Тема № 11. Волны, кванты, строение вещества.

Тема № 11. Волны, кванты, строение вещества.

Философское замечание.

Основные постулаты (то есть исходные утверждения, принимаемые без доказательства) геометрической, физической и квантовой оптики кажутся трудносовместимыми между собой. Для научного описания различных явлений используются математические модели, не обязательно «абсолютно правильные», но дающие возможность предсказать результаты различных экспериментов. По мере развития науки эти модели уточняются (и усложняются), например, на смену классической механике Ньютона пришла гораздо более сложная (и труднопонимаемая на бытовом уровне) теория относительности. Но бывают ситуации, когда для описания каких-то явлений используются сразу несколько теорий, каждая из которых описывает определенный набор экспериментальных данных. В дальнейшем эти теории, как правило, объединяются в рамках более общей научной теории, но для оптики этот процесс пока не завершен.

Соотношения между физическими величинами.

1) Длина волны  , где с – скорость волны, Т – период колебаний волны, ν – частота волны. При переходе из одной среды в другую период и частота волны не меняются, а длина и скорость волны изменяются в одно и то же число раз (при переходе из вакуума в данную среду – уменьшаются в n раз, где n – абсолютный показатель преломления среды). 

 

2) Оптической разностью хода волн от двух источников в данной точке называется величина , где d₁ и d₂ – расстояния от источников до данной точки, а n₁ и n₂ – соответствующие показатели преломления среды на этих дистанциях.

 

3) Максимум освещенности в данной точке достигается, когда волны приходят в неё в одной фазе, то есть оптическая разность хода равна целому числу длин волн: , k = 0, 1, 2, 3... – целые неотрицательные числа.

 

4) Минимум освещенности в данной точке достигается, когда волны приходят в неё в противофазе, то есть оптическая разность хода равна нечетному числу длин полуволн: , k = 0, 1, 2, 3... – целые неотрицательные числа.

 

5) Дифракционной решеткой назовем непрозрачную пластинку со множеством равноотстоящих друг от друга пропускающих свет щелей одинаковой ширины. Период дифракционной решетки d – расстояние между центрами соседних щелей. За решеткой обычно устанавливается экран, на котором свет, прошедший через щели, интерферирует, давая чередование максимумов и минимумов освещенности.   Условие максимума в данной точке на экране при нормальном падении света на решетку: , где φ – острый угол между нормалью к решетке и направлением на данную точку, k = 0, 1, 2, 3...

Условие минимума в данной точке на экране при нормальном падении света на решетку: , где φ – острый угол между нормалью к решетке и направлением на данную точку, k = 0, 1, 2, 3...    

Примеры решения задач.

1) Луч света с длиной волны λ падает перпендикулярно плоскопараллельной стеклянной пластинке с показателем преломления n, задняя сторона которой посеребрена (зеркально отражает свет). При какой минимальной толщине пластинки h отраженный свет будет максимально ослаблен?

 

Решение. Лучи, отразившиеся от границы раздела «воздух-стекло», и лучи, отразившиеся от задней посеребренной поверхности, на выходе из пластинки интерферируют между собой. Лучи, которые прошли пластинку до зеркальной поверхности и обратно, приобрели дополнительную оптическую разность хода 2hn. Условие первого минимума: , откуда .

Дополнительно. Найти все возможные толщины пластинки, при которых отраженный свет будет усилен.

 

2) Свет с длиной волны λ падает перпендикулярно дифракционной решетке с периодом d. На экране, расположенном за решеткой на расстоянии L от неё, наблюдается чередование максимумов и минимумов освещенности. Считая углы малыми, найти расстояние между максимумами второго и третьего порядка.

 

Решение. Из условия максимума: , . Расстояние между максимумами , учитывая, что для малых углов синусы и тангенсы примерно одинаковы.

Дополнительно. Какой наибольший порядок максимума можно наблюдать в этой задаче, учитывая, что наблюдаться он будет под углом к нормали, близким к 90⁰?

Примеры решения задач.

 

1) Пучок лазерного излучения мощностью N падает на идеальное зеркало перпендикулярно его поверхности. Найти давление света на зеркало.

 

Решение. Энергия пучка W = Nt. Импульс пучка , закон изменения импульса в проекции на ось, перпендикулярную зеркалу и направленную от него: p – (– p) = Ft, то есть .

Дополнительно. Решите ту же задачу, если: а) пучок отражается не полностью – половина излучения поглощается зеркалом б) пучок падает не перпендикулярно зеркалу, а под углом α к нормали.

 

2) Точечный источник света мощностью N излучает свет с длиной волны λ равномерно во всех направлениях. На каком расстоянии r от источника на маленькую площадку площадью S, перпендикулярную излучению, будет попадать n квантов за время t?

 

Решение. Энергия, излучаемая источником, W = Nt. Количество квантов найдем, поделив эту энергию на энергию одного кванта: . Поскольку во всех направлениях свет излучается одинаково, то на расстоянии r от источника все кванты равномерно распределяются по сфере радиуса r. То есть . Отсюда .

Дополнительно. Решите ту же задачу для случая, когда свет излучается источником в форме узкого конического пучка с углом полураствора α.

 

3) Уединенный металлический шар радиуса R облучают светом с длиной волны λ. Работа выхода электронов из металла равна А. Найти максимальный заряд шара.

 

Решение. По формуле Эйнштейна , причем U_з – разность потенциалов между поверхностью шара и бесконечностью (заряд шара перестает расти, когда очередной электрон, уйдя очень далеко от шара, тем не менее возвращается обратно – шар из-за выбивания электронов заряжается положительно и притягивает электроны). Поскольку потенциал на бесконечности мы принимаем равным нулю,  Отсюда .

Дополнительно. Пусть в предыдущей задаче светом облучается не шар, а большая металлическая пластина, а около пластины существует перпендикулярное ей задерживающее электрическое поле  напряженностью Е. На какое максимальное расстояние будут удаляться электроны от пластины?

 

4) Первоначально покоившаяся пылинка массой m облучается светом с длиной волны λ и приобретает в результате скорость V. Сколько квантов поглотила пылинка? Считать, что пылинка поглощает весь падающий на неё свет.

 

Решение. Применим закон сохранения импульса (часть энергии поглощенных квантов переходит в тепло, поэтому закон сохранения энергии нам здесь не поможет): . Отсюда .

Дополнительно. Покоившееся атомное ядро массой М испускает квант света с энергией W. Какую скорость приобретает ядро?

Примеры решения задач.

1) Период полураспада радиоактивного изотопа T = 4 часа. Какая доля ядер распадется за t = 12 часов? 

 

Решение. Согласно закону радиоактивного распада, число нераспавшихся ядер , то есть распалось 7/8 от исходного количества ядер.

Дополнительная информация. Периоды полураспада различных изотопов одного и того же химического элемента могут очень сильно различаться, но они не зависят от внешних условий и даже от того, в составе какого химического соединения находится данное ядро.

 

2) При радиоактивном распаде ядра урана получается ядро радия . Сколько

α и β – распадов произошло?

Решение. Запишем обобщенное уравнение распада: , откуда 238 = 226 +4X, 92 = 88 + 2X – Y. Отсюда X = 3 и Y = 2.

Дополнительная информация. Фактически, сохранение верхних индексов – постоянство числа нуклонов, а нижних индексов – закон сохранения заряда.

 

3) Доказать, что , где - энергия атома на энергетическом уровне с номером n, - энергия атома на первом энергетическом уровне.

 

Решение. Запишем второй закон Ньютона для электрона в ядре и правило квантования Бора: ,  (m – масса электрона). Данная система решается относительно скорости и радиуса орбиты: , . Полная энергия атома складывается из кинетической энергии электрона и потенциальной энергии электростатического взаимодействия электрона с ядром: , где .

Дополнительно. Во сколько раз изменяются скорость электрона, радиус его орбиты и энергия атома при переходе с первой стационарной орбиты на вторую?

Тема № 11. Волны, кванты, строение вещества.

Философское замечание.

Основные постулаты (то есть исходные утверждения, принимаемые без доказательства) геометрической, физической и квантовой оптики кажутся трудносовместимыми между собой. Для научного описания различных явлений используются математические модели, не обязательно «абсолютно правильные», но дающие возможность предсказать результаты различных экспериментов. По мере развития науки эти модели уточняются (и усложняются), например, на смену классической механике Ньютона пришла гораздо более сложная (и труднопонимаемая на бытовом уровне) теория относительности. Но бывают ситуации, когда для описания каких-то явлений используются сразу несколько теорий, каждая из которых описывает определенный набор экспериментальных данных. В дальнейшем эти теории, как правило, объединяются в рамках более общей научной теории, но для оптики этот процесс пока не завершен.