Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2020-11-03 | 112 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
–биология (в которую математические модели только начали проникать);
– эстетика ("кибернетические теории искусства").
Тот факт, что разработанные в математике схемы моделей - так уж сложилось исторически - ориентированы в первую очередь только на "точные" науки естествознания, является основным дефектом современной математики.
В процессе "математизации" общие принципы должны не привноситься извне, а возникать на базе анализа конкретного материала той или иной области человеческой деятельности.
Пример, общеизвестно, что уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами - это схема всех моделей колебательного движения, в какой бы конкретной ситуации они не возникали.
Целью процесса моделирования являются:
- анализ наблюдаемых явлений;
- поиск физико-химических закономерностей, которым это явление подчиняется, а также связей, присущих его частям;
- построение на их основе физико-химических моделей - «эквивалентов» объекта изучения («идеализация» объекта – отбрасывание несущественных деталей – при построении моделей материального баланса не учитывают дефекта массы из-за радиоактивного распада);
- подбор подходящего математического аппарата для описания физико-химических процессов (построение математической модели);
- выбор подходящего алгоритма для реализации математической модели (последовательность математических и логических операций для вычисления заданных величин с заданной степенью точности);
-создание компьютерных программ (перевод модели и алгоритма на доступный компьютеру язык);
- проверка гипотез и теорий
а) эксперимент
б) численный эксперимент – вычисления на компьютере– это моделирование работы системы для некоторого набора параметров системы. Как правило, этим методом пользуются, когда экспериментальные данные о поведении системы ограничены.
|
- прогноз временного поведения процесса при различных условиях.
Верификация и идентификация моделей. Верификация – это проверка прогнозирующей способности модели.
Идентификация – определение параметров модели.
Модификация моделей. Упрощенные модели иногда называют минимальными.
Создав триаду: «модель»Þ «алгоритм» Þ «программа» исследователь получает универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, проверяется путем сравнения с независимыми знаниями (эксперименты с реальными объектами). Далее вычисления с использованием верифицированной модели позволяют получать исчерпывающую информацию об объекте исследований.
Будучи методологией, математическое моделирование не подменяет физики, химии и биологии, а напротив, помогает разобраться в очень сложных процессах.
Например, при исследовании ионообменных мембран в процессе электродиализа при токах выше предельного наблюдаются осцилляции электрического потенциала (б). Однако они возникают не всегда. Результаты математического моделирования (решение уравнений Нернста-Планка-Фурье и Навье-Стокса) позволили объяснить это явление возникновением гравитационной конвекции (рисунок а), в процессе которой возникающие вихри доставляют порции более концентрированного раствора к поверхности мембран.
система уравнений имеет следующий вид:
, (1)
, , (2)
, (3)
, (4)
, (5)
, (6)
, (7)
|
где Ñ – градиент, D – оператор Лапласа, – разность, приращение; – плотность архимедовых сил плавучести, – изменение плотности, – характерная плотность раствора, – ускорение свободного падения, – потоки, концентрации и напряженность электрического поля, – коэффициенты диффузии и заряды ионов i -го сорта, Ri – источник ионов, обусловленный химической реакцией, n, l – коэффициенты кинематической вязкости и теплопроводности, – плотность электрического тока, – скорость течения жидкости, F – число Фарадея, R – универсальная газовая постоянная, P – давление, T – абсолютная температура, – удельная теплоемкость раствора, Q – плотность заряда фиксированных групп ионов в мембране (Q = 0 для раствора и Q ¹ 0 для мембраны). При этом – неизвестные функции, в общем случае зависящие от времени t и координат x, y, z, а остальные величины считаются известными.
Здесь (1) – уравнение Нернста-Планка c учетом соотношения Нернста-Эйнштейна Di = RTui, (2) – условие материального баланса, (3) – условие электронейтральности, (4) – условие протекания электрического тока, (5) – уравнение теплопроводности, (6),(7) – уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска.
Рисунок 1 - Результаты математического моделирования (а) и хронопотенциограммы (б) мембранных систем
Процесс моделирования сопровождается при необходимости улучшением и уточнением всех звеньев триады.
Основные принципы моделирования:
1) Использование фундаментальных законов природы (закон сохранения материи, энергии, импульса; закон сохранения электронейтральности).
2) Вариационные принципы: из всех возможных вариантов поведения объекта выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию. (Обычно некоторая связанная с объектом величина достигает экстремального значения при переходе его из одного состояния в другое).
3) Применение аналогий при построении моделей с уже изученными объектами (если нет уверенности в существовании таких законов или пока не хватает знаний: автоколебательные химические реакции и рост популяции населения)
В 1951 Б. П. Белоусов обнаружил автоколебания в реакции окисления бромата калия КBrO3 малоновой кислотой HOOC-CH2-COOH в кислой среде в присутствии катализатора — ионов церия Ce+3.
|
Течение реакции меняется со временем и раствор периодически меняет цвет от бесцветного (Ce+3) к жёлтому (Ce+4) и обратно. Эффект ещё более заметен в присутствии индикатора pH ферроина. Наиболее эффектно выглядит колба, если вместо ионов церия в неё поместить ионы железа Fе2+. Тогда раствор в колбе может часами со строгой периодичностью изменять цвет во всем видимом диапазоне от рубиново-красного до небесно-голубого.
В 1969 Жаботинский (аспирант Белоусова) с коллегами обнаружили, что если реагирующую смесь разместить тонким плоским слоем, в нём возникают волны изменения концентрации, которые видны невооружённым глазом в присутствии индикаторов. |
Данные промысла зайца (сплошная кривая) и рыси (пунктирная) в Гудзоновом заливе в течение второй половины XIX века |
Экспериментальные данные, полученные в реальной многокомпонентной и открытой среде с множеством неучтенных взаимодействий, указывают на факт наличия устойчивых колебаний популяций.
Попытки математического описания динамики численности отдельных биологических популяций и сообществ имеют солидную историю. Одна из первых моделей динамики роста популяций принадлежит Т. Мальтусу (1766–1834), английскому экономисту и священнику.
В своем труде «Опыт о законе народонаселения» (1798 г.) Мальтус утверждал, что в человеческом обществе, как и во всей живой природе, существует абсолютный закон безграничного размножения особей. При этом рост населения Земли идет в геометрической прогрессии, в то время как средства существования увеличиваются лишь в арифметической.
Математическим описанием этих закономерностей занимается математическая экология – наука об отношениях растительных и животных организмов и образуемых ими сообществ между собой и с окружающей средой.
Первым успехом математической экологии стала модель, предложенная итальянским математиком Вито Вольтерра (1860 – 1940) в книге «Математическая теория борьбы за существование» (1931 г.).
где N 1, N 2 – число жертв и хищников, соответственно, в момент t; a 1, a 2 – постоянные коэффициенты; относительный прирост в единицу времени численности жертв, живущих изолированно (в отсутствие хищников), равен е 1, в то время как хищники, отделенные от своих жертв, постепенно умирают с голоду, и относительное падение их численности в единицу времени составляет е 2.
|
Совпадение уравнений, описывающих колебания пружинного маятника и численность особей в системе «хищник – жертва», позволяет утверждать, что число хищников и жертв должно изменяться колебательным образом с периодом .
Интерактивная модель эволюции хищник-жертва имеется на http://www.nature.ok.ru/models/prey_predator.htm
Изменение численности акул и скумбрий в воображаемом океане (результаты моделирования на компьютере). По ординате - число особей, по абсциссе - время в относительных единицах, Tс и Tа - интервалы времени, через которые у скумбрий и акул, соответственно, появляется потомство. Верхние кривые - изменение численности скумбрий, нижние - акул
Рассмотрим систему
При изменениях напряжения на обкладках конденсатора по гармоническому закону
U = Umcos wt (4.16)
заряд на его обкладках изменяется по закону:
Из сравнения (4.16) и (4.17) следует два вывода: ток по фазе на p /2 при разрядке конденсатора опережает колебания напряжения на его обкладках и емкостное сопротивление хс, равное отношению амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде силы тока, равно:
Емкостное сопротивление обратно пропорционально емкости конденсатора и циклической частоте переменного тока.
4) Иерархический подход к построению моделей. Лишь в редких случаях бывает оправданным построение полных математических моделей даже очень простых объектов (с учетом всех факторов, учитывающих их поведение). Идут «от простого к сложному», когда следующий шаг делается после изучения достаточно простой модели.
Имитационное моделирование.
При построении имитационного моделирования наряду с классическими уравнениями, отражающими законы физики и химии, используются эмпирические уравнения. Эмпирические уравнения используются в том случае, когда система является очень сложной и трудно понять механизмы её функционирования.
· Для получения эмпирического уравнения проводят серию экспериментов.
· Для минимизации затрат на экспериментальную работу используется наука – планирование эксперимента.
Пример. Допустим, что требуется перевести систему из состояния А в состояние В. Для того, чтобы это сделать, нужно определить значение управляющих параметров, которые обеспечивают решение данной задачи. Обычно набор таких параметров бывает не единственным, тогда задача уточняется: находится такой набор параметров, который позволяет минимизировать некие целевые функции.
|
Пример построения модели: Предмет сбрасывается с некоторой высоты H. Определить, на какой высоте он находится в момент времени t.
1- Подход с позиций 2-го закона Ньютона (фундаментальный этап):
- расстояние, на которое опускается предмет за время t.
2- Имитационный подход:
− поправка на сопротивление воздуха и ветер, F − функция формы предмета, W − скорость ветра.
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!