Энергия простого гармонического движения

Кинетическая энергия K системы в зависимости от времени t такова:

   (12.3)

и потенциальная энергия есть 

                                        (12.4)                    

Полная механическая энергия системы, однако, имеет постоянное значение

                                                 (12.5)                    

 

 

15. Физический и математический маятник.

  Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина  которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α  от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая F₁, направленная вдоль нити, не учитывается, так как уравновешивается силой натяжения нити.

                                                            (13.1)                     

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

                                                                (13.2)                     

Период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.

                                                              (13.3)                        

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

При небольших углах отклонения α  физический маятник так же совершает гармонические колебания. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Период колебаний физического маятника:

16. Затухающие колебания и их характеристики.

       Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенно уменьшается. Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях силы, вызывающие затухание колебаний, пропорциональны величине скорости (например, маятник).

Предположим, что на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению, пропорциональны скорости тел и противоположно направленные, например, силы вязкого трения при малых скоростях движения тела:  . Дифференциальное уравнение движения с учетом квазиупругих сил можно записать в виде:                                           (14.1)

Введём обозначения:  и . С учетом этих обозначений дифференциальное уравнение движения принимает форму:

                                               (14.2)

Наличие квазиупругих сил позволяет сделать заключение о том, что тело будет совершать колебательное движение. Но, в отличие от собственных колебаний, энергия колебаний будет уменьшаться, расходуясь на преодоление трения. Следовательно, амплитуда колебаний должна зависеть от времени, постоянно уменьшаясь. Кроме того, силы трения тормозят движение, что должно приводить к уменьшению частоты колебаний.

                                                    (14.3)

При таком законе движения скорость тела и ускорение равны:

                      (14.4)

.   (14.5)

Если (14.2) является решением уравнения (14.1), то после подстановки в (14.2)

смещения (14.3), скорости (14.4) и ускорения (14.5) должно получиться тождество:

                         (14.6)

Очевидно, что тождество будет выполняться для любого произвольного момента времени, если

                                         (14.7)

и

                                                                    (14.8)

Из условия (14) следует, что

                                                                              (14.9)

Интегрируя это выражение, получим

                                                                          (15.1)

Постоянную интегрирования можно определить, если известно значение  амплитуды колебаний в момент времени :

                                                                                  (15.2)

Подставив значение постоянной интегрирования в общее решение (16), получим зависимость амплитуды колебаний от времени:

                                                                      (15.3)

Если теперь подставить (18) в условие (13), получим

                                                  (15.4)

т. е. в любой момент времени

                                                       

откуда значение круговой частоты колебаний определяется выражением:

                                         .                                 (15.5)

Таким образом, закон колебаний имеет вид

                                  .                                    (15.6)

Это так называемые затухающие колебания. При затухающих колебаниях амплитуда с течением времени убывает по экспоненциальному закону. В то же время отношение двух последовательных амплитуд, отстоящих друг от друга на один период колебаний, от времени не зависит и остается постоянным:

                                             (15.7)

Величина , определяющая быстроту убывания амплитуды, называется показателем затухания. Натуральный логарифм отношения амплитуд называется логарифмическим декрементом затухания.

                                                     (15.8)

круговая частота колебаний равна:

                                                      (15.9)

В зависимости от величины затухания (коэффициента трения ) возможны различные типы движения.

а) В случае сильного затухания  колебательное движение отсутствует. Тело, выведенное из положения равновесия, лишь постепенно возвращается в это положение. Такое движение обычно называют апериодическими колебаниями.

б) В случае критического затухания , т.е. .

в) Если , т.е. в случае слабого затухания, имеют место затухающие колебания.

 

17. Вынужденные колебания. Резонанс.

 

При наличии трения в колебательной системе энергия колебаний со временем убывает. Для того, чтобы в системе поддерживались незатухающие колебания, необходимо периодически восполнять потери энергии, т.е. осуществлять периодическое внешнее воздействие на систему.

Явление возрастания амплитуды колебаний при определенных значениях частоты вынуждающей силы называют резонансом. Определим резонансные значения частоты колебаний , амплитуды  и сдвига фаз между смещением и вынуждающей силой .

Резонансная частота равна

                                                         (16.1)

Резонансные значения сдвига фаз и амплитуды колебаний:

                                                 (16.2)

                                                      (16.3)

При отсутствии трения () амплитуда колебаний при резонансе обращается в бесконечность, а сдвиг фаз между смещением и вынуждающей силой равен .

Графически зависимости амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы (амплитудо - частотные характеристики) и сдвига фаз (фазово-частотные характеристики) при различных значениях  приведены на рис. 1 и 2:

Рис. 1. Амплитудно-частотные                         Рис. 2. Фазово-частотные               характеристики                                                    характеристики.

Важной характеристикой колебательной системы является ее добротность. Добротность системы пропорциональна отношению средней энергии за период колебаний к потерям энергии за тот же период.

Для механической колебательной системы ее добротность проще подсчитать как отношение резонансной амплитуды колебаний к смещению под действием постоянной силы, равной амплитудному значению вынуждающей силы :

.             (16.4)

Это выражение можно упростить, учитывая, что для колебательных систем . В этом случае добротность равна

                                               (16.5)

где  - логарифмический декремент затухания.