Анализ нелинейных САР с использованием критерия В.М. Попова

 

Нелинейную САР, анализ которой будет выполнен с использованием критерия абсолютной устойчивости В.М. Попова, получим редактированием структурной схемы, созданной Вами на предыдущих этапах (см. рис. 2.15). Удалите линию связи между Главным сравнивающим устройством и блоком с подписью W_1(s), а также подписи под обоими Сравнивающими устройствами (удаление подписи – процедура, обратная вводу подписи…). Используя процедуры «перетаскивания» блоков, освободите место для вставки в структурную схему САР нового нелинейного блока (см. рис. 2.39).

Инициализируйте библиотеку Нелинейные звенья и перенесите в Схемное окно типовой блок Релейное неоднозначное с зоной нечувствительности. Сделайте под этим блоком поясняющую подпись (Управляющее реле) соедините его линиями связи с соседними блоками. Откройте диалоговое окно блока Управляющее реле и введите в 1-ой диалоговой строке следующие шесть параметров (через пробел): -0.02 -0.02 0.02 0.02 -1 1. Фактически нелинейный блок, добавленный в структурную, реализует однозначную нелинейность типа Релейная с зоной нечувствительности. Закройте диалоговое окно щелчком по кнопке Да.

Инициализируйте библиотеку Субструктуры и перенесите в Схемное окно еще один типовой блок В память. Измените имя переменной на новое: Вход_2.  Подсоедините этот блок к линии связи (см. рис. 2.39). 

Рис. 2.39

Детализируем выполняемое задание:

§ используя критерий абсолютной устойчивости В.М. Попова, определить скоростную эффективность интегрирующего регулятора (блок с подписью W_1(s)), при которой замкнутая нелинейная САР (см. рис. 2.39) будет абсолютно устойчивой;

§ определить тип устойчивости нелинейной САР, используя прямое моделирование переходного процесса в автономной системе при ненулевых начальных условиях;

§ выполнить расчет переходного процесса в САР (нулевые начальные условия) при подаче управляющего воздействия, равного 0.8 × 1(t).

Кратко напомним основные положения критерия абсолютной устойчивости В.М.  Попова. В этом методе нелинейная САР условно разделена на чисто линейную часть, обычно расположенную в прямой цепи, и чисто нелинейную часть, обычно расположенную в цепи обратной связи (см. рис. 2.40).

Нелинейная часть - безинерционна. Ее статическая характеристика - однозначная (без гистерезиса) и вписывается в Гурвицев угол К (0 < K < µ).

Рис. 2.40

Линейная часть должна быть устойчивой, или в особых случаях иметь не более 2-х полюсов, расположенных на мнимой оси, при всех остальных полюсах передаточной функции, расположенных в левой полуплоскости. В особых случаях должна иметь место предельная устойчивость. В.М. Попов ввел понятие видоизмененной АФЧХ, обозначаемой обычно  и определяемой соотношениями:

,

где - действительная и мнимая части АФЧХ линейной части, соответственно.

Существуют аналитическая и геометрическая формулировки абсолютной устойчивости по В.М. Попову.

Более наглядной является геометрическая формулировка:

Для того, чтобы имела место абсолютная устойчивость в угле [0; К] в основном и в угле [e; К] особых случаях, достаточно, чтобы в плоскости  можно было выбрать прямую, проходящую через точку действительной оси с абсциссой –1/K так, чтобы годограф  весь лежал строго справа от этой прямой и чтобы, кроме того, в особых случаях имела место предельная устойчивость.

Проверим, удовлетворяет ли нелинейная часть нелинейной САР (созданной Вами) приведенным выше требованиям. Во-первых, внесенное Вами в структурную схему типовое нелинейное звено «исполняет роль» нелинейной части САР и, несомненно, является безинерционным, во-вторых, его статическая характеристика (с введенными Вами его параметрами) не имеет гистерезиса, т.е. является однозначной (см. справку по данному блоку), и, в-третьих, статическая характеристика вписывается в Гурвицев угол [0; 50] (т.к. 1/ 0.02 = 50 = К).

Линейная часть САР, расположенная между точками подключения переменных Вход_2 и Выход, соответствует варианту особого случая, так как она имеет одиннулевой полюс (за счет блока Интегратор) при всех остальных полюсах, расположенных в левой полуплоскости (см. рис. 2.35).

Для линейной части с найденным Вами ранее «оптимальным» значением скоростной эффективности привода (k₁ = 0.35) существует предельная устойчивость, т.е. при замыкании линейной части отрицательной жесткой обратной связью с бесконечно малым коэффициентом усиления система несомненно будет устойчивой. Такое уверенное резюме основано на том, что при замыкании линейной части даже единичной обратной связью система является устойчивой (см. рис. 2.25), а при меньшем коэффициенте усиления в цепи Главной обратной связи – тем более.

Приведите нелинейную САР к автономной. Для этого установите нулевую высоту «ступеньки» в диалоговом окне блока Управляющее воздействие.

Разомкните цепь Главной обратной связи, установив в диалоговом окне Главного сравнивающего устройства нулевое значение 2-го весового коэффициента.

Выполните щелчок «мышью» по кнопке Старт (структурная схема разомкнутой нелинейной САР инициализировалась) и затем по кнопке Стоп (расчет прерван).

Посредством опции Частотный анализ в командном меню Анализ откройте диалоговое окно Параметры частотного анализа и заполните его. Для этого переместите курсор на кнопку Годографов и выполните щелчок левой клавишей «мыши»: откроется графическое окно с заголовком Годографы и изменится форма диалогового окна. Переместите курсор на крайнюю левую кнопку с символом «+» и выполните два щелчка левой клавишей «мыши»: в таблице появятся две новые строки с номерами 1 и 2. Переместите курсор на ячейку Входы 1-ой строки, выполните щелчок левой клавишей «мыши», нажмите на появившуюся в этой ячейке таблицы специальную кнопку и из списка переменных выберите Вход_2. Повторите аналогичные действия для ячейки Входы 2-й строки таблицы.

По аналогии с предыдущим заполните 2-й и 3-й столбцы таблицы (см. рис. 2.41).

Рис. 2.41

Переместите курсор на кнопку Расчет и выполните щелчок левой клавишей «мыши»: в графическом окне начнется отображение результатов расчета и заголовок окна изменится на новый – Годограф Попова, Годограф Найквиста (см. рис. 2.42).

Используя опцию Свойства меню графического окна (щелчок правой клавишей «мыши» в поле графического окна) измените в диалоговом окне Настройка параметры осей координат, имя и тип линии годографа Найквиста (синяя сплошная на рис. 2.42) на пунктирный.

 

Рис. 2.42

Для изменения имени и типа линии годографа Найквиста переместите курсор в диалоговом окне Настройка (см. рис. 2.43) на специальную кнопку (в поле которой текст График 1), выполните щелчок «мышью» и из списка выберите График 2. Удалите текст График 2 и введите новый текст Годограф Найквиста. Переместите курсор на специальную кнопку, расположенную чуть ниже, выполните щелчок «мышью» и далее выберите новый тип линии – пунктирный.

Аналогичным образом можно присвоить уникальное имя и линии с именем («по умолчанию») График 1 на новое – Годограф Попова. Измените параметры осей координат, как это выполнено в диалоговом окне Настройка на рис. 2.44.

                        

Рис. 2.43                                                                   Рис. 2.44

Переместите в диалоговом окне Настройка курсор на кнопку Да и выполните щелчок левой клавишей «мыши»: преобразованное графическое окно с линиями годографа Попова (черная сплошная) и годографа Найквиста (синяя пунктирная) будут иметь вид, аналогичный рис. 2.45.

Одновременное отображение графиков годографа Найквиста и видоизмененного годографа Попова (см. рис. 2.42 и рис. 2.45) показывает, что при одном и том же значении w вещественные части у обоих годографов одинаковые. Поэтому точки пересечения линий этих годографов с осью абсцисс совпадают. Это позволяет во многих случаях использовать для анализа устойчивости нелинейных САР не видоизмененный годограф, а годограф Найквиста…

Рис. 2.45

При w ® 0 годограф Попова стремится в точку с координатами (b₁ – a_{1 ×} b₀, - b₀), где коэффициенты  a₁ , b₀ и b₁  - коэффициенты передаточной функции линейной части САР, определяемой выражением

.

Выясним, можно ли провести через точку с координатами (-1/K, 0), где К = 50 – верхняя граница Гурвицева угла, прямую так, чтобы годограф Попова лежал строго справа от этой прямой. Из рис. 2.45 видно, что точка с абсциссой –0.02 лежит внутри годографа Попова и любая прямая, проведенная через эту точку, пересечет линию годографа Попова. Этот факт свидетельствует о том, что рассматриваемая автономная нелинейная САР (структурная схема которой получена вставкой дополнительного нелинейного звена в структурную схему устойчивой линейной САР) не будет абсолютно устойчивой …

Проверим это утверждение прямым моделированием. Закройте диалоговое окно Параметры частотного анализа. Замкните Главную обратную связь и измените начальные условия в блоке с подписью W_2(s) на новые: 0.1 0 (через пробел).

Выполните щелчок по командной кнопке Продолжить: в графическом окне (блок с подписью График y(t)) будут отображены результаты расчета. Вид переходного процесса показывает, что в автономной замкнутой нелинейной САР при ненулевых начальных условиях устанавливается режим приблизительно гармонических автоколебаний, амплитуда которых ~ в 25 раз превышает зону нечувствительности в блоке Управляющее реле (± 0.02).

Рис. 2.46

Из графика годографа Попова следует (см. рис. 2.45): чтобы замкнутая нелинейная САР стала устойчивой, необходимо либо уменьшить ~ в 20 раз коэффициент скоростной эффективности (k₁) в интегрирующем регуляторе, либо в такое же количество раз уменьшить высоту «ступеньки» в Управляющем реле.

Реализуйте первый вариант. Откройте диалоговое окно Интегратора и введите в 1-ой диалоговой строке 0.35/20 (0.35 делить на 20). Такой тип ввода параметра звена основан на том, что диалоговые строки всех типовых блоков «распознают» ~30 простейших математических операций (и операцию Деление в том числе…). Закройте диалоговое окно и щелкните «мышью» по кнопке Продолжить …

По завершении расчета 2-х кратным щелчком левой клавиши «мыши» в поле графика выполните автомасштабирование: вид графика (см. рис. 2.47) показывает, что с новым значением k₁ автономная нелинейная САР асимптотически устойчива. Начальное отклонение (0.1) относительно быстро устраняется и САР асимптотически возвращается в свое равновесное состояние (y_стац = 0).

Рис. 2.47

Проверим вышеприведенный вывод об абсолютной устойчивости нелинейной САР, полученный на основании прямого моделирования переходного процесса в автономной системе при ненулевых начальных условиях…

Возвратите нулевые начальные условия в блоке W_2 (s). Разомкните Главную обратную связь.

Выполните щелчок «мышью» по кнопке Старт (структурная схема разомкнутой нелинейной САР инициализировалась) и затем по кнопке Стоп (расчет прерван).

Используя опцию Частотный анализ из меню Анализ, откройте диалоговое окно Параметры частотного анализа и затем выполните в нем щелчок «мышью» по кнопке Расчет: произойдет расчет годографов при скорректированном значении k₁.

Используя опцию Свойства графического окна (щелчок правой клавишей «мыши») измените параметры осей координат так, как это выполнено на рис. 2.48. Точка пересечения годографа Попова с осью абсцисс расположена правее точки с абсциссой -1/К = -0.02 (см. рис. 2.48).

Уточним, на сколько правее расположена точка пересечения годографа Попова с осью абсцисс. Переместите курсор в поле графика, выполните щелчок правой клавишей «мыши» и в появившемся меню выберите опцию Список: графическое окно сменится на таблицу результатов расчета. Используя вертикальную «прокрутку», найдите строку, наиболее близко соответствующую координатам пересечения годографа Попова с осью абсцисс, т.е. необходимо найти в таблице место, где мнимая часть (График 1) меняет знак с минуса на плюс. После выполнения Вами поиска вид окна с таблицей будет иметь вид, подобный рис. 2.49. Из таблицы следует, что при смене знака мнимой части вещественная часть (Re) равна ~ -0.01977, т.е. больше, чем –0.02. Поэтому через точку пересечения несомненно можно провести прямую, относительно которой годограф Попова будет расположен строго справа.

Резюме: скорректированная нелинейная замкнутая САР абсолютно устойчива.

Рис. 2.48                                                            Рис. 2.49

Выполним последний этап текущего задания: расчет переходного процесса при подаче управляющего воздействия u(t) = 0.8 ×1(t).

Переместите курсор в поле таблицы, выполните щелчок правой клавишей «мыши», в появившемся меню выберите опцию Список: таблица сменится на график годографов. Закройте диалоговое окно Параметры частотного анализа (щелчок по кнопке Да): на экране монитора снова Схемное окно.

Замкните Главную обратную связь (в диалоговом окне Главного сравнивающего устройства 2-ой весовой коэффициент должен быть равен -1).

Измените конечное время расчета на 200 с (щелчок «мышью» по командной кнопке Параметры расчета).

Выполните расчет переходного процесса (щелчок «мышью» по командной кнопке Продолжить). График переходного процесса (см. рис. 2.50) свидетельствует, что нелинейная САР отработала управляющее воздействие, однако время переходного процесса значительно больше (~ 80 с), чем в демонстрационно-ознакомительной задаче при k₁ = 0.35 (менее 20 с). 

Выполните увеличение коэффициента скоростной эффективности регулятора k₁  в 2 раза (в 1-ой диалоговой строке блока Интегратор введите 0.35/10).

Выполните щелчок «мышью» по командной кнопке Продолжить … График переходного процесса в этом случае (см. рис. 2.51) свидетельствует, что в нелинейной САР установились высокочастотные (приблизительно гармонические) автоколебания с амплитудой ~ 0.05, что в 2.5 раза превышает ширину зону нечувствительности в Управляющем реле.

Резюме: нелинейная САР «плохо» отработала управляющее воздействие потому, что при таком значении k₁  (0.35/10) не выполняются условия критерия абсолютной устойчивости В.М. Попова (точка –1/K расположена внутри годографа Попова).

 

Рис. 2.50                                                            Рис. 2.51

Сохраните данную задачу (нелинейную САР) под новым оригинальным именем, например, Нел_САР. mrj (посредством опции Сохранить как … из меню Файл).

На этом завершим знакомство с процедурами работы в режиме АНАЛИЗ.