Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Дисциплины:
2019-09-17 | 129 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Векторным произведением двух векторов и называется новый вектор , удовлетворяющий трем условиям:
1. Длина вектора числена равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е где - угол между векторами и .
2. Вектор перпендикулярен векторам и , т.е ,
3. Кратчайший поворот от вектора к вектору вокруг вектора совершается против часовой стрелки.
При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак.
Если два вектора и коллинеарны, то векторное произведение равно 0.
Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителей.
Векторное произведение ортов: векторное произведение одноименных ортов равно 0, т.е. , т.к. одноименные орты коллинеарны.
Если написать последовательность единичных векторов i, j, k, i, j, то векторное произведение двух любых смежных ортов дает следующий единичный орт со знаком плюс; если же порядок сомножителей изменен, т.е. последовательность рассматривается справа налево, то третий единичный вектор берется со знаком минус. , и .
Векторное произведение между координатами: пусть даны два вектора и . Тогда векторное произведение двух векторов можно вычислить по формуле:
правую часть последнего выражения можно записать с помощью определителя третьего порядка:
Эта формула является удобной записьювекторного произведения в координатах.
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Из определения векторного произведения следует, что площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна модулю векторного произведения:
|
в частности, площадьтреугольника
Одним из физических приложений векторного произведения является нахождениемомента силы, возникающего при вращении твердого тела, закрепленного в некоторой точке А, под действием силы , приложенной в точке В:
Пример.
1. Даны векторы и . Найти координаты векторного произведения.
Решение:
2. Найти площадь треугольника АВС, где А (-2, 1, 0); В (3,4, 8); С (-1,3,6).
Решение
Площадь треугольника, построенного на векторах и , равна
Найдем координаты векторов:
=(-1+2; 3-1; б-0)=(1,2,6) =(3-(-2); 4-1; 8-0)=(5, 3, 8)
их векторное произведение равно:
Итак, или
Определение. Смешанным произведениемтрех векторов называется их векторно-скалярное произведение, обозначают:
Смешанное произведение трех векторов численно равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах:
.
В частности, объем пирамиды, построенной на векторах равен
Смешанное произведение векторов , , равно 0, тогда и только тогда когда эти векторы компланарны.
Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке его сомножителей. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный.
.
Смешанное произведение между координатами: е сли векторы , , заданы своими координатами , , , то смешанное произведение векторов , , определяется по формуле:
Пример. Найти объем пирамиды ABCD, где А(2, 0, 1); В(3, -1, 4); C (0,-5,1); D (0,0,4).
Решение:
Объем пирамиды равен: .
Найдем координаты векторов:
тогда смешанное произведение:
Следовательно, объем пирамиды:
.
Примеры решения типовых задач
№ 1. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:
1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;
2) найти угол между векторами ;
3) найти площадь грани ABC;
4) найти объем пирамиды ABCD.
Решение:
1. Найдем координаты векторов :
; ;
,
Тогда по формуле (3.2) разложение векторов примет вид:
; ; ,
По формуле (2.1.) вычислим модули векторов :
|
; ;
.
2. Для нахождения косинуса угла между векторами воспользуемся формулой (3.4.), для этого найдем скалярное произведение векторов по формуле (3.3.)
3.Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах . Т.к. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах сомножителей, найдем векторное произведение:
Найдем модуль векторного произведения:
4. Объем параллелепипеда построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение .
Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб.ед., а объем заданной пирамиды А BCD равен:
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!