Кинематика, динамика, законы сохранения энергии

И импульса материальной точки. Элементы теории поля.

Законы вращательного движения твердого тела.

Колебания и волны. Элементы теории относительности.

Основные формулы

 

Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси x

где f (t) - некоторая функция времени.

Проекция средней скорости на ось x

Средняя путевая скорость

где Ds - путь, пройденный точкой за интервал времени Dt. Путь Ds в отличие от разности координат Dx = x₂-x₁не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. Ds ³ 0.

Проекция мгновенной скорости на ось x

Проекция среднего ускорения на ось x

Проекция мгновенного ускорения на ось x

Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности

 

, r=R-const

Модуль угловой скорости

Модуль углового ускорения

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

где   -модуль линейной скорости;   и  - модули тангенциального и нормального ускорений; w - модуль угловой скорости; e - модуль углового ускорения; R -радиус окружности.

Модуль полного ускорения

или

Угол между полным и нормальным ускорениями

Импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью ,

.

Второй закон Ньютона

где - результирующая сила, действующая на материальную точку.

Силы, рассматриваемые в механике:

а) сила упругости

где -коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость);

x - абсолютная деформация;

    б) сила тяжести

    в) сила гравитационного взаимодействия

где - гравитационная постоянная; m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел; r - расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность  гравитационного поля:

г) сила трения (скольжения)

где f - коэффициент трения; N - сила нормального давления.

Закон сохранения импульса

или для двух тел (i=2)

,

где и   - скорости тел в момент времени, принятый за начальный;  и  - скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно,

, или

Потенциальная энергия:

а) упругодеформированной пружины

где - жесткость пружины; x - абсолютная деформация;

б) гравитационного взаимодействия

где - гравитационная постоянная; m₁ и m₂ - массы взаимодействующих тел; r - расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

где g - ускорение свободного падения; h - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где

R — радиус Земли).

Закон сохранения механической энергии

Работа А, совершаемая результирующей силой, определяется как мера изменения кинетической энергии материальной точки:

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

x = A cos (w t + j),

где х - смещение; А -амплитуда колебаний; w - угловая или циклическая частота; j - начальная фаза.

Скорость и ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания:

u = -A w sin (w t+ j);      a = - A w ² cos (w t+ j).

Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты:

а) амплитуда результирующего колебания

б) начальная фаза результирующего колебания

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях,

x = A₁ cos w t;  y = A₂ cos (w t+ j);

а)  если разность фаз j=0;

б)  если разность фаз j=±p;

в)  если разность фаз j=±p/2.

Уравнение плоской бегущей волны

где y - смещение любой из точек среды с координатой x в момент t;

  u - скорость распространения колебаний в среде.

Связь разности фаз Dj колебаний с расстоянием Dxмежду точками среды, отсчитанным в направлении распространения колебаний;

где l - длина волны.

Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси z

где М_z - результирующий момент внешних сил относительно оси z, действующих на тело; e - угловое ускорение; J_z - момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси z, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню,

б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

где R - радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска,

Проекция на ось z момента импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси z,

где w - угловая скорость тела.

    Закон сохранения момента импульса систем тел, вращающихся вокруг неподвижной оси z,

= const,

где J_z - момент инерции системы тел относительно оси z; w - угловая скорость вращения тел системы вокруг оси z.

    Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

или

    Релятивистская масса

или

где m_o - масса покоя частицы; u - ее скорость; с - скорость света в вакууме; b - скорость частицы, выраженная в долях скорости света

(b = u/с).

    Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы

или

где Е_о= m _о с² - энергия покоя частицы.

    Полная энергия свободной частицы

Е = Е_о + Т,

где Т - кинетическая энергия релятивистской частицы.

    Кинетическая энергия релятивистской частицы

или

    Импульс релятивистской частицы

или

Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы

 

Коэффициент поверхностного натяжения

где F— сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жилками, или

где — изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанное с изменением площади  поверхности этой пленки.

Формула Лапласа в общем случае записывается в виде

где p — давление, создаваемое изогнутой поверхностью жидкости;

 —коэффициент поверхностного натяжения;  и — радиусы кривизны

двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости, а в случае

сферической поверхности

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

где  – краевой угол; R – радиус канала трубки; – плотность жидкости;

 – ускорение свободного падения.

Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными плоскостями

где  – расстояние между плоскостями.

Расход жидкости в трубке тока (рис. 1):

а) Объемный расход ;

б) Массовый расход  , где S – площадь поперечного сечения трубки тока;  – скорость жидкости;  – ее плотность.

Уравнение неразрывности струи

где  и  – площади поперечного сечения трубки тока в двух местах;

 и  – соответствующие скорости течений.

Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости в общем случае

где  и статические давления жидкости в двух сечениях трубки

тока; и  — скорости жидкости в этих сечениях;    и

 - динамические давления жидкости в этих же сечения;  и –высоты их над некоторым уровнем (рис. 1)

 

                                                   Рис. 1

и     — гидростатические давления.

Уравнение Бернулли в случае, когда оба сечения находятся на одной

высоте (  = ):

Скорость течения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде

где   — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня

жидкости в сосуде.

Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающей за время t

через длинную трубку,

где — радиус трубки; l — ее длина;  — разность давлений на концах

трубки; — динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения)

жидкости.

Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках

где — средняя по сечению скорость течения жидкости;  — диаметр

трубки, и для движения шарика в жидкости

где  – скорость шарика;   — его диаметр.

Число РейнольдсаRe есть функция скорости  тела, линейной величины l,

определяющей размеры тела, плотности и динамической вязкости  жидкости, т.е.

 

При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого критического значения  , движение жидкости является ламинарным.

При значениях чисел РейнольдсаRe  движение жидкости переходит в турбулентное.

Критическое число Рейнольдса для движения шарика в жидкости 0,5; для потока жидкости в длинных трубках  =2300.

Формула Стокса. Сила сопротивления F, действующая со стороны потока жидкости на медленно движущийся в нее шарик,

где  — радиус шарика; — его скорость.

Формула справедлива для скоростей, при которых число Рейнольдса

много меньше единицы (Re  1).

Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct³, где А = 2 м, В = 1 м/с, С = - 0,5 м/с³. Найти координату х, скорость   и ускорение точки в момент времени t = 2с.

Решение. Координату xнайдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов A, B и C и времени t:

x = (2 + 1×2 - 0,5×2³)м = 0.

Мгновенная скорость относительно оси хесть первая производная от координаты по времени:

.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

                 

В момент времени t = 2 с

= (1 - 3×0,5×2²) м/c = - 5 м/c;

 = 6(- 0,5) × 2 м/с² = - 6 м/с².

 

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону j = A + Bt + Ct², где A= 10 рад, В = 20 рад/с, С = - 2 рад/с². Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии г=0,1 м от оси вращения, для момента времени t =4 с.

Решение. Полное ускорение точки, движущейся по кривой линии, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (рис.1):

Так как векторы  и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения

                                             (1)

Модули тангенциального и нормального ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами

      

где w - модуль угловой скорости тела;

e - модуль его углового ускорения.

 

Подставляя выражения   и в формулу (1), находим

                                  .                            (2)

Угловую скорость w найдем, взяв первую производную угла поворота по времени:

В момент времени t = 4 с модуль угловой скорости

w = [20 + 2(-2)4] рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

= 2 C = - 4 рад/с².

Подставляя значения w, e и r в формулу (2), получаем

 м/с = 1,65 м/с².

 

    Пример 3. Шар массой m₁, движущийся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой m₂. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю e своей кинетической энергии первый шар передал второму?

Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

                                                                       (1)

где Т₁ - кинетическая энергия первого шара до удара; u₂ и Т₂ - скорость и кинетическая энергия второго шара после удара.

    Как видно из формулы (1), для определения e надо найти u₂. Согласно условию задачи импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления не изменяется и механическая энергия шаров в другие виды не переходит. Пользуясь этим, найдем:

                                                                       (2)

                                                                   (3)

    Решим совместно уравнения (2) и (3):

    Подставив это выражение u₂ в формулу (1) и сократив на u₁ и m₁, получим

    Из найденного соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров.

 

Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу m= 80г (рис.2), перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m₁ = 100г и m₂ = 200г. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пренебречь.

 

Решение: Рассмотрим силы, действующие на каждый груз и на блок в отдельности. На каждый груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости (сила натяжения нити). Направим ось х вертикально вниз и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

                                    ;                                            (1)

для второго груза

                                                                                   (2)

Под действием моментов сил  и  относительно оси z перпендикулярной плоскости чертежа и направленной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение e. Согласно основному уравнению динамики вращательного движения,

                                                                                   (3)

где - момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z.

                    Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити  и . Воспользовавшись этим подставим в уравнение (3) вместо  и  выражения и  _, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

    После сокращения на  и перегруппировки членов найдем

                                                                            (4)

    Формула (4) позволяет массы m₁, m₂ и m выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускорение - в единицах СИ. После подстановки числовых значений в формулу (4) получим

        

Пример 5. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости u₁, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (R=6,37×10⁶ м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли,пренебречь.

    Решение. Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При неработающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно,

Т₁ + П₁ = Т₂ + П₂,             (1)

где Т₁, П₁ и Т₂, П₂ - кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, равном радиусу Земли) состояниях.

    Согласно определению кинетической энергии,

    Потенциальная энергия ракеты в начальном состоянии

    По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая - убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Т₂ станет равной нулю, а потенциальная - достигнет максимального значения:

    Подставляя выражения Т₁, П₁, Т₂ и П₂ в (1), получаем 

откуда

    Заметив, что GM/R²=g (g - ускорение свободного падения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде

что совпадает с выражением для первой космической скорости.

    Произведем вычисления:

м/с = 7,9 км/с.

 

    Пример 6. Платформа в виде сплошного диска радиусом R=1,5 м и массой m₁=180 кг вращается около вертикальной оси с частотой n=10 мин^-1. В центре платформы стоит человек массой m₂=60 кг. Какую линейную скорость u относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

    Решение. Согласно условию задачи, момент внешних сил относительно оси вращения z, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать равным нулю. При этом условии проекция L_z момента импульса системы платформа-человек остается постоянной:

                         const,                                          (1)

где J_z - момент инерции платформы с человеком относительно оси z;

w - угловая скорость платформы.

    Момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в состав системы, поэтому в начальном состоянии  а в конечном состоянии .

    С учетом этого равенство (1) примет вид

                                                                        (2)

где значения моментов инерции J ₁ и J ₂ платформы и человека соответственно относятся к начальному состоянию системы;  и  - к конечному.

    Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: . Момент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материальную точку, то его момент инерции J ₂ в начальном состоянии (в центре платформы)можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека

    Подставим в формулу (2) выражения моментов инерции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (w = 2pn) и конечной угловой скорости (w^' = u/R, где u - скорость человека относительно пола):

    После сокращения на R ² и простых преобразований находим скорость

    Произведем вычисления:

 м/с.

 

Пример 7. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2с. Полная энергия колеблющейся частицы Е = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F_max, действующей на частицу.

    Решение. Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:

где w = 2 p /Т. Отсюда амплитуда

                                                                         (1)

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением F = - kx, где k - коэффициент квазиупругой силы; х - смещение колеблющейся точки. Максимальной сила будет при максимальном смещении x_max, равном амплитуде:

                   F_max = kA.                                               (2)

    Коэффициент k выразим через период колебаний:

                    k = m w ² = m × 4 p ² / T ².                                        (3)

    Подставив выражения (1) и (3) и (2) и произведя упрощения, получим

Произведем вычисления:

0,045 м = 45 мм;

 

Пример 8. Складываются два колебания одинакового направления, выраженные уравнениями

где А ₁ = 3 см, А ₂ = 2 см, t ₁ = 1/6 с, t ₂ = 1/3 с, Т = 2 с. Построить векторную диаграмму сложения этих колебаний и написать уравнение результирующего колебания.

    Решение. Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно векторную диаграмму строят для момента времени t = 0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме

х = A cos (w t + j), получим

    Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту

.

    Начальные фазы первого и второго колебаний соответственно равны

    Произведем вычисления:

 с^-1;

 

 

    Изобразим векторы А₁ и А₂. Для этого отложим отрезки длиной А₁ = 3 см и А₂ = 2 см под углами j₁ = 30^о и j₂ = 60^о к оси 0х. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой w и амплитудой А, равной геометрической сумме амплитуд А₁ и А₂: А = А₁ + А₂. Согласно теореме косинусов:

    Начальную фазу результирующего колебания можно также определить непосредственно из векторной диаграммы (рис. 3):

 

 

    Произведем вычисления:

см = 4,84 см;

или j = 0,735 рад.

    Так как результирующее колебание является гармоническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колебания, то его можно записать в виде

где А = 4,84 см, w = 3,14 с^-1, j = 0,735 рад.

 

Пример 9.  Вода подается в фонтан из большого цилиндрического бака и бьет из отверстия II-II со скоростью ₂=12 м/с. Диаметр  бака равен 2 м, диаметр  сечения II-II равен 2 см. Найти: 1) скорость ₁ понижения воды в баке; 2) давление , под которым вода подается в фонтан; 3) высоту уровня воды в баке и высоту струи, выходящей из фонтана.

Решение.   1. Проведем сечение I-I в баке на уровне сечения II-II фонтана. Так как площадь сечения I-I много больше площади  сечения II-II, то высоту  уровня воды в баке можно считать для малого промежутка времени постоянной, а поток – установившимся. Для установившегося потока справедливо условие неразрывности струи:

,

откуда

_,   или .     (1)

Подставив в равенство (13) значение заданных величин и произведя вычисления, найдем

₁ = 0,0012 м/с

С такой же скоростью будет понижаться уровень воды в баке. Как видно, эта скорость очень мала по сравнению со скоростью струи.

 

                                                                                        Рис. 4

2. Давление _1, под которым вода поддается в фонтан, найдем по уравнению Бернулли. В случае горизонтальной трубки тока оно имеет вид

                                      .                                           (2)

 

Учтя, что ₂ = 0 (под давлением подразумевается избыточное над атмосферным давление), из уравнения (14) получим

                                                                                        (3)

Так как _, то из равенства (3) следует

После вычислений, произведенных по этой формуле, найдем

₁ = 72 кПа.

3. Высоту  уровня воды в баке найдем из соотношения , откуда

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

= 7,35 м.

Зная скорость ₂, с которой вода выбрасывается фонтаном, найдем высоту , на которую она будет выброшена.

= 7.35 м.

Подчеркнем, что высота уровня воды в баке равна высоте, на которую поднимается фонтан воды (по правилу сообщающихся сосудов). Это замечание справедливо, если пренебречь сопротивлением воздуха.

 

Пример 10. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Движение считать установившимся.

Решение. Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости от размеров в формы тела и его скорости. Характер движения зависит также от свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса.

Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром , то число Рейнольдса определяется по формуле

                                                    ,                                             (1)

а критическое значение этого числа  _кр = 0,5.