Определение рациональных корней скалярного уравнения

Цель:

· получить представление об итерационных методах определения корней нелинейного скалярного уравнения;

· научиться использовать электронные таблицы для определения интервалов существования корней скалярного уравнения и последующего их вычисления с заданной точностью.

ЗАДАЧА 1. Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти все или часть корней уравнения

                                                    f(x)=0.                                                  (1)

Корни уравнения (1) могут быть действительными и комплексными. Ниже пойдет речь о вычислении действительных корней.

 Лишь небольшая часть уравнений может быть решена аналитическими методами. Не говоря уже о трансцендентных уравнениях, точное решение нельзя найти для алгебраического уравнения выше четвертого порядка. Поэтому подавляющее большинство задач типа (1) можно решить приближенно с заданной степенью точности.

При приближенном определении корней общая задача (1) распадается на несколько подзадач:

1. Надо исследовать количество и характер расположения корней.

2. Определить интервалы нахождения каждого корня.

3. Для выбранных корней выполнить их вычисление с заданной степенью точности.

Первая и вторая задачи решаются аналитическими и графическими методами. При этом используются известные теоремы из математического анализа:

Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков на концах отрезка [a, b], т.е. f(a)*f(b)<0, то внутри этого отрезка по меньшей мере одно число X^* [a, b] такое, что f(X^*)=0.

Теорема 2. Корень X^* будет единственным на отрезке [a, b], если производная f¹(x) существует для всех точек этого отрезка, является монотонной и не меняет знака внутри интервала [a, b].

Известно, что алгебраическое уравнение  может иметь не более n корней. Поэтому если для такого уравнения получено n+1 перемена знака, то все его корни локализованы.

Для определения значений концов отрезка [a, b], внутри которого будут находиться корни алгебраического уравнения n-ой степени, можно использовать оценку

               1

| X ^*| <= 1+ ------ * max (| a ₀ |,| a ₁ |, …, | a_{n -1} |),

             | a_n |

согласно которой все n корней будут находиться внутри интервала от - X ^* до X ^*.

ЗАДАЧА 1.1. Пусть требуется определить интервал нахождения корней уравнения f(x)=x⁵+2x⁴-5x³+6x²-4x-3=0.

В данном случае a_n=1, а максимальное значение по модулю значения коэффициента равно 6, таким образом, |X|<=1+6/1=7. Следовательно, корни этого уравнения находятся в интервале от –7 до 7. Результаты этого расчета оформим в виде таблицы.

ЗАДАЧА 1.2. Пусть требуется определить интервал нахождения корня уравнения f(x)=5*cos(x)-e^x=0.

В случае трансцендентных уравнений определение диапазона существования корней целесообразно выполнить графическими методами. Для этого исходное уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением вида

φ_(x)=φ₂(x),                                                            (2)

где φ_(x) и φ₂(x) – функции более простые, чем f(x). В данном случае уравнение (2) будет иметь вид 5*cos(x) = e^x.

Затем для каждой из функций рассчитывается таблица значений, аналогичная таблице в лабораторной работе № 1, и по полученным данным строится график двух функций. Точка их пересечения и даст приближенное значение корня и интервал его существования. Для того, чтобы убедиться, что найденный отрезок действительно содержит корень, поступают так, как описано ниже при определении (локализации) корней степенной функции.

Локализация корней нелинейного скалярного уравнения

Откройте файл Лабораторные работы.xls, добавьте рабочий лист и назовите его Поиск корней.

ЗАДАЧА 1.3. Определить интервалы нахождения каждого корня уравнения (1).

Для определения диапазона нахождения каждого корня построим таблицу и график приведенной выше функции. Для этого в ячейках А2, B2, C2, D2, E2, F2 введем соответственно значения коэффициентов. Этим ячейкам определим следующие имена: a5, a4, a3, a2, a1, a0. В ячейку А1 введем название таблицы ‘Коэффициенты уравнения”. Отцентрируем, объединив ячейки А1, B1, C1, D1, E1, F1.

X0	H
-7	0,03

В ячейках H1, I1, H2, I2 построим таблицу, содержащую значение левой границы интервала расположения корней и шаг H.                                                                                                     

В ячейках A5, B5, C5, D5 построим шапку таблицы

№

Шаг

X=X0+шаг

F(x)

Затем в ячейку B6 введем начальное значение для шага: =$I$2.

В ячейку B7 введем закон изменения шага =B6+$I$2. В ячейку C6 введем формулу: =$H$2. В ячейку C7 – формулу =C6 + B6. Копируем формулы в ячейках В7 и С7 до тех пор, пока не будет получена верхняя граница интервала расположения корней – 7.

В ячейку D6 введем формулу для расчета значений заданной функции

=a5*C6^5+a4*C6^4+a3*C6^3+a2*C6^2+a1*C6+a0.

Скопируем эту формулу до ячейки, где находится значение X, соответствующее значению верхней границы расположения корней заданного уравнения: 7.

Достроим колонку значений для № и удалим лишние значения в колонки «Шаг».

Отцентрируем расположение данных в каждом столбце и для колонки F(x) определим форматный код следующего вида: 0,00_;[Красный]-0,00\. Такой форматный код позволит упростить визуальное определение диапазона расположения каждого корня, так как отрицательные значения будут выведены красным цветом

Теперь ясно видно, что f(x) пересекает ось Х трижды (рис.8.1). Первый раз в диапазоне от –3, 82 до –3,70. Второй раз в диапазоне от –0,85 до –0,40 и третий в диапазоне от 1,13 до 1,70. Поскольку уравнение должно иметь не менее пяти корней, то можно сделать вывод о том, что все корни данного уравнения локализованы и, по крайней мере, два из них являются комплексными. Для иллюстрации полученных результатов по данным таблицы постройте график.

Рис. 8.1.Таблица значений для локализации корней