Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (x = r cos φ, y = r sin φ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

z = r (cos φ + i sin φ).

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

z = re^{i φ},

где e^{i φ} — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

 

6) Извлечение корней из комплексных чисел

 

7) Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее некоторую функцию с ее производными. Решить дифференциальное уравнение — найти функции, при подстановке которых в уравнение оно обращается в тождество. Большинство физических законов записывается в виде дифференциальных уравнений. Примером дифференциального уравнения является второй закон Ньютона: F = ma

где сила F является функцией координат и времени, ускорение a = v '(t) = x ''(t) — производная скорости и вторая производная координаты по времени.

8) Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

где функции P (t, x) и Q (t, x) определены и непрерывны в некоторой области .

 

9) 1.2.3. Утверждение об уравнении с разделенными переменными. Пусть в уравнении

f (x) dx = g (t) dt,

(3)

функции f и g на своих областях определения имеют первообразные F и G:

F ′(x) = f (x) (x ∈ D(f)), G ′(t) = g (t) (t ∈ D(g)).

(4)

Тогда уравнение (3) эквивалентно уравнению

F (x) = G (t) + C (x ∈ D 1).

(5)

Другими словами, (5) есть полный интеграл уравнения (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть область определения D(φ) функции x = φ(t) есть промежуток и φ есть решение уравнения (3). Это означает, что

[ f (x) dx – g (t) dt ]| x = φ(t), dx = φ′ dt = 0 (t ∈ D(φ), dt ∈ R).

В силу условий (4) последнее равенство эквивалентно тождеству

d [ F (x) – G (t)]| x = φ(t), dx = φ′ dt)] ≡ 0 (t ∈ D(φ), dt ∈ R),

которое в силу инвариантности формы первого дифференциала, в свою очередь, эквивалентно соотношению

d [ F (φ(t)) – G (t)] = 0 (t ∈ D(φ), φ ∈ D 1).

Наконец, последнее, очевидно эквивалентно тождеству

F [φ(t)] = G (t) + C (t ∈ D(φ), φ ∈ D 1),

означающему, что φ — решение (5).

 

Однородные уравнения

Функция называется однородной функцией своих аргументов измерения , если справедливо тождество .

Например, функция есть однородная функция второго измерения, так как

При имеем функцию нулевого измерения. Например, есть однородная функция нулевого измерения, так какДифференциальное уравнение вида называется однородным относительно и , если есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. Однородное уравнение всегда можно представить в виде

(1)

Вводя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющими переменными:

Если есть корень уравнения , то решение однородного уравнения будет или (прямая, проходящая через начало координат).

 

 

11) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Уравнение вида y'+ ρ(x) y=f (x), где ρ(x) и f (x) непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Пример. Найти общее решение уравнения y'+ 3 y=e ^{2 x} и частное решение,удовлетворяющее начальным условиям х =0, у =1.
Решение. Данное уравнение является линейным.
Здесь ρ(x)=3 и f (x)= e ^{2 x} .
Решение ищем в виде y=U ∙υ, где U и υ – некоторые функции от х. Находим y'= U' υ+ U υ ' и подставляем в уравнение значение y и y', получаем: U' υ +U υ ' +3 U υ= e ^{2 x} или U' υ +U (υ ' +3υ)= e ^{2 x} .
Найдем одно значение υ, при котором выражение в скобках, обращается в нуль: υ ' +3υ=0. Получим уравнение с разделяющимися переменными. Решая его получаем: ln υ =–3 x,υ= e ^{–3 x} .
Подставляем найденное значение υ в исходное дифференциальное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
.
Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:

 

 

12) Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида y''+ ρ y'+qy=f (x), где ρ и q – вещественные числа, f (x) – непрерывная функция, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим линейное уравнение второго порядка вида:
y''+ ρ y'+qy =0, (1)
у которого правая часть f (x) равна нулю. Такое уравнение называется однородным.
Уравнение
K ² + ρ K+q =0 (2)
называется характеристическим уравнением данного уравнения (1).
Характеристическое уравнение (2) является квадратным уравнением, имеющим два корня. Обозначим их через К ₁ и К ₂.
Общее решение уравнения (1) может быть записано в зависимости от величины дискриминанта D =ρ²–4 q уравнения (2) следующим образом:
1. При D >0 корни характеристического уравнения вещественные и различные (К ₁≠ К ₂), и общее решение имеет вид .
2. При D =0 корни характеристического уравнения вещественные и равные (К ₁= К ₂= К), и общее решение имеет вид:
3. Если D <0, то корни характеристического уравнения комплексные: , где – мнимая единица, и общее решение (К ₁=α+β i, К ₂=α–β i, β≠0), имеет вид y = e ^{α x} (C ₁ cosβ x + C ₂ sinβ x).