…………………………………………………………….. (19)
P(k) (λ)=k(k-1)…2*1Q(λ)+…+ (λ-λ1)kQk(λ)
Если λ1-корень ХУ(18), то (Q(λ1)≠0)
P(λ1)≡0 P’(λ1)=0,P’’(λ1)=0…,Pk-1(λ1),но Pk(λ1)=k’Q(λ1)≠0
|
Ранее имеем L(eλx)=P(λ) eλx=0 (20)
Продифференцируем соотношение (20) по λ:
(L(eλx))’λ=(P(λ) eλx)’λ ;(eλx)’=P’(λ) eλx+P(λ)x eλx
L(x eλx)=P’(λ) eλx+P(λ)x eλx
Ещё раз дифференцируем по λ k-2 раз
L(x2 eλx)=P’’(λ) eλx+2P’(λ)x eλx+P(λ) eλxx2 (21)
Если в соотношении (21) подставим λ1-корень ХУ,то будем иметь
L(x eλx)=P’(λ1) eλ1x+P(λ1)x eλ1x=см 19=0 L(x eλ1x)≡0 следовательно x eλ1x тоже решение ОЛДУ-n. L(x2 eλ1x)=см 19=0+0+0=0 следовательно x2 eλ1x-тоже решение ОЛДУ-n. L(xk-1 eλ1x)=0+0+…+0=0 следовательно xk-1 eλ1x тоже решение ОЛДУ-n. Вывод: Если λ1-как кратный корень ХУ, то ему соответствует,,к,, решений:
y1= eλ1x,y2=x eλ1x,y3=x2 eλ1x,…,yk=xk-1 eλ1x –входят в ФСР как лин. независимые
4. Среди корней ХУ имеются почленно сопряжённые как кратные корни λ1,2=α+iβк р “ к” Всего 2к корней. Следует 2 кратным корнем имеет два вещественные решения y1= eαxcosβx,y2= eαxsinβx
В силу кратности y3=x eαxcosβx,…,y2k-1=xk-1 eαxcosβx
y4=x eαxsinβx,…, y2k=xk-1 eαxsinβx
Доказательство
(Sn) A=
(Sn) B=
(Sn)A (Sn)B , SA B (2)
Из(2) Если – сходится, то B -конечная => SA -конечная < B => - сходится
Из(2) Если - – расходится, то SA -бесконечная => B -бесконечная > SA => - расходится
Признак Даламбера
Если в ряде (an ) =L
L<1-сходится
L>1 расходится
L=1 -??
Доказательство
a) L<1; =L
L<q<1
=q-L>0
< < = q-L
<q
Начиная с
aN+1<q*aN
aN+2<q*aN+1<q2an
a1+a2+a3+…aN+aN+1+aN+2+… (4)
aN + q*aN+q2aN+q3aN+… (5)
начиная с номера члены ряда (1)<(2)
а ряд (2)-геометрическая прогрессия со знаменателем q>1
= - кон.число по теореме сравнения в форме неравенства
L>1; =L члены с каждого номера члены ряда возрастают an+1>an, т.е. не выполняется НУС
а значит ряд расходится
в) L=1-???
Коши-Радикальный
Если в (an ), =L, то
L<1-ряд сходится
L>1-ряд расходится
L=1-??
Доказательство
=L
=> | <
L <1
=q-L
-L< =q-L
< qn начиная с некоторого номера
n <qn
N <qN
N+1 <qN+1
2 ряда
a1+a2+a3+…aN+aN+1+aN+2+… (6)
qN+qN+1+qN+2+… (7)
начиная с N члены (6)<(7) ряд (7) геом прогрессия q<1; = - конечное число, тогда по признаку сравнения (6) сходится
Б) L>1 aN+1>aN; aN>1 т.е не выполняется НУС
|
В) L=1-??
Признак Коши-Интегральный
Рассмотрим ряд (an )
a(n) непрерывная функция на [n0; ]
Если , - конечное число, то –сходится
Если =0, или , то – расходится
=A(n) =
Вопрос 20. Если для последовательности {Sn,n≥1} частичных сумм существует конечны предел S, то ряд называется сходящимся, а число S-суммой данного ряда. Ряд называется расходящимся, если lim Sn (при n→0) не существует или бесконечен.
НУС Для того что бы ΣAn сходился, необходимо, что бы lim An(при n→0)=0
Если ряд сходится то остаток ряда тоже сходиться. Отбрасывание первых членов ряда не влияют на сходимость. Если ряд сходиться то остаток стремиться к нулю.
Т Знакоположительный ряд всегда имеет сумму: А) Если сумма ряда конечна, то ряд сходиться. Б) Если сумма бесконечна, то ряд разходится.
Абсолютная и условная сходимость Ряд ΣA (от 1 до ∞) называется абсолютно сходящимся, если ряд Σ‖A‖ также сходится.
Если ряд ΣAn (от 1 до ∞) сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд ΣА (от 1 до ∞) называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Функциональные ряды.
О) ФР: (1) x Î<a,b> (1)
O) Если в (1) x=x0, то (2) – числовой ряд
О) Если – (2) сходится, то говорят, что ФР (1) сходится в (.) x0
О) Если – (2) " x0 Î <a,b>, то говорят, что ФР (1) сходится на <a,b>
О) Если - (2) расходится, то ФР (1) расходится в (.) x0
О) - (2) сходится в (.) x0, если
Частичная сумма сумма числового ряда
т.е. " e>0 $ N(e,x0): "(n>N) Þ ½Sn(x0)-S(x0)½<e
!!! N(e,x0) зависит и от e и от x0
Равномерная сходимость.
О) ФР (1) сходится равномерно на <a,b>, если " e>0 $ N(e): "(n>N) Þ ½Sn(x)-S(x)½<e " “x” Î <a,b> одновременно, где Sn(x)= – частичная сумма, S(x) – сумма ряда
S(x)=Sn(x)+Rn(x)
Rn(x)=Un+1(x)+Un+2(x)+… - остаток ряда
Вопрос
PU y(x)= y(0)n/n!*xn xϵ<-R,R> (1)
PT y(x)= y(0)n/n!*(x-x0) xϵ<-R,R> (2)
1. Вычисление значений функций y(x) x=x1. Раскладываем функцию в ряд Тейлора и Маклорена и вычисляем значение функции
2. Вычисление интегралов. fn(x0)/n!(x-x0)n= fn(x0)/n! (x-x0)ndx= fn(x0)/n! (x-x0)ndx=
f(x0)(x-x0)n+1/n!(n+1) [a,b] <-R,R>
3. ДУ. a) Линейные ДУ. y’’+p(x)y’+g(x)y=0 Пусть p(x)=
q(x)= ; y(x)= (3) Подставим (3) в и находим коэффициенты Сn и находим из обращения в нуль коэффициентов при любой степени х в полученном выражении
б) Если p(x)= ; q(x)= Пусть a0,b0,b1 не равны, о оновр тогда решение уравнения (1) можно искать в виде обобщённого степенного ряда y(x)=xs ; ρ(ρ-1)+a0ρ+b0=0 (6)
a0= ,b0=
a) Если ρ1-ρ2- не целое. y1(x)=xρ1 ; y2(x)=xρ2
y00=c1y1(x)+c2xy2(x) (!!!)
б) Если ρ1-ρ2- целое
2.1 Ряд Фурье. Пространство функции L 2 [- ]. Определение, св-ва.
Рассмотрим множество f(x): = непрерывные на [- ]
|
Кусочные непрерывные [- ], имеющие кон число точек разрыва 1го рода
Свойства функции:
1) Если f(x) L2, то С*f(x) L2
Доказательство: =С2* <
2) Если f1(x);f2(x) L2 то f1(x)+f2(x) L2
Д-во: ( f1(x)+f2(x))2 0
f12 f1f2+f22 => f12+f22> f1f2
= < <2
Благодаря этим свойствам образуется линейное векторное пространство, которым можно показать, что L2 не имеет конечного базиса. Базис содержит бесконечное множество векторов
Можно ввести скалярное произведение:
{f(x),g(x)} =
1) (g(x), f(x)) =
(f(x),g(x)) =(g(x),f(x))
2) {f1(x)+f2(x),g(x)} = =
( + )* = * + *
3) { f(x), f(x)} = 0
4) (|f(x)|) =
5) {|f(x)-g(x)|}=
2(Ряды Фурье). Показать ортогональность функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…,cosnx, sinnx,… на [- π, π ].
{1, sinx, cosx, sin 2x, cos 2x,..., sin nx, cos nx,...}
1. Поэтому
2.
3.
4.
Если n=m, то
5.
при n ≠ m, n, m = 1, 2, 3,... Если n = m, то
Значит,
6.
при n ≠ m, n, m = 1, 2, 3,... Если n = m, то
То есть
Таким образом, доказано, что система на отрезке [ - π, + π] ортогональная.
Вопрос 3 фурье
5)Ряд Фурье для периодических функций с периодом T=2l
Пусть f(x) есть период. ф-я с T=2l,отличным от 2π. Разложим ее в ряд Фурье. Замена переменной: /
Тогда ф-я будет переод-й ф-й от t c T=2π. Ее можно разложить на
,где ,
Возвратимся к старой переменной:
Имеем:
Ряд Фурье будет иметь вид:
Замена переменной в ТИ (геометрический вывод для общего случая); переход в ТИ к цилиндрическим и сферическим координатам.
а) переход к цилиндрическим координатам
M(x,y,z)=M(ρcos(φ), ρsin(φ),z) (2)
(x,y,z)↔(ρ, φ,z)
x= ρcos(φ)
(1) (1’)
(2)
это знак якобиана если что;)
dV=dxdydz= dρdφdz (3)
(4)
б) Переход к сферическим координатам
ψ-отсчитывается от Oz по часовой стрелке
r-радиус-вектор точки M
Пусть -новые координаты, тогда:
(5) (5’)
dxdydz=
6.криволинейные интегралы: 1)пусть переменная t с помощью отображений x=x(t),y=y(t),z=z(t) отображает [ R’ в Г (1);2) тогда x(t),y(t),z(t) – координаты вектор-функции (2) и определяет некоторую кривую в пространстве,т.е. x=x(t), y=y(t),z=z(t),t параметр.уравнение кривой в пространстве.Если t –время,то (3)-уравнение траектории движения.3)если предшествует точке M(, т.е. M[x( y(,z( ] предшествует M[x( y(,z( ]. Г: t) .если .если M( t x(0)=x(2 ),y(0)=y(2 )=0.
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!