Определение моментов инерции различных тел

Положите одно из предложенных тел на центр поворотного стола масса тела m =         г, характерный размер (длина, радиус) R =       мм (или l =        мм). Значения масс тел указаны на них, характерные размеры измеряются линейкой.

Измерить момент инерции всех предложенных тел (стержень, полушар, диск, кольцо) и сделать вывод по полученным результатам.

1) Стержень:

масса стержня m =        г, характерный размер (длина) l =         мм.

Период колебаний стола со стержнем: Т =          мс.

Момент инерции стержня:

=          г м².

Расчетное значение момента инерции:

=            г м².

2) Полушар:

масса полушара m =          г, характерный размер (радиус) R =          мм.

Период колебаний стола с полушаром: Т =          мс.

Момент инерции полушара:

=          г м².

Расчетное значение момента инерции:

=            г м².

3) Диск:

масса диска m =          г, характерный размер (радиус) R =         мм.

Период колебаний стола с диском: Т =          мс.

Момент инерции диска:

=          г м².

Расчетное значение момента инерции:

=            г м².

4) Кольцо:

масса кольца m =        г, радиусы R _внутр =        , R _внешн =         мм, R _ср =         мм.

Период колебаний стола с кольцом: Т =           мс.

Момент инерции кольца:

=          г м².

Расчетное значение момента инерции:

=            г м², или более точно

=            г м².

ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА

Любое из тел может быть расположено на различных расстояниях от оси вращения стола (фиксация расстояний с шагом 20 мм). Для проверки теоремы Штейнера измерить моменты инерции стола с двумя цилиндрами массой m = 1011 г на различных расстояниях от оси вращения стола. Результаты записать в предложенную таблицу.

Таблица 6.1

Расстояние цилиндров от оси r, см	4		6		8		10
Период колебаний стола Т, мс
Момент инерции I = I 0 T 2/ T 02, г м2
Контроль: D I /D r 2, г

;    ; j = 1,2,3.

r ₁ = 4 см; r ₂ = 6 см; r ₃ = 8 см; r ₄ = 10 см.

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ С ПОМОЩЬЮ

ПРУЖИН ИЗВЕСТНОЙ ЖЕСТКОСТИ

(эксперименты на шкиве стойки стола)

Для получения колебательной системы через шкив радиуса R стойки перекидывается длинная нить, концы которой посредством двух пружин прикрепляются к зацепам на основании стойки.

k _пар =          Н/м.

Момент инерции не нагруженного шкива

Период колебаний шкива Т_шк =          мс при R =       мм;

Момент инерции шкива I _шк = k _пар R ² /(4p²) =        г м².

Момент инерции стержня

L =   мм, m =         г

Период колебаний шкива со стержнем

Т =          мс.

Момент инерции шкива со стержнем

I = k _пар R ² Т ²/(4p²) =           г м².

Момент инерции стержня:

Расчётное значение:

I _ст = mL ²/12 =          г м².

По результатам измерений

I_{c т} = I – I _шк =          г м².

Сделать сравнительный анализ с методом п. 2.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ С_р/С _v  ДЛЯ ВОЗДУХА ПО КЛЕМАНУ-ДЕЗОРМУ

Цель работы: познакомиться с одним из методов определения С_р / С _v.

Приборы и принадлежности: установка ЛКТ-5, шланг с грушей-помпой, переходной шланг, мембранный манометр, емкость с водой.

Краткие теоретические сведения

Состояние газа характеризуется тремя величинами – параметрами состояния: давлением Р, объемом V, и температурой Т. Уравнение связывающее эти величины, называется уравнением состояния газа. Для идеального газа уравнением состояния является уравнение Менделеева – Клапейрона:

,                                         (7.1)

где m – масса газа, m - масса одного моля, R – универсальная газовая постоянная. Для одного моля:

.                                             (7.2)

Теплоёмкостью тела называется количество теплоты, которое нужно сообщить телу, чтобы изменить его температуру на один градус:

(Дж/К).

Здесь d Т – изменение температуры тела при сообщении ему количества теплоты dQ.

Теплоёмкость единицы массы тела называется удельной теплоёмкостью:

(Дж/кг К).

Теплоёмкость одного моля вещества называется молярной теплоёмкостью:

(Дж/моль К).                     (7.3)

Величина теплоёмкости газа зависит от условий его нагревания, т.е. от того, нагревается ли газ при постоянном объёме (обозначим молярную теплоёмкость в этом случае через С _v) или процесс нагревания происходит при постоянном давлении (С_р). С _v и С_р связаны между собой. Эту связь можно получить, пользуясь уравнением состояния (7.2), написанным для одного моля газа, и первым началом термодинамики, которое можно сформулировать следующим образом: количество теплоты dQ, переданное системе, затрачивается на увеличение её внутренней энергии dU и на работу dA, совершаемую системой над внешними телами:

dQ = dU + dA.                                      (7.4)

Элементарная работа

dA = P dV.                                            (7.5)

Исходя из определения молярной теплоёмкости (7.3):

.

При изохорическом процессе V = const, следовательно, dV = 0 и dA = 0 (см. формулу (7.5)), и поэтому

С _v = .                                             (7.6)

При изобарическом процессе Р = const, следовательно,

.                                 (7.7)

Из уравнения состояния газа (7.2) получаем

Р dV + V dP = R dT.

Но dP = 0 (т.к. Р = const), а поэтому P dV = R dT.

Учитывая это равенство и заменяя dU через С _v dT, из выражения (7.7) получим

С_р = С _v + R.

Таким образом С_р > C_v: при нагревании при постоянном давлении тепло, сообщённое газу, идёт не только на изменение его внутренней энергии, но и на совершение газом работы.

Важную роль в термодинамике играет величина g = С_р / С _v, в частности, gвходит в уравнение Пуассона, описывающее адиабатический процесс, т.е. процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой (dQ = 0). Уравнение Пуассона в переменных (Р, V) имеет вид:

РV ^g  = const.

Из первого начала термодинамики (7.4) для адиабатического процесса следует:

dU + dA = 0,

откуда

dA = - dU = - C_v dT,

т.е. работа в этом случае совершается за счёт изменения запаса внутренней энергии газа.

Описание метода определения С_р / С _v

Создадим в баллоне давление воздуха р ₁, превышающее атмосферное давление р ₀, затем на короткое время откроем кран в атмосферу. Давление в баллоне упадёт до атмосферного, а оставшийся в баллоне воздух вследствие адиабатического расширения охладится от начальной температуры Т ₁ (комнатная) до температуры Т ₀, определяемой уравнением адиабаты:

р ₁^1-g Т ₁^g = р ₀^1-g Т ₀^g.                                         (7.8)

После закрытия крана температура воздуха в баллоне постепенно вернётся к комнатной, и давление возрастёт до значения р ₂

.                                              (7.9)

Из этих соотношений находим g = С_р / С _v:

.                                      (7.10)

Если избыточное давление D р ₁ = р ₁ – р ₀ значительно меньше атмосферного давления р ₀, то приблизительно

.                                      (7.11)

Порядок выполнения работы

1. К штуцеру Ш1 подключите шланг груши – помпы.

2. Соедините баллон (штуцер Ш3) с мембранным манометром для создания высоких давлений.

3. Закройте краны К2 и К3.

4. Откройте кран К1 и накачайте воздух до избыточного давления D р ₁ = 200 мм Нg (мм рт. ст.), после чего закройте кран К1.

5. Подождите 1 – 2 минуты, пока установится температура воздуха в баллоне и давление перестанет изменяться.

6. Включите часы в режим «секундомер» кнопкой «mode».

7. На короткое время t = 0…5 с откройте кран К3 баллона и закройте его. Время открытого состояния крана автоматически измерит таймер.

П р и м е ч а н и е. Необходимо получить 8 различных значений моментов времени в указанном интервале, для построения графиков (см. пп. 9, 11 и табл. 7.1 и 7.2). Примерные значения времени открытия крана (для построения «удачного» графика) лучше всего стремиться получить близкими к: t ₁ ~ 0,50; t ₂ ~ 1,00; t ₃ ~ 1,50; t ₄ ~ 2,00; t ₅ ~ 2,50; t ₆ ~ 3,00; t ₇ ~ 3,50; t ₈ ~ 4,00 сек., т.е. отстоящими друг от друга на несколько десятых долей секунды.

8. Подождите 1 – 2 минуты до установления температуры и давления в баллоне. Запишите установившееся избыточное давление D р ₂ в таблицу 7.1.

9. Для фиксированного давления D р ₁ повторите опыт с различными значениями t (см. примечание к п. 7), заполняя таблицу 7.1.

10. Подключите к штуцеру Ш3 вместо мембранного манометра водяной (штуцер М ), для создания низких давлений, при помощи переходного шланга и повторите пункты 3 – 9, заполняя таблицу 7.2.

11. Постройте графики зависимости ln (D р ₂) = F (t) для обоих случаев. Эти графики покажут, какие значения t слишком малы (воздух не успевает выйти из баллона), а какие слишком велики (воздух успевает частично подогреться, пока кран ещё открыт). Экстраполируя графики из области больших t к значению t = 0, найдите «идеальные» значения избыточного давления D р ₂ и р ₂, нужные для расчёта показателя адиабаты g.

Указание. Графики следует строить на одной координатной сетке. Рекомендуемый масштаб по оси «t»: 1 сек в 2-х см, по оси «ln (D p ₂)»: 0,1 ед. в 1-м см.

12. Результаты представить в виде:

Контрольные результаты

Высокие давления: D р ₁ = 200 мм.рт.ст = 27,2 кПа, р ₁ = р ₀ + D р ₁ =              кПа.

Таблица 7.1

№ изм.	1	2	3	4	5	6	7	8
t, c
D р 2, мм.рт.ст
ln (D р 2)

 

Экстраполяция: D р ₂ =            мм.рт.ст =                  кПа.

По формуле (7.10): g =              .

 

Низкие давления: D р ₁ = 200 мм.вод.ст.) = 2,00 кПа.

Таблица 7.2

№ изм.	1	2	3	4	5	6	7	8
t, c
D р 2, мм.вод.ст.
ln (D р 2)

 

Экстраполяция: D р ₂ =            мм.вод.ст. =                  кПа.

По формуле (7.11): g =              .

 

13. Сделайте вывод по полученным значениям постоянной адиабаты.

14. Ответьте на следующие контрольные вопросы:

1 Что называется теплоёмкостью тела, удельной теплоёмкостью вещества, молярной теплоёмкостью вещества? В каких единицах измеряются эти величины?

2 Что такое молярная теплоёмкость при постоянном объёме (С _V), при постоянном давлении (С_р)?

3 Какова связь между С_V  и С_р?

4 В чём состоит первое начало термодинамики?

5 Какой процесс называется изохорическим?

6 Какой процесс называется изобарическим?

7 Какой процесс называется адиабатическим?

8 Запишите уравнение Пуассона в переменных P и V, P и Т.

9 Опишите устройство прибора и процессы, происходящие с газом в ходе выполнения работы?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЯЗКОСТИ ВОЗДУХА
ПО ИСТЕЧЕНИЮ ИЗ КАПИЛЛЯРА

Цель работы: измерить коэффициент динамической вязкости воздуха.

Приборы и принадлежности: ЛКТ-9: электрочайник, соединительные шланги, груша-помпа с зажимом, капилляр; термометр, баллон с двумя штуцерами.