Определение конечного поля. Характеристика поля.

Определение 1. Поле F называется конечным, если множество F конечно.

Через F_q обозначаем конечное поле, содержащее q элементов, F ^* = F \ {0} – мультипликативная группа поля F.

Так как   (F_q, +) – аддитивная группа порядка q, то для любого элемента  a Î F  имеем

qa = 0.                                                      (1)

Так как   (F_q ^*, +) – мультипликативная группа порядка q -1, то для любого элемента  a Î F_q ^* имеем  

a^{q - 1}= 1.                                                      (2)

Примером конечного поля, состоящего из p элементов, является поле Z _p классов вычетов по модулю просто числа p. Элементами поля Z _p являются классы

.

Если понятно, о чем идет речь, то в примерах классы вычетов будем просто обозначать числами 0, 1, …, p – 1.

Пример 1. Решить в поле Z ₇ уравнения и системы

1) 3 x =5,  2) x ³ = 6,  3)   .

1) Так как в поле Z ₇  5×3 = 1, то умножая обе части первого уравнения на 5 в поле Z ₇ получаем

5×3 x = 5×5, x = 5×5 = 4.

2) Второе уравнение можно решить методом испытаний:

0³ ¹ 6, 1³ ¹ 6, 2³ ¹ 6, 3³ = 6, 4³ = (-3)³ = 1¹ 6, 5³ = (-2)³ = 4 ¹ 6, 6³ = (-1)³ = 6.

Уравнение x ³ = 6  имеет в поле Z ₇ два решения 3, 6.

3) Систему в поле Z ₇ можно решать любым из методов, которым системы решаются в поле:

Методом Гаусса.

 

Тогда система имеет в поле Z ₇ решение (2, 4).

Правило Крамера.

Так как в поле Z ₇ имеем 5^-1 = 3, то получаем

или матричным методом:

 Матричный метод. Пусть . Так как определитель матрицы d = | A | = 5 ¹ 0, матрица A имеет обратную матриц

.

Определение 2. Если  для любого натурального числа m и единицы 1 поля F имеем m × 1 ¹ 0, то говорят, что характеристика поля F равна нулю. Если для какого-нибудь натурального числа m имеем m × 1 = 0, то наименьшее число p с таким свойством называется характеристикой поля F.

Обозначаем характеристику char F.

В силу равенства (1) любое конечное поле F имеет ненулевую характеристику.

Так как единица подполя F совпадает с единицей поля H, то характеристика поля и его любого подполя равны

Теорема 1. Характеристика поля F ненулевой характеристики есть простое число.

Доказательство. Пусть char F = p ¹ 0. Докажем, что p – простое число.Предположим противное, что число p составное, т.е. p = k × l, где 1 < k < p, 1 < l < p.

По свойству кратного в аддитивной группе

m × 1 = (k × l) × 1 = (k × 1) × (l × 1).

Так как m × 1 = 0, и в поле F нет делителей нуля, то получаем, что k × 1 = 0 или     l × 1 = 0. Что по определению характеристики невозможно при k < p,   l < p. ÿ

Теорема 2. Пусть char F = p ¹ 0, m, n Î N. Тогда справедливы утверждения:

1. m × 1 = n × 1 тогда и только тогда, когда m º n (mod p);

2. m × 1 + n × 1 = k × 1 тогда и только тогда, когда m + n º k (mod p);

3. (m × 1)×(n × 1) = k × 1 тогда и только тогда, когда m × n º k (mod p).

4. p × a = 0 для любого элемента a Î F.

Доказательство. Так как характеристика поля есть порядок элемента 1 в аддитивной группе (F, +), то свойство 1 следуют из свойств порядка элемента в группе. По свойству кратного m × 1 + n × 1 = (m + n) × 1,  (m × 1)×(n × 1) =(mn) × 1. Тогда свойства 2-3 следуют из свойства 1.

Так как   p × a = p × (a × 1) =(p × 1)× a = 0× a = 0. ÿ