Квадратные уравнения частного характера

 

1) Если a + b + c = 0 в уравнении ax² + bx + c = 0, то

 

х₁=1, а х₂ = .

Доказательство:

В уравнении ax² + bx + c = 0, его корни

 

x_1,2 =  (1).

 

Представим b из равенства a + b + c = 0

Подставим это выражение в формулу (1):

х_1,2=

=

 

Если рассмотрим по отдельности два корня уравнения, получим:

 

1) х₁=

2) х₂=

 

Отсюда следует: х₁=1, а х₂ = .

1. Пример:

 

2х² - 3х + 1 = 0

a = 2, b = -3, c = 1.

a + b + c = 0, следовательно

х₁ = 1

х₂ = ½

 

2. Пример:

 

418х² - 1254х + 836 = 0

 

Этот пример очень тяжело решить через дискриминант, но, зная выше приведенную формулу его с легкостью можно решить.

 

a = 418, b = -1254, c = 836.

х₁ = 1 х₂ = 2

2) Если a - b + c = 0, в уравнении ax² + bx + c = 0, то:

 

х₁=-1, а х₂ =- .

Доказательство:

Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0, из него следует, что:

 

x_1,2 =  (2).

 

Представим b из равенства a - b + c = 0

b = a + c, подставим в формулу (2):

 

x_1,2=

=

 

Получаем два выражения:

 

1) х₁=

2) х₂=

 

Эта формула похожа на предыдущую, но она тоже важна, т.к. часто встречаются примеры такого типа.

1) Пример:

 

2х² + 3х + 1 = 0

a = 2, b = 3, c = 1.

a - b + c = 0, следовательно

х₁ = -1

х₂ = -1/2

 

2) Пример:

 

Ответ: x₁ = -1; х₂ = -

 

3) Метод “ переброски ”

Корни квадратных уравнений y² + by + аc = 0 и ax² + bx + c = 0 связанны соотношениями:

 

х₁ = и х₂ =

Доказательство:

а) Рассмотрим уравнение ax² + bx + c = 0

 

x_1,2 =  =

 

б) Рассмотрим уравнение y² + by + аc = 0

 

y_1,2 =

Заметим, что дискриминанты у обоих решений равны, сравним корни этих двух уравнений. Они отличаются друг от друга на старший коэффициент, корни первого уравнения меньше корней второго на а. Используя теорему Виета и выше приведенное правило, нетрудно решать разнообразные уравнения.

Пример:

Имеем произвольное квадратное уравнение

 

10х² - 11х + 3 = 0

 

Преобразуем это уравнение по приведенному правилу

 

y² - 11y + 30 = 0

 

Получим приведенное квадратное уравнение, которое можно достаточно легко решить с помощью теоремы Виета.

Пусть y₁ и y₂ корни уравнения y² - 11y + 30 = 0

 

y₁y₂ = 30 y₁ = 6

y₁ + y₂ = 11 y₂ = 5

 

Зная, что корни этих уравнений отличны друг от друга на а, то

 

х₁ = 6/10 = 0,6

х₂ = 5/10 = 0,5

 

В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax² + bx + c = 0, а приведенное y² + by + аc = 0, которое получается из данного «переброской» коэффициента а, а затем разделить найденный корни на а для нахождения исходного уравнения.

2.5 Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней

 

Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен

 

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1_­­­ + … +a_n

 

Имеет n различных корней x₁, x₂ …, x_n.

В этом случае он имеет разложение на множители вида:

 

a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+ a_n = a₀(x – x₁)(x – x₂)…(x – x_n)

 

Разделим обе части этого равенства на a₀ ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:

 

xⁿ + ()x^n-1 + … + () = xⁿ – (x₁ + x₂ + … + x_n) x^n-1 + (x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n)x^n-2 + … +(-1)ⁿ x₁x₂ … x_n

 

Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство

 

x₁ + x₂ + … + x_n = -

x₁x₂ + x₂x₃ + … + x_n-1x_n =

x₁x₂ … x_n = (-1)ⁿ

Например, для многочленов третей степени

 

a₀x³ + a₁x² + a₂x + a₃

Имеем тождества

 

x₁ + x₂ + x₃ = -

x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ =

x₁x₂x₃ = -

 

Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x₁, x₂ …, x_n данного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.