Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2019-11-19 | 98 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Две дискретные случайные величины и называются независимыми, если для всех пар i, j выполняется соотношение
Условные распределения двумерной случайной величины.
Плотность двумерной нормально распределенной СВ Z при
__________ √ c 11 c 22 - c 122 > 0 |
определяется формулой
f (x, y) = | __________ √ c 11 c 22 - c 122 2 π | exp{- | 1 2 | [ c 11(x - a)2 + 2 c12(x - a)(y - b) + c 22(y - b)2]}. |
Функция распределения и ее свойства.
Значение функции распределения F (x 1, y 1) равно вероятности попадания двумерной СВ (X, Y) в бесконечный квадрант D 11 с вершиной в точке (x 1, y 1)
1) F (x, y) определена для всех (x, y) О R 2, так как вероятность P { X ≤ x, Y ≤ y } определена для всех x, y О R 1.
2) 0 ≤ F (x, y) ≤ 1 для всех x, y О R 1. По аксиоме A1 и свойству 5)P для любого события выполняется 0 ≤ P (A) ≤ 1, поэтому по определению F (x, y) О [0,1].
3) F (-∞, y) = F (x,-∞) = F (-∞,-∞) = 0 для всех x, y О R 1. Например, рассматривая
Bn | Δ = | { ω: Y (ω) ≤ - n }, где n = 1, 2,..., |
можно по аналогии с доказательством свойства 3)F(x) установить, что
F (-∞, y) ≤ | l i m n →∞ | P(Bn) = P(Ж) = 0. |
4) FY (y) = F (+∞, y), FX (x) = F (x,+∞) для всех x, y О R 1, где FX (y) и FY (x) - функции распределения СВ X и Y соответственно. Это свойство можно установить, следуя доказательству свойства 3)F(x), т.к. { ω: X (ω) ≤ +∞} = { ω: Y (ω) ≤ +∞} = Ω.
5) F (+∞,+∞) = 1. В силу свойства 4)F(x,y) имеем
F (+∞,+∞) = F X (+∞) | 3)F(x) = | 1. |
6) F (x, y) - монотонно неубывающая по каждому из аргументов. Т.к. для Δ x > 0 имеем
F (x +Δ x, y) | Δ = | P{ X ≤ x +Δ x, Y ≤ y } | A3 = |
= P { X ≤ x, Y ≤ y } + P { x < X ≤ x + Δ x, Y ≤ y },
так как рассматриваемые события несовместны. По аксиоме A1 имеем F (x + Δ x, y) ≥ F (x, y). Монотонность F (x, y) по y доказывается аналогично.
7) Если F (x, y) непрерывна по x и y, то вероятность попадания СВ Z в прямоугольник D = { x 1 ≤ x ≤ x 2, y 1 ≤ y ≤ y 2} равна
|
P(D) | Δ = | F (x 2, y 2) + F (x 1, y 1) - F (x 1, y 2) - F (x 2, y 1), |
где F (xi, yj), (i, j = 1,2) - вероятности попадания СВ Z в квадранты Dij с соответствующими вершинами (xi, yj), i, j = 1,2
Условная плотность распределения и ее свойства.
Условной плотностью распределения (вероятности) непрерывной СВ X при условии, что непрерывная СВ Y с плотностью fY (y) ≠ 0 приняла значение y, называется функция
f (x | y) = | f (x, y) fY (y) | , x О R1. |
1) fx (x | y) ≥ 0, так как плотности f (x, y) ≥ 0, fY (y) ≥ 0.
2) | Fx (x | y) | Δ = | x ∫ -∞ | fX (x | y) d x, |
если плотности f (x, y), fY (y) непрерывны. В этом можно убедиться, сравнивая выражения для условной плотности и условного распределения (см. замечание Л8.Р1.З3).
3) | +∞ ∫ -∞ | fx (x | y) d x = 1 по свойствам 2)f(x|y), 4)F(x|y). |
4)
fX (x | y) = | ∂ FX (x | y) ∂ x | , |
если плотности f (x, y), fY (y) непрерывны. Действительно, по замечанию Л8.Р1.З3 имеем
fx (x | y) | Δ = | ∂ Fx (x | y) ∂ x | = | 1 fY (y) | ∂ ∂ x | x ∫ -∞ | f (x, y) d x = | f (x, y) fY (y) | . |
5) Если непрерывные СВ X и Y независимы, то fX (x | y) = fX (x). Согласно свойству 8)f(x,y) для независимых СВ X и Y имеем равенство f (x, y) = fX (x) fY (y), из которого следует по определению условной плотности, что fX (x | y) = fX (x).
6)
P{ x 1 ≤ X ≤ x 2} = | ∞ ∫ -∞ | fY (y) ( | x 2 ∫ x 1 | fX (x | y) d x) d y. |
Действительно, по свойствам 3)f(x), 6)f(x,y) и определению условной плотности имеем
P{ x 1 ≤ X ≤ x 2} = | x 2 ∫ x 1 | fX (x) d x = | x 2 ∫ x 1 | ( | ∞ ∫ -∞ | f (x, y) d y) d x = |
= | x 2 ∫ x 1 | ( | ∞ ∫ -∞ | fY (y) fX (x | y) d y) d x = | ∞ ∫ -∞ | fY (y) ( | x 2 ∫ x 1 | fX (x | y) d x) d y. |
Условные числовые характеристики
Условным математическим ожиданием является выражение:
;
Условной дисперсией называется выражение:
;
.
Корреляционные зависимости
Ковариацией (корреляционным моментом) kXY непрерывных СВ X и Y называется второй центральный смешанный момент
kXY | Δ = | M[(X - mX)(Y - mY)] = | +∞ ∫ -∞ | +∞ ∫ -∞ | (x - mX)(y - mY) f (x, y) d x d y. |
Ковариация нормированных СВ
|
* X и | * Y |
называется коэффициентом корреляции, т.е.
rXY | Δ = | k | * * XY | Δ = | M[ | * * XY | ] | 2)mx = | M[(X - mX)(Y - mY)] σXσY | Δ = | kXY σXσY | . |
Определение 3. СВ X и Y называют коррелированными, если rXY ≠ 0 (kXY ≠ 0) и некоррелированными, если rXY = 0 (kXY = 0).
Определение 4. Корреляция между СВ X и Y называется положительной, если rXY > 0 и отрицательной, если rXY < 0.
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!