Свойства уравнения Кортевега - де Фриза

4.1. Краткий обзор результатов по уравнению КдФ.Задача Коши для уравнения КдФ при различных предположениях отно­сительно u ₀ (х) рассматривалась во многих работах [10-17]. Задача о существовании и единственности решения с условиями периодично­сти в качестве краевых условий была решена в работе [10] с помощью метода конечных разностей. Позже, при менее сильных предположе­ниях, существование и единственность были доказана в статье [11] в пространстве L^¥(0,T,H^s(R¹)), где s>3/2, а в случае периодической задачи - в пространстве L^¥(0,T,H^¥(C))где С - окружность дли­ны, равной периоду, на русском языке эти результаты представлены в книге [12].

Случай, когда не предполагается какая-либо гладкость началь­ной функции u ₀ Î L ₂ (R ¹), рассмотрен в работе [13]. Там вводит­ся понятие обобщенного решения задачи (3.2),(3.4), устанавливает­ся существование обобщенного решения и(t,х) Î L ^¥ (0, T, L ² (R ¹)) в случае произвольной начальной функции u₀ Î L ₂ (R ¹); при этом и(t,х) Î L ² (0,Т;H^-1(- r, r)) для любого r>0, и если для некото­рого a > 0 (x ^a u ₀ ² (x)) Î L ¹ (0,+ ¥), то

 

(4.1)

 

Используя обращение линейной части уравнения при помощи фун­даментального решения G (t,x) соответствующего линейного опера­тора , вводится класс корректности задачи (3.2),(1.4) и уста­навливаются теоремы единственности и непрерывной зависимости решений этой задачи от начальных данных. Также исследуются во­просы регулярности обобщенных решений. Одним из основных ре­зультатов является достаточное условие существования непрерыв­ной по Гельдеру при t > 0 производной   в терминах существования моментов для начальной функции, для любых k и l.

Задача Коши для уравнения КдФ исследовалась также методом обратной задачи рассеяния, предложенном в работе [14]. При по­мощи этого метода были получены результаты о существовании и гладкости решений при достаточно быстро убывающих начальных функциях, причем в [15] установлен, в частности, результат о раз­решимости задачи (3.2),(3.4) в пространстве C ^¥ (О, Т; S(R¹)).

Наиболее полный обзор современных результатов по уравнению КдФ можно найти в [16].

4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ. Как известно, для уравнения КдФ существует бесконечное число законов сохране­ния. В работе [17] приводится строгое доказательство этого факта. В работах [11], [12] различные законы сохранения применялись для до­казательства нелокальных теорем существования решения задачи (3.2),(3.4) из соответствующих пространств.

Продемонстрируем вывод первых трех законов сохранения для за­дачи Коши на R¹ и периодической задачи.

Для получения первого закона сохранения достаточно проинте­грировать уравнения (3.2) по пространственной переменной. Полу­чим:

отсюда и следует первый закон сохранения:

Здесь в качестве a и b выступают +¥ и -¥ для задачи Коши и границы основного периода для периодической задачи. Поэтому второе и третье слагаемые обращаются в 0.

(4.2)

Для вывода второго закона сохранения следует умножить уравне­ние (3.2) на 2 u (t,x) и проинтегрировать по пространственной пере­менной. Тогда, используя формулу интегрирования по частям полу­чим:

но в силу "краевых" условий все слагаемые кроме первого опять сокращаются

 

Таким образом второй интегральный закон сохранения имеет вид:

             (4.3)

 

Для вывода третьего закона сохранения нужно умножить наше уравнение (3.2) на (и² + 2 b и_хх), таким образом получим:

После применения несколько раз интегрирования по частям тре­тий и четвертый интегралы сокращаются. Второе и третье слагае­мые исчезают из-за граничных условий. Таким образом из первого интеграла получаем:

что эквивалентно

(4.4)

А это и есть третий закон сохранения для уравнения (3.2). Под физическим смыслом первых двух интегральных законов со­хранения в некоторых моделях можно понимать законы сохранения импульса и энергии, для третьего и последующих законов сохране­ния физический смысл охарактеризовать уже труднее, но с точки зрения математики эти законы дают дополнительную информацию о решении, которая используется потом для доказательств теорем существования и единственности решения, исследования его свойств и вывода априорных оценок.

 

5. Разностные схемы для решения уравнения КдФ

3.1. Обозначения и постановка разностной задачи. В области ={(x, t):0 £ x £ l,0 £ t £ T } обычным образом введем равномерные сетки, где

Введем линейное пространство W _h сеточных функций, определен­ных на сетке со значениями в узлах сетки y_i = y^h (x_i). Пред­полагается, что выполнены условия периодичности y ₀ = y_N. Кроме того, формально полагаем y_{i + N} = y_i для i ³ 1.

Введем скалярное произведение в пространстве W _h

(5.1)

Снабдим линейное пространство П/г нормой:

Поскольку в пространство W _h входят периодические функции, то это скалярное произведение эквивалентно скалярному произведе­нию:

Будем строить разностные схемы для уравнения (3.2) на сетке с периодическими краевыми условиями. Нам потребуются обозна­чения разностных аппроксимаций. Введем их.

Используем стандартные обозначения для решения уравнения на очередном (n-м) временном слое, то есть

Введем обозначения для разностных аппроксимаций производных. Для первой производной по времени:

Аналогично для первой производной по пространству:

Теперь введем обозначения для вторых производных:

Третью пространственную производную будем аппроксимировать следующим образом:

Также нам потребуется аппроксимация у², которую мы обозначим буквой Q и введем следующим образом:

(5.2)

Для записи уравнения на полу целых слоях будем использовать уравновешенную аппроксимацию, т.е.

за исключением аппроксимации у² на полу целом слое. Приведем одну из возможных аппроксимаций у² на полу целом слое:

Замечание 2. Стоит отметить, что для ₁ выполняется равенство:

 

Определение 1.Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называть консервативной, если для нее имеет место сеточ­ный аналог первого интегрального закона сохранения, справедливо­го для дифференциальной задачи.

Определение 2.Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называть L₂-консервативной, если для нее имеет место сеточ­ный аналог второго интегрального закона сохранения, справедливо­го для дифференциальной задачи.

5.2. Явные разностные схемы (обзор). При построении раз­ностных схем будем ориентироваться на простейшую разностную схему из работы [19] для линеаризованного уравнения КдФ, кото­рое сохраняет свойства самого уравнения КдФ в смысле двух первых законов сохранения.

(5.3)

Исследуем теперь схему (5.4) на свойства консервативности. Вы­полнение первого закона сохранения очевидно. Достаточно просто умножить это уравнение скалярно на 1. Тогда второе и третье сла­гаемые схемы (5.4) дадут 0, а от первого останется:

(5.4)

Это сеточный аналог первого закона сохранения.

Для вывода второго закона сохранения умножим скалярно урав­нение (5.3) на 2 t у. Приходим к энергетическому тождеству

(5.5)

Наличие отрицательного дисбаланса говорит не только о невыпол­нении соответствующего закона сохранения, но и ставит под сомне­ние вопрос вообще об устойчивости схемы в наиболее слабой норме L ₂ ().)- В работе [15] показано, что схемы семейства (3.18) являются абсолютно неустойчивыми в норме L ₂ ().

Другим примером явной двухслойной схемы является двух шаговая схема Лакса-Вендрофа [20].Это схема типа предиктор-корректор:

В данный момент наиболее популярными схемами для уравнения КдФ считаются трехслойные схемы ввиду их простоты, точности и удобства реализации.

(5.6)

Эту же схему можно представить в виде явной формулы

(5.7)

Самой простой трехслойной схемой является следующая схема:

Эта схема была использована при получении первых численных решений КдФ [8]. Эта схема аппроксимирует дифференциальную задачу с порядком О (t² + h²). Согласно [21], схема является устой­чивой при выполнении условия (при малых Ь):

Приведем еще несколько схем. Трехслойная явная схема с поряд­ком аппроксимации O (t ² + h ⁴) [20]:

Третья производная по пространству аппроксимируется на семи­точечном шаблоне, а первая строится по пяти точкам. Согласно [21], эта схема устойчива при выполнении условия (при малых h):

Легко видеть, что для этой схемы с более высоким порядком ап­проксимации условие устойчивости является более жестким.

В работе [19] предлагается следующая явная разностная схема с порядком аппроксимации О(t² + h²):

(5.8)

Так как разностное уравнение (5.8) можно записать в дивергент­ном виде

(5.9)

то, скалярно умножив уравнение (5.9) на 1, получим

следовательно, выполняется соотношение:

которое можно считать сеточным аналогом первого закона сохране­ния. Таким образом, схема (5.8) является консервативной. В [19] доказано, что схема (5.8) является L ₂ -консервативной и ее решение удовлетворяет сеточному аналогу интегрального закона сохранения

5.3. Неявные разностные схемы (обзор). В этом параграфе мы рассмотрим неявные разностные схемы для уравнения Кортевега-де Фриза.

Вариант двухслойной схемы - неявная абсолютно устойчивая схе­ма с порядком аппроксимации О (t², h⁴) [21]:

Решение разностной схемы (3.29) вычисляется с помощью семи диагональной циклической прогонки [22]. Вопрос о консервативности этой схемы не исследовался.

В работе [15] предлагается неявная трехслойная схема с весами:

(5.10)

 

Разностная схемы (5.10) с периодическими по пространству реше­ниями, консервативна, L₂-консервативна при s =1/2 и s =1/4 для ее решения имеют место сеточные аналоги интегральных законов сохранения.

 

Численное решение