Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2019-08-04 | 142 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
j = N(l, m) Е(e);
тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (13) и разделяя функции независимых переменных, получим систему уравнений (k – произвольное число, которое будем считать положительным и целым)
Первое уравнение имеет решение: Е = A cos k e + В sin k e;
второе, если положить N = L(l) М(m) и разделить переменные, может быть приведено к системе уравнений
имеющей в качестве частных решений так называемые присоединенные функцииЛежандра[4]
(14)
Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала скоростей возмущенного движения было ограниченным при l ® ¥, получим общее выражение потенциала скоростей
здесь последнее слагаемое представляет собой потенциал скоростей набегающего на тело однородного потока со скоростью на бесконечности V ¥, направленной параллельно оси Оу (Приложение 1, б).
Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала
An1 = с V ¥ С n, An2 = An3 =… = 0, Bn1 = Вn2 =… = 0,
т.е. довольствуясь решением, содержащим cos e, и, кроме того, представляя у по формулам, помещенным в начале § 1, как функцию l, m и e
получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набегающего со скоростью V ¥ вдоль оси Оу потока:
или, используя определение присоединенных функций Лежандра (14),
(15)
Для определения постоянных Сn, как и ранее, следует составить граничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом случае неосесимметричного движения функция тока отсутствует и приходится непосредственно вычислять нормальную скорость Vn = ¶ j / ¶ n и приравнивать ее нулю.
Несколько облегчая вычисления, выпишу в выбранной системе координат (l, m) условие, что при непроницаемости поверхности обтекаемого тела элемент дуги его меридианного сечения параллелен составляющей скорости в меридианной плоскости (условие скольжения жидкости по поверхности тела):
|
или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проекций градиента потенциала на направления этих линий,
Отсюда вытекает искомое граничное условие
(16)
в котором l является заданной функцией m согласно уравнению контура обтекаемого тела в меридиональной плоскости. Составляя частные производные ¶ j / ¶ l, ¶ j / ¶ m и используя (15) получаю:
Заменив входящие сюда выражения вторых производных на основании дифференциальных уравнений функций Рn и Qn
получим после простых приведений
Подставляя эти выражения производных в (16) и используя ранее выведенные значения коэффициентов Ламе
получим после очевидных сокращений
Имея в виду, что на поверхности тела l представляет заданную функцию от m, перепишем граничное условие в окончательной форме так:
(17)
3. Продольное и поперечное обтекание удлиненных тел вращения
В большинстве практических приложений приходится иметь дело с телами вращения, удлинение которых, т.е. отношение длины к максимальной толщине, довольно велико (порядка 8–12). Это объясняется хорошей обтекаемостью такого рода тел реальной жидкостью.
Расчет обтекания тел вращения большого удлинения может быть произведен приближенным методом. Изложим его основную идею[5].
Основным затруднением в решении задачи является определение коэффициентов Аn при продольном и Сn – при поперечном обтекании тела. Чем проще будет связь между l и m, определяющая форму контура в меридианной плоскости, тем меньше коэффициентов Аn, Сn можно брать в разложениях потенциала скоростей. Самая простая связь представляется равенством l = const, т.е. случаем обтекания эллипсоида. Отсюда следует вывод: чем ближе исследуемое тело по форме к эллипсоиду, тем легче может быть разрешена задача. В связи с этим решим, прежде всего, вопрос о выборе положения начала координат на продольной оси тела. Замечу, что фокусы удлиненного эллипсоида вращения находятся посередине отрезка, соединяющего точки пересечения большой оси и поверхности эллипсоида с центром кривизны поверхности в этих точках. Начало координат следует выбирать совпадающим с серединой отрезка, соединяющего фокусы; при таком выборе начала координат, чем ближе обтекаемое тело к эллипсоиду, тем меньше уравнение контура будет отличаться от простейшего равенства l = const.
|
Если обтекаемое тело имеет большое удлинение, то поверхность его располагается в области значений l, мало превышающих значение l = сhx = 1 или x = 0, соответствующее отрезку оси Oz, соединяющему фокусы. Рассматривая значения функций Qn(l) и dQn/d l при l, лишь немного превышающих единицу, убедимся, что при достаточно малых x будут иметь
место равенства
(18)
где gn и dn – малые по сравнению с первыми членами поправки. Замечательно, что согласно равенствам (18), при малых x все функции Qn и dQn/d l в первом приближении не зависят от индекса n. Основное граничное условие продольного обтекания (9) в первом приближении будет, согласно (18), иметь вид
(19)
где производная dPn/d m представляет известную функцию величины m = cos h. Ограничивая сумму некоторым фиксированным числом членов n = m, можно, пользуясь выражениями полиномов Лежандра (из § 1), написать тождество
(20)
из которого можно вывести выражения коэффициентов An через an. Так, например, при m = 5 имеем
A1 = a1 – 3/5 a3 + 3/35 a5, A2 = a2 – 9/7 a4, A3 = 8/5 a3 – 32/15 a5,
A 4 = 16/7 a 4, A 5 = 64/21 a 5.
Представив контур меридианного сечения приближенным тригонометрическим разложением в эллиптических координатах
(21)
определим тем самым числа аn, а уже после этого, согласно тождеству (20), и величины коэффициентов An, что и дает первое приближение к решению задачи об осесимметричном продольном обтекании удлиненного тела вращения. Если удлинение обтекаемого тела велико, то указанное приближение оказывается для практики достаточным. При желании можно учесть в формулах (18) остаточные члены gn и dn, что приведет ко второму и следующим приближениям.
|
Аналогичным путем решается вопрос о поперечном обтекании удлиненного тела вращения. При плавности контура l изменяется в пределах от 1 + ½ x2min до 1 + ½ x2max; при этом m остается в пределах ±1. Таким образом, можно считать, что производная d l /d m имеет порядок x2max, т.е. сравнительно мала. Отсюда следует, что величина
имеет порядок единицы. Рассматривая граничное условие (17) видим, что стоящая в квадратной скобке слева величина
мала по сравнению с величиной . Действительно,
Таким образом, в квадратной скобке в левой части равенства (*) первый одночлен имеет при малых x порядок 1/x2, второй – ln 1/x.
Из приведенного рассуждения следует, что на поверхности удлиненного тела вращения, где x мало, точное граничное условие поперечного обтекания (17) может быть заменено на приближенное
(22)
Сравнивая это граничное условие с приближенным граничным условием продольного обтекания (19), видим, что между искомыми коэффициентами An и Cn существует простое соотношение
Cn = -2 An / n (n +1). (23)
В первом приближении обе задачи – продольного и поперечного обтекания – решаются одновременно и сравнительно легким путем. При обычных значительных удлинениях тел вращения вполне можно довольствоваться первым приближением.
Определив коэффициенты An и Cn, найду выражения потенциалов и компонент скоростей для продольного и поперечного обтеканий, после чего уже нетрудно разыскать и распределение скоростей и давлений по поверхности заданного тела вращения или вне его при любом угле. Отмечу, что при всех вычислениях на поверхности удлиненного тела и вблизи нее можно пользоваться для Qn и dQn/d l приближенными выражениями (18). Само собой разумеется, что при удалении от поверхности обтекаемого тела l возрастает и формулы (18) становятся все менее и менее точными.
|
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!