Условия необходимые для магнитной левитации.

После анализа магнитной левитации становится понятным, что необходимо создать такие условия, в которых все силы будут скомпенсированы (рис.3). Условием равновесия (ускорение а=0) согласно второму закону Ньютона будет

Однако ввиду теоремы Ирншоу и Лагранжа-Дерихле создать устойчивое равновесие таким путём не представляется возможным. Для устойчивого положения тела в магнитной системе следует создать магнитную яму (рис.4), где потенциальная энергия имеет локальный минимум. Необходимыми условиями для левитации в этом смысле являются: наличие силы, компенсирующие силу тяжести, и наличие возвращающей силы, обеспечивающей устойчивость объекта.

Рис.3. Условия равновесия тела в магнитной системе

Согласно теореме Ирншоу, являющейся прямым следствием закона Гаусса, левитация статических объектов в статическом электромагнитном поле в вакууме невозможна. Теорема применима не только к точечным зарядам, но и к протяженным упругим телам и говорит, что их свободный подвес в электростатическом, магнитостатическом и гравитационном поле будет всегда неустойчив.   

Рис.4. Магнитные ямы

На практике эта проблема решается путём стабилизации не только в вертикальной плоскости, но и в горизонтальной плоскости. Обычно это решается путём организации обратной связи в электромагнитной системе. Датчики следят за положением тела в пространстве и при отклонении от желаемой точки равновесия, параметры системы изменяются, возвращая тело в заданную точку. Такой подход по сути не противоречит теореме Ирншоу, поскольку в данном случае система не статическая. В нашей работе магнитное поле создаётся постоянными магнитами, а магнитная сила возникает между несколькими магнитами. Т.е. нашей задачей является создание достаточно широкой полосы устойчивой левитации в магнитостатическом поле. В этом случае одна степень свободы останется неуравновешенной [5]. Мы попытаемся сделать, чтобы наше тело двигалось в горизонтальной плоскости вдоль магнитной дороги.

Постоянные магниты широко используются там, где необходимо создать некоторую механическую силу или момент, или произвести некоторую механи­ческую работу [6]. Применение постоянных магнитов в та­ких системах имеет особую специфику, связанную с ус­ловиями преобразования магнитной энергии в меха­ническую.

В  [6] рассмотрена система в виде подковооб­разного магнита и якоря из ферромагнитного материала (рис.5.).

Рис.5. Подковообразный магнит и якорь.

Из этого рисунка можно сделать вывод, что механическая сила постоянных магнитов зависит от того, какой зазор будет между предметом и самим магнитом. С уменьшением зазора сила будет возрастать, соответственно, с увеличением убывать.

Магнитная энергия, сосредоточенная в рабочих зазорах и окружающем пространстве, выражается урав­нением

,

где - максимальная окружающая энергия, B - магнитная индукция,    H – напряженность  тока в постоянных магнитах,  – объем постоянного магнита.

За начало отсчета принимают значение энергии , сосредоточенной в постоянном магните, при H=0 и B= . Тогда полный запас магнитной энергии в системе будет:

                              ,

где  – полная магнитная энергия, - максимальная окружающая энергия,  – энергия сосредоточенная в постоянном магните,  – начальная энергия в постоянном магните,  – максимальная индукция.

При перемещении якоря под действием сил магнит­ного притяжения совершается некоторая механическая работа. Так как никаких иных преобразований энергии не происходит, механическая энергия производится за счет убыли магнитной энергии в системе, т. е.

 ,

где  – дифференциал полной механической энергии,  – дифференциал полной магнитной энергии.

Тогда получаем следующее выражение для опреде­ления силы магнитного притяжения, действующей на якорь:

 ,

где  – дифференциал полной механической энергии, dx – дифференциал зазора,  – дифференциал полной магнитной энергии, или

.

Сила, действующая на якорь при нулевом зазоре, равна:

,

где  – сила при минимальном зазоре,  – квадрат площади поперечного сечения,  – постоянная,  – площадь поверхности соприкосновения якоря с постоянным магнитом

Сила будет выражаться в ньютонах, если все величины будут выражены в системе СИ

Рис.6. График зависимости силы от зазора. А, Б – отдельные магниты; В, Г – постоянные магниты с магнитопроводом

Рисунок 6 показывает четыре типичные тяговые характеристики для систем с постоянными магнитами, имеющими различную форму. С точки зрения оценки этих систем и их тяговых характеристик особое значение имеют две точки: сила при практически нулевом рабочем зазоре и точка, для которой произведение силы на за­зор (условная полезная работа ) имеет максималь­ное значение.

Для зазора с размерами S₂, l₂ энергия поля равна

 

Изменение длины зазора l₂ приведёт к изменению энергии поля и потре­бует приложения силы

Сила F является силой притяжения, создаваемой магнитом. Как следует из формулы она определяется величиной магнитной индукции в воздушном за­зоре. Расчет магнитной индукции аксиально-намагниченных цилиндрических магнитов с радиусом (r) и длиной (l), в точке расположенной на расстоянии (d) от поверхности, вдоль оси производится по формуле, рекомендованной английской фирмой Dexter

,

где B_r зависит от материала магнита. Для используемых в работе магнитов B_r = 14200 Гс.

Сборка модели

При проведении опыта использовалась обычная игрушечная машинка и магниты с силой притяжения на разрыв 10 Н (рис.7). Диаметр магнитов 0,8 см. Магниты устанавливались на машинку и на деревянное полотно, с помощью клея. Установка на машинку была произведена, как показано на рисунке 8. На деревянном полотне магниты крепились в два параллельных ряда на таком же расстоянии, как и магниты на машинке.

Рис. 7. Магнит и его поле       Рис. 8. Расположение магнитов  Рис.9. Левитация машинки

Для изучения структуры магнитных полей использовалась металлическая стружка. Исследование показало, что магнитное поле магнитов сосредоточено в очень узкой области, что усложняет создание леветирующей модели. Такой способ «подвесить машинку» не дал желаемого результата, так как слишком велика неоднородность полей и найти точку равновесия практически невозможно, поэтому было решено использовать стенки для устойчивости машинки (рис.9). Таким образом, удалось стабилизировать модель по всем трем координатным осям. Однако, такой результат нельзя считать положительным, потому что при  использовании стенок увеличивается  сила трения, и, соответственно, уменьшается КПД. После нескольких опытов с расположением магнитов на машинке удалось добиться, что модель удерживается в горизонтальной плоскости только одной стенкой. Причина неудач заключается в сложности и неоднородности магнитных полей из-за их круглой формы.