Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2019-12-27 | 146 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
(1)
Поле направлений — геометрическая интерпретация множества линейных элементов, соответствующих системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Любая интегральная кривая системы обыкновенных дифференциальных уравнений в каждой своей точке касается отвечающего этой точке направления поля, и любая кривая, обладающая этим свойством, является интегральной кривой системы.
Задача Коши. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка , в которой они задаются, – начальной точкой. Если дифференциальное уравнение n-го порядка, то для определения частного решения необходимо n начальных условий.
Пусть N- количество точек, i=1, 2, … N, тогда шаг
Если даны начальные условия: , то по разложению в ряд Тейлора: . Из уравнения (1) имеем
Метод интегрирования Эйлера первого порядка (n=1, O(h))
Метод интегрирования левых прямоугольников.
Начальные условия:
Для уменьшения погрешности необходимо уменьшить шаг, но с уменьшением шага растёт число округлений.
Усовершенствованный метод Эйлера (n=2)
Метод интегрирования трапеций
Для вычисления нового значения y необходимо посчитать два значения f, причём неизвестно метод неявный. От неявности уходят следующим образом:
Чем выше порядок точности, тем меньше погрешность.
Модифицированный метод Эйлера (n=2)
Метод центральных прямоугольников
Метод Рунге-Кутта (n=4)
Метод парабол
|
Линейные многошаговые методы интегрирования. Методы Адамса-Бэшфорта.
Явные методы, поскольку для вычисления нового y, следует посчитать f(k), более ранние значения известны.
1 порядок:
2 порядок:
3 порядок:
4 порядок:
Погрешность вычислений:
Адамса-Бэшфорта
Рунге-Кутта
Следовательно, для достижения одинаковой точности в методе Адамса-Бэшфорта необходимо использовать более мелкий шаг, а потому он является менее экономичным.
Классификация методов интегрирования
1. По порядку точности. Порядок точности - наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи.
2. Явные или неявные. Метод называется явным потому, что неизвестное значение может быть непосредственно вычислено по известному значению в предыдущей точке.
3. Одношаговые или многошаговые. В одношаговых методах для получения точки требуется лишь информация о последней рассчитанной точке. В m - шаговых методах для получения точки требуется информация о предыдущих m рассчитанных точках.
4. Самостартующие или несамостартающие. Самостартующий метод- метод, в котором для начала вычислений не требуется дополнительных расчётов.
Погрешности
- точное значение интеграла
значение интеграла, рассчитываемое с шагом h
- - главный член погрешности;
- - второстепенный член погрешности.
Например,
-даёт очень скруглённую величину, так как вместо каждой производной берётся одна максимальная;
- может быть вычислена до решения.
Предположим, что шаг уменьшен до тогда
Следовательно, уменьшение сетки приводит к уменьшению погрешности.
Cлева в формуле - априорная погрешность (теоретическая), справа- апостериорная (практическая). Эта формула даёт более точный результат.
Для h1=h/2: - формулы Рунге или формулы второго пересчёта.
- экстраполяция Ричардсона.
Метод стрельбы (пристрелки)
Перевод краевой задачи к последовательности решений задач Коши.
|
Пусть дано:
Зададим
Приравняем . Нужно подобрать значение производной на правой границе так, чтобы совпало численное решение и заданное условие .
Конечно-разностный метод
Пусть дано
Выразим производные через разностное отношение и подставим в исходное уравнение, получим:
, где, в общем случае, a, b, с- f(h). Тогда получаем систему линейных уравнений:
; (1)
- ленточная матрица
Скалярная прогонка
Состоит из двух этапов:
8N действий.
Необходимое условие устойчивости скалярной прогонки.
Должно выполняться правило диагонального преобладания:
- модуль главной диагонали больше суммы модулей побочных диагоналей.
(1)
Прямая прогонка (Левое граничное условие)
Обратная прогонка (Правое граничное условие)
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
(1)
Поле направлений — геометрическая интерпретация множества линейных элементов, соответствующих системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Любая интегральная кривая системы обыкновенных дифференциальных уравнений в каждой своей точке касается отвечающего этой точке направления поля, и любая кривая, обладающая этим свойством, является интегральной кривой системы.
Задача Коши. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка , в которой они задаются, – начальной точкой. Если дифференциальное уравнение n-го порядка, то для определения частного решения необходимо n начальных условий.
Пусть N- количество точек, i=1, 2, … N, тогда шаг
Если даны начальные условия: , то по разложению в ряд Тейлора: . Из уравнения (1) имеем
Метод интегрирования Эйлера первого порядка (n=1, O(h))
Метод интегрирования левых прямоугольников.
Начальные условия:
Для уменьшения погрешности необходимо уменьшить шаг, но с уменьшением шага растёт число округлений.
Усовершенствованный метод Эйлера (n=2)
Метод интегрирования трапеций
Для вычисления нового значения y необходимо посчитать два значения f, причём неизвестно метод неявный. От неявности уходят следующим образом:
|
Чем выше порядок точности, тем меньше погрешность.
Модифицированный метод Эйлера (n=2)
Метод центральных прямоугольников
Метод Рунге-Кутта (n=4)
Метод парабол
|
|
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!