Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2020-07-03 | 103 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В этом разделе я просматриваю несколько приложений AFA, сделанных в [3] и [5].
Чтобы подтвердить мое утверждение о том, что большинство приложений AFA требуют только конструктивных
средств, различные разделы [3] и [5] переделываются на основе теории CZFA, а
не ZFA.
Маркированная Антиосновательная Аксиома
В приложениях часто бывает полезно иметь в своем распоряжении более общую форму АФА.
Определение 5.1. Помеченный график -это график вместе с функцией маркировки, которая
назначает набор
(a) меток к каждому узлу a.
Помеченное украшение помеченного графа является функцией
буду такой что
d (a) = {d(b): A → b} ∪ (a).
Немеченый граф
(Г,
) может быть идентифицирован с помощью специального маркированного графика, где
функция маркировки
: G → V всегда присваивает пустое множество, т. е., (x) = ∅ для всех
x ∈ G.
Предикативность, цикличность и Антиосновность
203
Теорема 5.2 ((CZFA), cf. [3]: Теорема 1.9). Каждый помеченный график имеет уникальный la-
колокольный декор.
Доказательство. Пусть...
G = (G,
,) быть помеченным графом. Пусть G = (G,→) - граф
имея в качестве узлов все упорядоченные пары
i, a такое, что либо i = 1 и a∈G, либо i = 2
и
a ∈ TC (G) и имеющие в качестве ребер:
• 1
, a → 1, b всякий раз, когда a
б,
• 1
, a → 2, b всякий раз, когда a∈G и b∈ (a),
• 2
, a → 2, b всякий раз, когда b∈a ∈ TC(G).
By AFA,
G имеет уникальное украшение π. Так что для каждого a∈G
π (1, a) = {π(1, b): a
b} {{π(2, b): b∈ (a)}
и для каждого из них
a ∈ TC(G),
π(2, a) = {π (2, b): b∈a}.
Отметим, что в наборе TC
(G) естественно снабжен структурой графа, позволяя его ребрам
икс
y определяется y∈x. уникальное украшение для (TC(G),
) очевидно, что
функция тождественности на TC
|
(Г). Поскольку x → π(2, x) также является украшением (TC(G),
)
мы можем сделать вывод, что
π (2, x) = x справедливо для всех x ∈ TC(G). Следовательно, если мы позволим
τ (a) = π(1, a) для a∈G, то для a∈G,
τ (a) = {τ (b): a
b} ∪ (a),
так что
τ-помеченное украшение помеченного графа G.
Для уникальности:
τ предположим, что τ является помеченным украшением G. тогда π является
украшение графика
Г, где
π (1, a) = τ (a) для a∈G,
π (2, a) = a для a ∈ TC(G).
Из АФА следует, что
π = π так что для A∈G
τ (a) = π (1, a) = π(1, a) = τ (a),
и отсюда:
τ = τ.
Определение 5.3. A отношение
R- бисимуляция между двумя помеченными графами G =
(Г,
,
0
) и H = (H,
,
1
) если R ⊆ G × H и выполняются следующие условия
удовлетворен (где
aRb означает a, b ∈ R):
1. Для каждого
a ∈ G существует b ∈ H такое, что aRb.
2. Для каждого
b ∈ H существует a ∈ G такое, что aRb.
204
M. Rathjen
3. Предположим, что
АРБ. Тогда для каждого x ∈ G такое, что a
x существует y ∈ H
такие что
б
y и xRy.
4. Предположим, что
АРБ. Тогда для каждого y ∈ H такое, что b
y существует x ∈ G
такие что
один
x и xRy.
5. Если
тогда aRb
0
(ля) =
1
b).
Два помеченных графа являются бисимулярными, если между ними существует бисимуляция.
Теорема 5.4 (CZFA). Пусть...
G = (G,
,
0
) и H = (H,
,
1
) быть помеченными графиками
с маркированными украшениями
д
0
и
д
1
, соответственно.
Если
G и H бисимулярны, то d
0
[G] = d
1
[H].
Доказательство. Определение помеченного графика
K = (K,→,), позволяя K быть множеством { a, b: aRb}.
Для
a, b, a, b ∈ K пусть a, b → a, b, Если a
a или b
b, и положить (a, b) =
0
(ля) =
1
b). К имеет уникальное обозначенное украшение д. Используя бисимуляцию Р,
можно легко проверить, что
д
∗
0
(a, b): = d
0
а) и d
∗
1
(a, b): = d
1
b) имеют маркировку
украшения из
К тому же. Следовательно, d = d
∗
0
= д
∗
1
, и таким образом
д
0
[G] = d[K] = d
1
[Ч ].
Следствие 5.5 (CZFA). Два графика являются бисимулярными тогда и только тогда, когда их украшения имеют
одинаковое изображение.
|
Доказательство. Одно направление следует из предыдущей теоремы. Теперь предположим, что у нас есть
графики
G = (G,
) и H = (H,
) с украшениями d
0
и
д
1
соответственно, такие
тот
д
0
[G] = d
1
[Ч ]. Затем определите R ⊆ G × H по aRb iff d
0
(д
1
b). Один охотно
проверяет, что
R-это бизимуляция.
Вот еще один полезный факт:
Лемма 5.6 (CZFA). Если бы...
A -транзитивное множество, А d: A → V -функция такая, что
d(A) = {d(x): x ∈ a} для всех a ∈ A, то d(a) = a для всех a ∈ A.
Доказательство.
A можно считать множеством вершин графа G
Один
= (Ля,
) где а
б
МКФ
b ∈ a и a, b ∈ A. поскольку A является транзитивным, d является украшением G. Но так же и
функция
a → a. таким образом, получаем d(a) = a.
Системный
В приложениях часто бывает полезно воспользоваться графами, которые являются классами, а не
наборами. По карте
℘ с областью M мы имеем в виду определяемую функцию класса с областью M,
и мы напишем:
℘: M → V.
Предикативность, цикличность и Антиосновность
205
Определение 5.7. Маркированная система -это класс
M узлов вместе с маркировочной картой
℘: M → V и классом e ребер, состоящих из упорядоченных пар узлов. Кроме того,
система должна удовлетворять этому для каждого узла
a ∈ M, {b ∈ M: a
b} - множество,
где
один
b означает a, b ∈ E.
Маркированная система, как говорят, является
0
если связь между множествами
X и y определены
Автор: “
y = {b ∈ M: a
b для некоторых A ∈ x} " является
0
определимо.
Мы будем сокращать обозначенную систему мимо
M = (M,
, ℘).
Теорема 5.8 ((CZFA
+ IND
ω
), ср. [3]: Теорема 1.10). Для каждой обозначенной системы
M = (M,
, ℘) существует единственное отображение d: M → V такое, что для всех a ∈ M:
d (a) = {d(b): A → b} ∪ (a).
(2)
Доказательство. К каждому
a ∈ M мы можем связать помеченный граф M
один
= (М
один
,
один
, ℘
один
) с
М
один
=
n ω ω
Икс
н
, где
Икс
0
= {a} и X
n+1
= {b: a
b для некоторых A ∈ X
н
}. То
существование функции
n → X
н
отображается с помощью рекурсии на
ω, используя IND
ω
в
сочетание с сильной коллекцией. Последнее необходимо, чтобы показать, что для каждого набора
Y,
{b: a
b для некоторых a ∈ Y } также является множеством. И следовательно к тому м
один
это набор.
один
является ли ограничение на
до узлов из
М
один
. Тот
Е
один
= { x, y ∈ M
один
× М
один
|
: икс
y}
это набор требует сильной коллекции, тоже. Далее, пусть
℘
один
будет ограничением из
℘ to M
один
.
Следовательно
М
один
является множеством, И мы можем применить теорему 5.2, чтобы заключить, что
М
один
имеет уникально
обозначенное украшение
д
один
.
d: M → V теперь получается путем исправления функции
д
один
с
a ∈ M, то есть d =
a∈V
д
один
. Один легко показывает, что две функции
д
один
и
д
б
согласитесь на
М
один
∩ М
б
. Для уникальности:
d, обратите внимание, что каждая другая определяемая карта d
выполнение (2) дает функцию, ограниченную на
М
один
(Сильное собрание) и таким образом
производит также маркированное украшение
М
один
; таким образом
d (x) = ℘
один
(x) = d (x) для всех x ∈ M
один
.
А следовательно, и к тому,
d (x) = d(x) для всех x ∈ M.
Следствие 5.9 (CZFA
+
- IND
ω
). Для каждой обозначенной системы
M = (M,
, ℘) что
является
0
существует уникальная карта
d: M → V такое, что для всех a ∈ M:
d (a) = {d(b): A → b} ∪ (a).
(3)
Доказательство. Это следует из тщательного изучения доказательства теоремы 5.8 и понимания того, что для a
0
система одна только нужна
- IND
ω
.
Следствие 5.10 (ЧФА). Пусть...
M = (M,
,℘) быть помеченным
0
система такая, что для
каждый
a ∈ M существует функция n → X
н
с доменами
ω такое, что X
0
= {a} и
Икс
n+1
= {b: a
b для некоторых A ∈ X
н
}. Тогда существует единственное отображение d: M → V
такое что, для всех
a ∈ M:
d (a) = {d(b): A → b} ∪ (a).
(4)
Доказательство. В доказательстве теоремы 5.8 мы использовали IND
ω
только один раз, чтобы убедиться, что
М
один
=
n ω ω
Икс
н
это набор. Это мы сейчас получаем совершенно бесплатно из предположений.
206
M. Rathjen
Теорема 5.11 ((CZFA
+ IND
ω
), ср. [3]: Теорема 1.11). Пусть...
M = (M,
,℘) быть a
помеченная система, наборы меток которой являются подмножествами класса
Y.
1. Если бы...
π -отображение с доменом Y, то есть существует уникальная функция ˆ
π с доменом M
такие что для каждого
a∈M
ˆ
π (a) = { ˆ
π (b): a
b} {{π (x): x ∈ ℘ (a)}.
2. Учитывая отображение h: Y → M, существует единственное отображение π с доменом Y такое, что для
|
ВСЕ
y∈Y,
π (y) = ˆ
π (h (y)).
Доказательство. Ибо (1) пусть
М
π
= (М,
, ℘
π
) получаются из M и π: Y → V путем
переопределение наборов меток таким образом, чтобы для каждого узла
один
℘
π
(a) = {π(x): x ∈ ℘ (a)}.
Тогда требуется уникальная карта
ˆ
π уникально обозначенное украшение M
π
предоставлено:
Теорема 5.8
Ибо (2) пусть
М
∗
= (М,
) быть графом, имеющим те же узлы, что и M, и все ребра
от
M вместе с ребрами a
h (y) всякий раз, когда a∈M и y ∈ ℘ (a). согласно теореме
5.8,
М
∗
имеет уникальную карту оформления
ρ. Так что для каждого a∈M
ρ (a) = {ρ (b): a
b} {{ρ(h (y)): y ∈ ℘ (a)}.
Сдача в аренду
π (y): = ρ (h (y)) для y∈Y, ρ также является Меченым украшением для меченых
система
М
π
так что
ρ = ˆ
π по (1), и следовательно π (x) = ˆ
π (h (x)) для x∈Y. Для
уникальность проекта
π пусть µ: M → V удовлетворяет µ (x) = ˆ
µ (h (x)) для x∈Y. Тогда ˆµ-это a
украшение из
М
∗
так же, как и то, что
ˆ
µ = ρ. В результате µ (x) = ˆ
µ (h (x)) = ρ(h(x)) =
π(x) для x∈Y. Таким образом, µ(x) = π(x) для всех x ∈ Y.
Следствие 5.12 (CZFA
+
- IND
ω
). Пусть...
M = (M,
,℘) быть маркированной системой, которая
является
0
и чьи наборы меток являются подмножествами класса
Y.
1. Если бы...
π -отображение с доменом Y, то есть существует уникальная функция ˆ
π с доменом M
такие что для каждого
a∈M
ˆ
π (a) = { ˆ
π (b): a
b} {{π (x): x ∈ ℘ (a)}.
2. При заданном отображении h: Y → M существует единственное отображение π с областью Y такое, что для
ВСЕ
x∈Y,
π (x) = ˆ
π (h (x)).
Доказательство. Доказательство такое же, как и для теоремы 5.11, за исключением того, что вместо теоремы 5.8 используется следствие 5.9
.
Предикативность, цикличность и Антиосновность
207
Следствие 5.13 (ЧФА). Пусть...
M = (M,
,℘) быть помеченной системой, которая является
0
и
чьи наборы меток являются подмножествами класса
Y. Кроме того, предположим, что для каждого a ∈ M
есть такая функция
n → X
н
с доменами
ω такое, что X
0
= {a} и X
n+1
= {b: a
b для некоторых A ∈ X
н
}.
1. Если бы...
π -отображение с доменом Y, то есть существует уникальная функция ˆ
π с доменом M
такие что для каждого
a∈M
ˆ
π (a) = { ˆ
π (b): a
b} {{π (x): x ∈ ℘ (a)}.
2. При заданном отображении h: Y → M существует единственное отображение π с областью Y такое, что для
ВСЕ
x∈Y,
π (x) = ˆ
π (h (x)).
Доказательство. Доказательство такое же, как и для теоремы 5.11, за исключением того
, что вместо теоремы 5.8 используется следствие 5.10.
Решение Лемма версия AFA
АФА может быть сформулирована в более традиционных математических терминах. Меченая
Антифундаментная аксиома предоставляет хороший инструмент для демонстрации того, что системы уравнений
определенного типа всегда имеют уникальные решения. В терминологии [5] это называется
решением леммы. В [5] аксиома Антиоснования даже выражается в терминах
однозначных решений так называемых плоских систем уравнений.
|
Определение 5.14. Для набора:
Y пусть P (Y) - класс подмножеств Y. Тройка E =
(X, A, e) называется общей плоской системой уравнений, если X и A-любые два
множества, и
e: X → P (X ∪ A), где последнее означает, что e является функцией с
домен
X, который отображается в класс всех подмножеств X ∪ A. X будет называться
набор неопределенных значений из
E, А a называется множеством атомов E. Пусть e
в
= e (v).
Для каждого
v ∈ X, множество b
в
:= ми
в
∩ X называется множеством неопределенностей, на которых v
сразу зависит. Точно так же и набор
с
в
:= ми
в
∩ A называется совокупностью атомов на
который
v сразу зависит.
Решение проблемы:
E-функция s, удовлетворяющая области X
с
икс
= {с
y
: y∈b
икс
} ∪ с
икс
,
для каждого
x∈X, где s
икс
: = s (x).
Теорема 5.15 (CZFA). Каждая обобщенная плоская система
E = (X, A, e) имеет единственное
решение.
Доказательство. Определение помеченного графика
H, позволив X быть его множеством узлов, а его ребра -
форма
икс
y, где y∈b
икс
для
x, y∈X. Кроме того, пусть (x) = c
икс
будьте уместны
208
M. Rathjen
функция маркировки. По Теореме 5.2,
H имеет уникально обозначенное украшение d. После этого
d (x) = {d (y): y∈b
икс
} ∪ (x) = {d (y): y∈b
икс
} ∪ с
икс
,
и так далее
d-это решение проблемы Е. Легко проверить, что каждое решение от s до E дает начало
к украшению из
H. таким образом, существует ровно одно решение для е.
Из-за условия плоскостности, т. е.,
e: X → P (X ∪ A), приведенная выше форма
леммы о решении часто неудобна для использования. Гораздо более общая его форма доказана
в работе [5]. Структура в [5], однако, включает в себя другие объекты, чем наборы, а именно
правильный класс urelements, смысл которого состоит в том, чтобы служить бесконечным запасом
неопределенностей, на которых можно выполнять операцию подстановки. Дано
множество
X из urelements one определяет класс X-множеств, которые являются теми множествами, которые используют
только urelements от
X в их наращивании. Для функции f: X → V на этих
неопределяет затем можно определить операцию подстановки sub
ф
на
Х-наборы. Для
один
X-set a, sub
ф
(a) получается из a путем подстановки f (x) для x всюду в поле
нарастание из
есть
За неимением urelements, подход [5] не является непосредственно применимым в наших
теориях множеств, хотя можно моделировать расширенную вселенную множеств с собственным
классом urelements в CZFA. Для этого потребуется класс, определяемый как наибольшая
фиксированная точка оператора, тема, которую я сейчас перемежаю.
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!