Уравнение неразрывности (сплошности)

Рассмотрим установившееся движение несжимаемой жидкости в потоке переменного сечения (рис. 4.13). Выберем два произвольных сечения – 1-1 и 2-2, нормальных к оси потока, обозначив соответствующие площади через S₁ и S₂, средние скорости движения через v_{ср1 и} v_ср2 и расходы потока через Q₁ и Q₂. Рассмотрим заключённый между ними участок потока.

Рисунок 4.13 – Схема к выводу уравнения неразрывности

для потока жидкости

Основываясь на законе сохранения массы, на предположении о сплошности (неразрывности) течения для установившегося движения потока несжимаемой жидкости, ограниченного непроницаемыми стенками (т.е. отсутствуют приток и отток жидкости через ограничивающие его стенки) можно утверждать, что объемный расход в сечении 1-1 равен объемному расходу в сечении 2-2.

.

Но т.к. сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то можно записать, что:

                               .                    (4.8)

Это уравнение называют уравнением постоянства расхода. Из него следует, что в любом сечении потока при установившимся движении несжимаемой жидкости расход её постоянен.

Выражая расход жидкости в сечениях через среднюю скорость, получим

             ,       (4.8 ´)

Уравнение (4.8 ´) называют уравнением неразрывности потока. Оно показывает, что при установившемся движении несжимаемой жидкости произведение площади живого сечения на среднюю скорость потока является постоянной величиной.

Из уравнения неразрывности потока жидкости для двух сечений вытекает следствие:

                                                                                                   (4.9)

при установившемся движении жидкости средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений.

Уравнение Д. Бернулли

Уравнение Бернулли устанавливает связь между основными параметрами движения: давлением, скоростью в живом сечении струйки или потока и геометрическим положением живого сечения струйки или потока жидкости, и отражает закон сохранения механической энергии.

Уравнение Бернулли выводится в три этапа:

1) для элементарной струйки идеальной жидкости;

2) для элементарной струйки реальной жидкости;

3)  для потока реальной жидкости.

Каждое из последующих уравнений выводится на основе предыдущего. Вместе с тем каждое уравнение имеет соё назначение и круг решаемых задач.

                                      .                             (4.15)

Полученное уравнение называют уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости.

Трехчлен вида

                                                  

называют полным напором.

Уравнение Бернулли (4.15), записанное для двух произвольно взятых сечений струйки, и выражает равенство полных напоров H в этих сечениях.

С геометрической точки зрения все члены уравнения Бернулли, имея линейную размерность, могут характеризоваться как высоты или напоры:

z представляет собой геометрическую высоту, или геометрический напор, т.е. измеряет высоту расположения движущейся частицы жидкости в данном сечении над некоторой горизонтальной плоскостью - плоскостью сравнения 0-0 (рис. 4.15).

 

Рисунок 4.15 – К понятию геометрической высоты

- так же как и в гидростатике, называется пьезометрической высотой, или пьезометрическим напором, т.е. представляет высоту столба жидкости, уравновешивающуюся давление р в данной точке.

Установив в данном сечении элементарной струйки пьезометр (рис. 4.16), можно получить наглядное представление о величине давления, соответствующей высоте поднятия жидкости в этом пьезометре.

Рисунок 4.16 - К понятию пьезометрической высоты

   - скоростная высота, или скоростной напор.

Более наглядное представление о «скоростном напоре» можно получить, установив в рассматриваемом сечении трубку Пuто –открытую с обоих концов прозрачную трубку, изогнутую под углом 90⁰, у которой нижний загнутый конец помещается в центр сечения трубопровода так, чтобы отверстие трубки располагалось против течения (рис. 4.17). Другой конец трубки при этом перпендикулярен поверхности воды и выступает из неё на некоторую высоту.

Рисунок 4.17 – К понятию скоростного напора

Итак, геометрический смысл уравнения Бернулли можно сформулировать так: при установившемся движении идеальной жидкости сумма трёх напоров (высот) – геометрического, пьезометрического и скоростного вдоль струйки остаётся неизменной.

Таким образом, мы имеем в каждом сечении струйки жидкости сумму трех напоров: гидростатического, геометрического и скоростного, т.е. полный напор, а уравнение Бернулли показывает, что полный напор в любом сечении элементарной струйки есть величина постоянная.

Энергетическая (физическая) сущность уравнения Бернулли заключается в том, что оно выражает закон сохранения энергии элементарной струйки

                                      .               (4.16)

Левая часть уравнения Бернулли представляет собой полную удельную энергию элементарной струйки в сечении 1-1, которая равно полной удельной энергии элементарной струйки в сечении 2-2 и является величиной постоянной (рис. 4.18).

Удельной энергией называют энергию, отнесённую к единице веса жидкости.

Рассмотрим, что представляют собой все члены уравнения Бернулли с физической или с энергетической точки зрения:

 и  – удельная потенциальная энергия положения, величина которой зависит от положения центра тяжести рассматриваемого сечения над плоскостью сравнения 0-0;

 и  – удельная потенциальная энергия давления в соответствующих сечениях, величина которой зависит от высоты столба жидкости в пьезометре, находящемся над центром тяжести рассматриваемого сечения струйки;

 и  – удельная кинетическая энергия (энергия движения) элементарной струйки в сечениях 1-1 и 2-2.