Разложение чисел на слагаемые и разбиение нечетных простых чисел

В другом письме 1640 года Френиклю Ферма объявил, что нашел общие правила разложения числа на сумму двух квадратов. Это происходило из комментария Баше к одной задаче Диофанта, связанной с разложением числа N на сумму двух квадратов четырьмя разными вариантами.

Разложение числа на слагаемые – проблема, схожая с разложением на множители. Если в последнем случае ищут делители, то здесь – слагаемые. Очевидно, что слагаемые должны быть определенного типа, поскольку нахождение любых слагаемых тривиально. Именно эту проблему Ферма и решил.

Решением является формула, которую мы не будем здесь приводить. Достаточно отметить: значимость результата состоит в том, что Ферма снова удалось найти общий метод, и для этого он воспользовался любопытным свойством простых чисел, которое намного более важно, чем проблема сама по себе. Действительно, Ферма знал, что простые числа вида 4k ‑ 1 не могут быть выражены в виде суммы двух квадратов. Также, хотя доказательство стоило ему большого усилия и было осуществлено с помощью его метода бесконечного спуска, он доказал, что простые числа вида 4k + 1 всегда можно разложить на сумму двух квадратов, и эта сумма единственная. Ферма удалось разбить нечетные простые числа на две различные группы в зависимости от того, выполняют они некое требование или нет. Он использовал эти два результата для доказательства того, что проблема Баше может быть сведена к определению, при заданном числе Ν, сколько его простых делителей имеют вид 4k ‑ 1, а сколько – вид 4k + 1. Действительно, за исключением числа 2 все простые числа могут быть записаны в первом или втором виде, поскольку они оба включают все нечетные числа. Следовательно, только простые делители вида 4k + 1 могут образовывать два слагаемых, а количество вариантов, по которым можно разложить N, – это всего лишь проблема комбинаторики.

Мы снова видим плодотворность изучения простых делителей. Мы можем мало сказать о числе N в целом, зато можем делать утверждения о его простых делителях, которые полны интересных свойств! Таким образом мы в конце концов узнаем что‑то о числе N. Этой плодотворной стратегией Ферма пользовался несколько раз. Он сам жаловался Мерсенну в 1636 году, что в арифметике не существует общих принципов решения задач. Через несколько лет сам Ферма установил некоторые из таких принципов.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ЧИСЛА

После 1644 года Ферма внезапно перестал писать своим корреспондентам, и его молчание продлилось десять лет. Этому, без сомнения, поспособствовала в 1648 году смерть его главного корреспондента, Марена Мерсенна, а также тот факт, что его отношения с другими привычными корреспондентами, Френиклем и Брюларом, охладились чуть ли не до разрыва.

Затворничество математика завершилось, когда Блез Паскаль, сын Этьена, обратился к Ферма, чтобы поставить перед ним задачу, с которой началась теория вероятностей. Во время этой переписки ученый воспользовался случаем и начал ставить задачи по теории чисел, надеясь заинтересовать ими Паскаля. Ферма говорил, что важно создать братство математиков, которые, соревнуясь между собой и одновременно сотрудничая, решали бы задачи, поставленные этой теорией. Один из результатов, о которых сообщил Ферма, очень красив. Чтобы объяснить его, нужно вернуться к предмету другого большого арифметического интереса пифагорейцев: треугольным числам и их обобщению – прямоугольным числам.

РИС. 1

РИС. 2

РИС. 3

Треугольное число – это число, которое можно разложить так, чтобы слагаемые образовывали треугольник (рисунок 1). Например, число 10 обладает данным свойством (10 = 1 + 2 + 3 + 4), то есть является суммой первых четырех натуральных чисел. Число 10 лежало в сердце пифагорейской мистики. Они называли его тетраксис, и оно символизировало собой четыре стихии, гармонию сфер и упорядочивание пространства (0 измерений, 1 измерение, 2 и 3 измерения, представленные в каждой линии). Пифагорейцы молились / и клялись им, считая его создателем богов и людей и источником изменяющего творения. Также 1, 3, 6 и 15 – треугольные числа (рисунок 2). А 6 – это первое совершенное число. На самом деле любое совершенное число является треугольным.

Число будет квадратным, если оно образовано квадратом некоего целого числа. Квадратные числа – это 1, 4, 9, 16, 25... и так далее (рисунок 3).

У нас уже есть все исходные данные, чтобы получить результат Ферма: любое число либо треугольное, либо является суммой двух или трех треугольных чисел. Оно также является либо квадратным, либо суммой двух, трех или четырех квадратных чисел. Кроме того, оно либо пятиугольное, либо сумма двух, трех, четырех или пяти пятиугольных. И так далее.

Помимо переписки с Паскалем, Ферма оставил этот результат записанным на другом поле "Арифметики" Диофанта. Неудивительно, что он сопровождается замечанием, практически идентичным замечанию к последней теореме ученого: "Доказательство этого чудесного результата не помещается на этом поле, но я собираюсь написать книгу на данную тему". Как и во многих других случаях, Ферма не сдержал своего обещания: трактат так и не был написан, и доказательства так и не было найдено. Лагранж и Гаусс доказали частные случаи, и, в конце концов, Коши привел общее доказательство в 1812 году. В любом случае, Ферма не удалось заинтересовать Паскаля. В 1654 году тот ответил вежливым и скромным письмом, в котором говорил, что не способен достичь той же математической высоты, что и Ферма, и призывал его продолжать свои исследования и публиковать результаты.