Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2020-11-03 | 137 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
(В лекциях без док-в., если f-характ. многочлен, то f(А)=0)
№40
Опр. Собственным вектором оператора будем называть такой вектор, для которого выполняется равенство , называется собственным значением, соответ. собственному вектору x оператора и P (C).
Св-ва собств. вект 1) Каждому собств. вектору x соответствует (!) собственное значение .
[ctv: ]
2) Если x – собст. вектор оператора то вектор , где 0, тоже является собст. вект. для собств. зн. ( ]
Т. Если – различные собств. значения, то соответствующие им собств. вект. – образуют лин.независ. систему.
(ctv) Пусть не все=0 пусть для определенности . Подействуем преобр.f на обе части(1): (2); ;
(2)-(3) = =0 (*)
Лин. комб. содержит лишь (k-1) векторов. Действуем на (*) преобр. f, затем умножаем (*) на , затем из первого результата вычитаем второй => уничтожится еще один вектор, продолжая данную процедуру, придем к равенству: но тогда = 0, но собственный вектор=> против.
№41
Теорема (Критерий подобия квадратных матриц) Две квадратные матрицы подобны т.и.т.т.к., когда они являются матрицами одного и того же лин. преобр. в разных базисах
Дост. Пусть A и B — квадр. порядка n над полем P, являются матрицами одного и того же лин. преобр. пр-ва V, тогда B=C -1AC (*), C-матрица перехода, С
Необ. Существ. Подобные матрицы порядка n–A,B выполняется (*)\
При заданном базисе между квадратичными матрицами n мерного линейного пространства существует взаимно-однозначное соответствие (по цветочку)
Пусть f линейное преобразование пр-ва V, которое в некотором базисе имеет матрицу A, т.к C , то она служит матрицей перехода преобразования f в базисе
№42Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов линейного оператора
|
Пусть базис пр-ва V. А f лин. оператор, собственный вектор f=> f(x)= (2)
в (1)=>перепишем (2) как )
ОСЛУ (**) относительно допускает =0 (*). Т.е. нужно решить многочлен n-степени, относительно (характеристич. многочл. преобр. f) => собств. значения обязательно должны быть корнями характерист. уравнения, =>для отыскания необходимо решить(*)
Пусть -корень этого ур. Подставим его в (**) и решим систему относительно , тем самым найдем координаты собственного вектора
Аналогично отыскиваются собственные векторы отвечающие другим собственным значениям
Легко видеть, что множество всех собственных векторов с собственным значением совпадает с множеством всех решений ОСЛУ
№43
Опр. Пусть f лин.опер. n-мерного лин пр-ва V над полем P. Подпространство V’ называется инвариантным относительно f, если для образ . Иначе инвариантно относительно f если .
Теорема. В действительном n -мерном пр-ве V всякий лин.оператор f имеет по крайней мере одно одномерное или двумерное инвариантное пространство
Пусть - какой-нибудь базис в пр-ве V и пусть - матр. оператора f в этом базисе, тогда многочлен n степени с вещ. коэф. Существует 2 возможных случая: хар. многочлен имеет корень
1) -вещественный. Тогда система для нахождения собст.вектора (*) имеет ненулевое решение, кот.опред. собстве вектор отвеч.
. Очевидно, одномерное подпр. L()-инварант. подпр. относительно f
2) = + i-компл. Подставим корень в сист. (*) получим, что она имеет решение: (‘) Подставляя (‘) в (*), перенесем члены с в правую часть получим
Отделяя вещ и мним. части перейдем к след.сист. (*) и (**)
Введем в рассмотрение векторы и
Ясно, что x,y (собст.векторы). тогда в (*)и (**) примут вид , f(y)= (***),=> подпространство порожденное векторами x и y (L(x,y)) инвариантное подпр. oператора f(x)
Действительно, пусть , f(z)= = y=
Размерность . Подпр. , т.к. если бы были лин.завис. y=kx, то f(x) = и x был бы собственным вектором преобр с вещ.собств. значением , что невозможно
|
Следствие: пусть f-лин.оператор вещ. лин. пр-ва Vразмерности (zn+1), где n-натур.,тогда существует хотя бы одно одномерное инвариантное подпр. f, т.к. у f хотя бы один собств.вектор, отвечающий вещ.собст.значению—корню многочлена нечетной степени
№44
Теперь будем считать, что V- евкл.пр-во (т.е. в Vопред. операция скалярного умножения)
Опр. Лин.операторы f и называются сопряженными если имеет место равенство . Очевидно . (1)
Теорема. Пусть f и сопряженные операторы в V, ортонорм. базис в V. А—мат. f, а В — мат в (2). Тогда
Запишем (1) для пары векторов :
(f (),
()
№45
Теорема. В конечномерном евклид. пр-ве V каждый лин. оператор обладает единств.[(!)] сопряженным.
Возьмем в V ортонорм. базис f-лин. преобр. пр-ва, матр f в этом базисе.
Возьмем матрицу (1). Известно, что матрице при заданном базисе отвечает (!) оператор
Покажем, что f и сопряженные операторы.
Из (1)=>(по теореме о матрицах сопряженных операторов) (f (), (2), т.е. для базисных векторов выполняется соотношение (@)
Возьмем И рассмотрим скаляр. произвед. и
= =
=
На основание (2) получаем, что
,
Что означает что соотношение выполняется для , т.е. у лин.оператора f сопряженный—f*. Тогда (@) –
Единственность доказывается (ctv), с помощью утвержд.: «Если u »
№46
Опр. Лин.оператор самосопряженный(сс), если он совпадает со своим сопряжением, т.е. f=f*
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!