Свойства и особенности треугольников

Треугольник

Работу выполнил

студент гр.ВТ-31

Треуго́льник

Треуго́льник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Свойства и особенности треугольников

Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой (и образуемому ими невырожденному треугольнику), обязательно соответствует одна и только одна плоскость. Это весьма уникально — так как меньшему количеству точек соответствуют прямая и точка, а уже четыре точки могут находится вне единой плоскости.

Треугольник — это многоугольник, ограниченный минимально возможным количеством сторон. Любой многоугольник можно точно разбить на треугольники, лишь связав его вершины отрезками, не пересекающими его стороны. С некоторым приближением, на треугольники можно разбить поверхность любой формы, как на плоскости, так и в пространстве. Процесс разбиения на треугольники называется триангуляцией.

Треугольник — всегда выпуклый многоугольник. Вырожденный треугольник, все три вершины которого лежат на одной прямой или совпадают, обычно треугольником не считается, однако также является выпуклым множеством.

Для треугольника всегда существует одна и только одна вписанная (касающаяся трёх сторон) и одна описанная (проходящая через вершины) окружность. Также для треугольника существуют три окружности, касающихся одной стороны и продолжений двух других сторон — вневписанные окружности.

 Обозначения

Точки вершин треугольника традиционно обозначаются прописными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — строчными латинскими буквами (a, b, c).

Признаки равенства треугольников

Треугольник на евклидовой плоскости однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

1. a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними);

2. a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам);

3. a, b, c (равенство по трём сторонам).

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

1. по катету и гипотенузе;

2. по двум катетам;

3. по катету и острому углу;

4. по гипотенузе и острому углу.

В сферической геометрии и в геометрии Лобачевского существует признак равенства треугольников по трём углам.

Типы треугольников

Типы треугольников

Остроугольный Тупоугольный Прямоугольный Разносторонний Равнобедренный Равносторонний

 

По числу равных сторон

• Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают.
• Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, а центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Теоремы о треугольниках

Теорема Дезарга: если два треугольника перспективны (прямые, проходящие через соответственные вершины треугольников, пересекаются в одной точке), то их соответственные стороны пересекаются на одной прямой.

Теорема Сонда́: если два треугольника перспективны и ортологичны (перпендикуляры, опущенные из вершин одного треугольника на стороны, противоположные соответственным вершинам треугольника, и наоборот), то оба центра ортологии (точки пересечения этих перпендикуляров) и центр перспективы лежат на одной прямой, перпендикулярной оси перспективы (прямой из теоремы Дезарга).

Теорема синусов

,

где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ.

Теорема косинусов

Является обобщением теоремы Пифагора.

Теорема тангенсов

 

 

Динамика

 

ДИНАМИКА

Динамика часть кинетики - раздела теоретической механики, в котором рассматриваются тела в условиях воздействия на них заданных сил. Кинетика подразделяется на статику и динамику. В статике рассматриваются тела в равновесии, т.е. в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. В динамике же рассматриваются тела, скорость движения которых под действием сил изменяется либо по величине, либо по направлению (неравномерное или непрямолинейное движение).
СТАТИКА И РАВНОВЕСИЕ
Равновесие. Тело, находящееся в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, находится в равновесии. Равнодействующая всех сил, действующих на такое тело, равна нулю. Если на тело, находящееся в равновесии, действуют только две силы, то они должны быть равны по величине и противоположны по направлению, так как только в этом случае их равнодействующая равна нулю. На рис. 1 показаны два примера тела, находящегося в равновесии в условиях, когда на него действуют две силы: лампа, стоящая на столе, и лампа, висящая на потолке. На настольную лампу действуют направленная вниз сила тяжести W, т.е. ее вес, и направленная вверх сила сопротивления стола F. Поскольку лампа находится в состоянии покоя, сила F должна быть равна по величине и противоположна по направлению силе W. Точно так же в случае висящей лампы тянущая вниз сила W должна быть равна по величине и противоположна по направлению тянущей вверх силе F натяжения шнура, на котором она подвешена.

Рис. 1. РАВНОВЕСИЕ - состояние тела, в котором сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Тянущий вниз вес W как подвесной потолочной, так и настольной лампы уравновешивается направленной вверх силой F.

Разложение сил. Когда число сил, действующих на тело, находящееся в равновесии, больше двух, анализ несколько усложняется. Например, если лампа подвешена между двумя столбами на разных расстояниях от них (рис. 2,а), то на нее действуют три силы - силы натяжения двух шнуров и вес лампы. Сила натяжения одного шнура F1 направлена вверх и влево, а другого, F2, - вверх и вправо, тогда как сила тяжести W тянет лампу вниз. Поскольку лампа находится в равновесии, равнодействующая всех сил, приложенных к ней, должна быть равна нулю. Следовательно, сумма вертикальных (направленных вверх) составляющих сил натяжения двух шнуров должна быть равна по величине (и противоположна по направлению) силе веса, а горизонтальные составляющие двух сил натяжения должны быть одинаковы по величине (и противоположно направлены). Это можно показать, разложив обе силы на составляющие по правилу параллелограмма сил. Согласно этому фундаментальному правилу физики, всякую силу можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие, построив прямоугольник, для которого эта сила была бы диагональю (рис. 2,б). Горизонтальная и вертикальная стороны прямоугольника дадут горизонтальную и вертикальную составляющие силы соответственно. (И наоборот, если две силы приложены в одной точке, то, построив параллелограмм, двумя смежными сторонами которого являются эти две силы, можно найти их равнодействующую как диагональ параллелограмма.) Поскольку вертикальные составляющие обеих сил натяжения шнуров направлены вверх по одной линии, они складываются арифметически. Эта равнодействующая R двух вертикальных составляющих равна по величине и противоположна по направлению силе W (рис. 2,в). Горизонтальные составляющие сил, с которыми действуют на лампу два шнура, изображены как равные и противоположно направленные силы F1x и F2x.

Рис. 2. РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛ по правилу параллелограмма сил. a - лампа, подвешенная на шнурах на двух столбах; б - наклонные силы F1 и F2, действующие на лампу, разлагаются на горизонтальные и вертикальные составляющие построением на этих силах прямоугольников как на диагоналях; в - сумма вертикальных составляющих, их равнодействующая R, уравновешивает вес W, а горизонтальные составляющие F1x и F2x уравновешивают друг друга, так что лампа находится в равновесии.

Равновесие на наклонной плоскости. Если на наклонную плоскость положить брусок, то в отсутствие трения он соскользнет по ней вниз. Анализ действующих сил позволяет объяснить отсутствие равновесия в рассматриваемом случае. На брусок (рис. 3) действует только одна сила - его вес W. Ее можно разложить на две составляющие P и Q, одна из которых параллельна, а другая - перпендикулярна наклонной плоскости. Составляющая P, перпендикулярная наклонной плоскости, никак не влияет на движение по этой плоскости и уравновешивается направленной вверх по нормали силой реакции N. В то же время сила Q ничем не уравновешена и тянет брусок по наклонной плоскости вниз. Величина силы Q определяется, очевидно, двумя факторами - величиной силы W и крутизной наклона плоскости. Чем больше каждый из них, тем больше сила Q. Если бы плоскость не была наклонной, то сила P равнялась бы весу W, а силы Q не было бы вовсе. Если бы плоскость была вертикальной, то сила Q равнялась бы весу W и брусок свободно упал бы вниз. Чтобы брусок на наклонной плоскости был в равновесии, к нему должна быть приложена действующая вправо и вверх сила, равная по величине, но противоположная по направлению силе Q. Если наклонная плоскость не идеальна, т.е. существует трение, то на стремящийся соскользнуть вниз брусок действует сила трения, направленная в сторону, противоположную его движению. Таким образом, если сила трения равна силе Q, последняя уравновешивается и брусок остается неподвижно лежать на наклонной плоскости, а если сила трения меньше Q, то брусок будет скользить вниз, но медленнее, чем это было бы в отсутствие трения.

Рис. 3. РАВНОВЕСИЕ на наклонной плоскости. Перпендикулярная наклонной плоскости составляющая P веса бруска W уравновешивается нормальной реакцией N, а параллельная Q - силой трения между бруском и наклонной плоскостью.

Равновесие и вращение. Во всех рассмотренных примерах равновесия действующие силы не только были равны по величине и противоположны по направлению, но и лежали на одной прямой или проходили через одну точку. Если же на твердое тело действуют силы, которые нельзя свести к одной, то они заставляют тело вращаться. (Две параллельные силы, равные по величине и противоположно направленные, называются парой сил.) Для того чтобы тело в таких условиях было в равновесии, т.е. не вращалось, пара сил должна быть уравновешена двумя такими же силами, вращающими тело в другую сторону.
Момент силы. Если твердое тело закреплено в одной точке на шарнире и на него действует лишь одна сила, заставляющая его вращаться вокруг этой точки, то говорят, что тело вращается под действием момента силы. Момент силы равен произведению силы на ее плечо, т.е. на расстояние по перпендикуляру от точки закрепления до линии действия силы (рис. 4,а). Если на твердое тело действуют несколько сил, то тело не будет вращаться только при условии, что сумма моментов всех сил равна нулю (рис. 4,б).
См. также СТАТИКА.

Рис. 4. МОМЕНТ СИЛЫ равен произведению силы F (рис. 4,а) на плечо силы, т.е. на расстояние (по перпендикуляру) PQ от точки P шарнирного закрепления тела до линии действия силы F. В случае нескольких сил, действующих на твердое тело, способное вращаться вокруг точки P (рис. 4,б), условием равновесия является равенство нулю суммы моментов всех сил:

[[F1*a]] + [[F2*b]] + [[F3*c]] + [[F4*d]] = 0.

Равномерное движение. Тело движется равномерно, если в любую единицу времени своего движения оно проходит одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Примером прямолинейного равномерного движения может служить движение космического аппарата, летящего по инерции в межзвездном пространстве достаточно далеко от всех небесных тел, там, где гравитационные поля ничтожно малы. Коль скоро на него не действуют никакие внешние силы, он будет, не останавливаясь, двигаться по прямой линии с постоянной скоростью. Но как только космический аппарат приблизится к какому-либо небесному телу, он окажется в гравитационном поле этого тела и начнет с нарастающей скоростью отклоняться к нему от прямолинейной траектории. Если же в межзвездном пространстве он войдет в плотное облако космической пыли, то (если отвлечься от гравитационного воздействия пыли) он по-прежнему будет двигаться прямолинейно, но с замедлением. В обоих случаях изменение характера движения вызывается действием неуравновешенных внешних сил.
ДИНАМИКА
Динамика изучает тела, находящиеся под воздействием неуравновешенных внешних сил, т.е. тела, характер движения которых изменяется. Поскольку равновесие означает равенство нулю равнодействующей всех сил, приложенных к телу, динамика, очевидно, имеет дело с силами, равнодействующая которых не равна нулю. Английский физик и математик И. Ньютон (1643-1727) сформулировал три закона движения, которым подчиняются тела, движущиеся под действием неуравновешенных сил, и за этими законами навсегда закрепилось его имя.
Первый закон Ньютона. Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока неуравновешенные внешние силы не заставят его изменить это состояние. Поскольку состояние покоя, как и состояние равномерного и прямолинейного движения, соответствует равновесию, из первого закона Ньютона следует, что тело, находящееся в равновесии, остается в равновесии, пока его не выведут из этого состояния внешние силы.
Инерция. Если для того, чтобы изменить состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, нужна внешняя сила, то, очевидно, что-то противодействует такому изменению. Свойственная всем телам способность сопротивляться изменению состояния покоя или движения называется инертностью или инерцией. Когда приходится толкать автомобиль, то вначале нужно больше усилий, чтобы стронуть его с места, чем потом - чтобы поддерживать его качение. Здесь инерция проявляется двояким образом. Во-первых, как сопротивление переходу из состояния покоя в состояние движения. Во-вторых, если дорога ровная и гладкая, то как стремление катящегося по ней автомобиля сохранить свое состояние движения. В такой ситуации всякий может сам ощутить инерцию автомобиля, попробовав его остановить. Для этого потребуется гораздо больше усилий, чем для поддержания движения.
Второй закон Ньютона. Всякое тело, на которое действует постоянная сила, движется с ускорением, пропорциональным силе и обратно пропорциональным массе тела. Самый обычный пример второго закона Ньютона - падение какого-либо тела на землю. Движение в направлении к земле вызывается силой гравитационного притяжения, которая при малой высоте падения практически постоянна. Поэтому за каждую секунду падения тела его скорость увеличивается на 9,8 м/с. Таким образом, падающее тело движется с ускорением, равным 9,8 м/с2. Второй закон Ньютона записывается в виде алгебраического соотношения F = ma, где F - сила, приложенная к телу, m - масса тела и a - ускорение, вызываемое силой F.
Импульс (количество движения). Количеством движения тела называется произведение его массы m на его скорость v, т.е. величина mv. Количество движения одинаково у автомобиля массой 1 т, мчащегося со скоростью 100 км/ч, и у 2-тонного грузовика, едущего в том же направлении со скоростью 50 км/ч. Поскольку ускорение есть изменение скорости за малое время t, второй закон Ньютона можно переписать в виде mv = Ft. Произведение силы F на (малое) время ее действия t ранее называлось импульсом силы. Поэтому количество движения в настоящее время называют импульсом. Для импульса (количества движения) справедлив закон сохранения: при столкновении двух или нескольких тел их полный (суммарный) импульс не изменяется. Например, при забивании гвоздя молотком полный импульс молотка и гвоздя после удара равен полному импульсу молотка до удара (поскольку импульс гвоздя до удара был равен нулю).
Третий закон Ньютона. Для всякой силы действия имеется равная, но противоположно направленная сила противодействия. Иначе говоря, всякий раз, когда одно тело действует с какой-либо силой на другое, последнее тоже действует на него с такой же по величине, но противоположно направленной силой. Примером может служить отдача винтовки при выстреле. Винтовка действует на пулю с силой, направленной вперед, а пуля на винтовку - с силой, направленной назад. В результате пуля летит вперед, а винтовка отдает в плечо стрелку. Если силу, приложенную к пуле, считать действием, то отдача будет противодействием (реакцией). Другой пример к третьему закону - реактивное движение ракеты. Здесь действием считается истечение струи газов из сопла двигателя, а противодействием (реакцией) - движение ракеты в направлении, противоположном движению газов.
Центростремительная сила. Когда вращают мяч на бечевке (рис. 5), бечевка тянет его в сторону центра вращения. Сила, направленная к центру вращения, называется центростремительной. Инерция мяча (его стремление продолжать в каждый момент движение по прямой линии) заставляет бечевку натягиваться. Поскольку мяч продолжает вращаться по окружности, его инерция создает равную, но противоположно направленную, так называемую центробежную силу. Если мяч движется по окружности с постоянной скоростью, то может показаться, что он находится в равновесии относительно центра окружности. Но это неверно. На самом деле мяч приобретает ускорение, направленное к центру вращения, хотя и остается все время на одном и том же расстоянии от центра. Этот кажущийся парадокс поясняется рис. 6. Здесь кривая AB - часть круговой траектории мяча, а прямая AC - касательная (к окружности), по которой полетел бы мяч, если бы бечевка лопнула и он двигался по инерции. Длина отрезков s, t, u и w, соединяющих дугу и прямую, увеличивается в направлении движения. Чтобы мяч продолжал двигаться по дуге окружности, некая непрерывно действующая сила F должна приводить его в движение с возрастающей скоростью. Необходимое ускорение сообщает ему центростремительная сила.

Рис. 5. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПО ОКРУЖНОСТИ. Fцс - центростремительная сила; Fцб - центробежная сила; штриховой стрелкой показано направление движения по инерции. Центростремительная сила увлекает тело с пути, соответствующего прямолинейному движению по инерции. Сила сопротивления этому увлечению называется центробежной силой.

 

Рис. 6. УСКОРЕНИЕ, приобретаемое телом при движении по окружности. Двигаясь под действием центростремительной силы F по кривой AB, тело все больше удаляется от прямой AC (увеличиваются отклонения s, t, u, w).

 

 

Трение

Трение покоя

Наблюдения показывают, что сила трения покоя всегда направлена противоположно действующей на тело внешней силе, стремящейся привести это тело в движение. До определенного момента сила трения покоя увеличивается с возрастанием внешней силы, уравновешивая последнюю. Максимальное значение силы трения покоя пропорционально модулю силы F_д давления, производимого телом на опору.

По третьему закону Ньютона сила F_д давления тела на опору равна по модулю силе N реакции опоры. Поэтому максимальная сила трения покоя пропорциональна силе реакции опоры. Для модулей этих сил справедливо следующее соотношение:

F_п=f_пN, (2.19)

где f_п - безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения покоя. Значение этого коэффициента зависит от материала и состояния трущихся поверхностей.

Определить значение коэффициента трения покоя можно следующим образом. Пусть тело (плоский брусок) лежит на наклонной плоскости АВ (рис. 23). На него действуют три силы: сила тяжести F, сила трения покоя F_п и сила реакции опоры N. Нормальная составляющая F_п силы тяжести представляет собой силу давления F_д, производимого телом на опору, т. е.

F_Н=F_д.

Тангенциальная составляющая F_т силы тяжести представляет собой силу, стремящуюся сдвинуть тело вниз по наклонной плоскости.

При малых углах наклона a сила F_т уравновешивается силой трения покоя F_п и тело на наклонной плоскости покоится (сила N реакции опоры по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе F_д, т. е. уравновешивает ее).

Будем увеличивать угол наклона a до тех пор, пока тело не начнет скользить вниз по наклонной плоскости. В этот момент

F_т=F_пmax

f_п=F_т/F_н

F_т=Fsina = mg sina; F_н=Fcosa = mg cosa.

Подставив эти значения F_т И F_н в формулу (2.22), получим

f_н=sina/cosa=tga. (2.23)

Измерив угол a, при котором начинается скольжение тела, можно по формуле вычислить значение коэффициента трения покоя f_п.

Виды кинематического трения

Трение скольжения возникает при скольжении одного твердого тела по поверхности другого. Закон для трения скольжения имеет вид

F_c= f_cN,  

где F_c - модуль силы трения скольжения; f_c - безразмерный коэффициент трения скольжения; N - модуль силы реакции опоры. Значение f_c зависит от того, из каких веществ изготовлены трущиеся поверхности и от качества их обработки. Если сделать поверхности более гладкими, значение f_c уменьшится. Однако уменьшать шероховатость поверхностей можно лишь до определенного предела, так как при очень гладких (например, полированных) поверхностях значение f_c вновь увеличивается. Происходит это потому, что молекулы тел с гладкими поверхностями близко подходят друг к другу и силы молекулярного притяжения между ними вызывают "прилипание" тел, препятствующее их скольжению. Трение качения возникает при качении (без скольжения) твердых тел круглой формы по поверхности других твердых тел.

Причина появления трения качения заключается в следующем. Под действием силы тяжести круглое твердое тело (например, шар или колесо), находящееся на плоской поверхности, деформируется, вследствие чего оно опирается не на одну точку, а на площадку больших или меньших размеров. Это приводит к тому, что, когда тело начинает катиться, точка А приложения реакции опоры смещается немного вперед от вертикали, проходящей через центр тяжести тела, а линия действия силы реакции опоры R отклоняется немного назад от этой вертикали (рис. 24). При этом нормальная составляющая R_н = N реакции опоры компенсирует силу тяжести F (т.е. R_н =-F), а не скомпенсированная тангенциальная составляющая R_т реакции опоры направлена против движения тела и играет роль силы трения качения F_к. Модуль силы трения качения F_к определяют по закону

F_к = K_к·N/r (2.25)

где K_к-безразмерный коэффициент трения качения; N=R_н - модуль нормальной составляющей силы реакции опоры; r - радиус катящегося тела.

Если мы сравним между собой коэффициенты всех видов внешнего трения для каких-либо двух материалов, из которых изготовлены соприкасающиеся тела, то увидим, что f_п>f_c>K_k, т. е. при прочих равных условиях наибольшим является трение покоя, а наименьшим - трение качения.

Треугольник

Работу выполнил

студент гр.ВТ-31

Треуго́льник

Треуго́льник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Свойства и особенности треугольников

Трём точкам пространства, не лежащим на одной прямой (и образуемому ими невырожденному треугольнику), обязательно соответствует одна и только одна плоскость. Это весьма уникально — так как меньшему количеству точек соответствуют прямая и точка, а уже четыре точки могут находится вне единой плоскости.

Треугольник — это многоугольник, ограниченный минимально возможным количеством сторон. Любой многоугольник можно точно разбить на треугольники, лишь связав его вершины отрезками, не пересекающими его стороны. С некоторым приближением, на треугольники можно разбить поверхность любой формы, как на плоскости, так и в пространстве. Процесс разбиения на треугольники называется триангуляцией.

Треугольник — всегда выпуклый многоугольник. Вырожденный треугольник, все три вершины которого лежат на одной прямой или совпадают, обычно треугольником не считается, однако также является выпуклым множеством.

Для треугольника всегда существует одна и только одна вписанная (касающаяся трёх сторон) и одна описанная (проходящая через вершины) окружность. Также для треугольника существуют три окружности, касающихся одной стороны и продолжений двух других сторон — вневписанные окружности.

 Обозначения

Точки вершин треугольника традиционно обозначаются прописными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими буквами (α, β, γ), а длины противоположных сторон — строчными латинскими буквами (a, b, c).