Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2020-07-07 | 186 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Теорема 1. Пусть d – натуральный делитель числа q -1. Тогда число элементов b Î Fq порядка d равно j(d).
Доказательство. Обозначим через y(d) число элементов в поле Fq, имеющих порядокd. По теореме 1 параграфа 7 d делит q – 1. Так как каждый элемент b Î Fq имеет некоторый порядок, то имеем равенство
. (1)
По теореме 2 параграфа 7 для любого числа d Î N либо y(d) = 0 либо y(d) = j(d). Поэтому в общем случае имеет место неравенство
y(d) £ j(d). (2)
По свойству функции Эйлера
. (3)
Вычитая равенства (3) и (1) почленно получим
.
В силу (2) отсюда получаем, что для всех d | (q – 1) имеет место равенство
y(d) = j(d).ÿ
Так как (q – 1) | (q – 1), то из теоремы 1 получаем следствие.
Следствие. Тогда число элементов a Î Fq порядка q – 1 равно j(q – 1). ÿ
Теорема 2. Мультипликативная группа Fq * ненулевых элементов конечного поля Fq циклична, т.е существует такой элемент a Î Fq, что
Fq *= á a ñ = {1, a, a 2, …, a q -1}. (4)
Доказательство. По следствию теоремы в группе Fq * существует хотя бы один элемент a элемент порядка q – 1, так как таких элементов имеется j(q – 1)>0. Тогда по теореме 2 параграфа 7 элементы множества (4) различны и группа Fq * , состоящая из q – 1 элементов, исчерпывается этими элементами.ÿ
Пример 1. Каких порядков в поле F 27 существуют элементы и сколько?
По теореме 1 в поле F 27 существуют элементы порядка d | (27 – 1), т.е. d |26 и таких элементов порядков j(d). Таким образом, в поле F 27 существуют элементы порядков 1, 2, 13, 26 соответственно в количестве j(1) = 1, j(2) = 1, j(13) = 12, j(26) = 12.
Функция Мебиуса и формула обращения Мебиуса
Определение 1. Функцией Мебиуса называется функция m: N ® {-1, 0, 1}, определенная равенством:
Теорема 1. Пусть m, n – натуральные числа. Тогда справедливы свойства:
10 если числа m, n – взаимно простые, то m(m × n) = m(m) m(n);
20 (1)
Доказательство. 10. Если m =1или n = 1, например, m =1, то
m(m × n) = m(1× n) = m(n) = 1×m(n) = m(m) m(n).
Если m или n делится на квадрат простого числа, например, m делится на квадрат простого числа, то m × n делится на квадрат простого числа и
m(m × n) = 0 = 0×m(n) = m(m) m(n).
Пусть теперь m и n произведения различных простых чисел:
m = p 1… pk, n = q 1… ql, (2)
Так как числа m и n взаимно простые, то простые числа, входящие в разложения (2) различные и
m(m × n) = (-1) k + l = (-1) k (-1) l = m(m) m(n).
20 Для n =1 равенство (1) верно, так как в левой части формулы (1) стоит одно слагаемое, которое равно 1. Докажем формулу (1) при n >1. Пусть - каноническое разложение числа n, тогда все делители m числа n имеют вид:
.
Тогда выводим
ÿ
Теорема 2 (теорема обращения Мебиуса). Пусть f и g – функции натурального аргумента. Тогда равенство
(3)
верно тогда и только тогда, когда
. (4)
Доказательство. Необходимость. Подстановкой (3) в левую часть равенства (4) докажем равенство (4).
так как внутренняя сумма в последнем равенстве, по формуле (1) равна нулю везде, где n / k > 1 и равна 1, если n / k = 1.
Достаточность. Подстановкой (4) в левую часть равенства (3) докажем равенство (3).
так как по формуле (1) внутренняя сумма в последнем равенстве, равна нулю везде, где n / z > 1 и равна 1, если n / z = 1.ÿ
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!