Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2019-05-27 | 119 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Порядка методом повышения порядка
Нормальная система двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка имеет вид:
(30)
где х – независимая переменная, y (x) и z (x) – неизвестные функции, f 1(x) и f 2(x) – известные функции a 1, a 2, b 1, b 2 – коэффициенты. Общее решение системы (30) имеет вид:
,
где С 1 и С 2 – произвольные постоянные.
Для решения системы (30) методом повышения порядка необходимо исключить одну из неизвестных функций. Для этого можно выразить одну из функций, например, z (x), из одного уравнения системы:
, (31)
продифференцировать ее и подставить z и во второе уравнение системы. После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка вида . После получения его решения , следует, используя (31), найти вторую неизвестную функцию: и записать ответ.
Если в системе (30) коэффициенты a 1, a 2, b 1, b 2 – постоянные, то в результате применения метода повышения порядка получается линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами:
,
решение которого рассмотрено в п.5.
Пример использования метода повышения порядка для решения системы двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка приведен в образце выполнения контрольной работы.
Примерный вариант и образец выполнения
Контрольной работы №6
Задача 1. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: и точка . Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых. Построить все эти кривые в системе координат.
|
Задача 2. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка: Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.
Задача 3. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: и начальные условия: Определить тип дифференциального уравнения и найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Задача 4. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: . Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.
Задача 5. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка: . Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.
Задача 6. Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка: Найти общее решение системы методом повышения порядка.
Решение задачи 1. Данное дифференциальное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Заменим на и разделим переменные, умножая обе части уравнения на
.
Интегрируя полученное равенство, получим:
откуда . Заменяя , запишем общее решение данного уравнения: .
Найдем уравнение интегральной кривой, проходящей через точку , т.е. частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию: Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа соответственно: . Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М): .
Найдем уравнения еще нескольких интегральных кривых.
Построим все эти кривые в системе координат (рис.1).
Ответы: ; ,
Интегральные кривые изображены на рис.1.
Решение задачи 2. Данное дифференциальное уравнение – это уравнение Бернулли, где . Применим подстановку , тогда Подставив значения y и в уравнение, получим , или
(***)
Найдем функцию решая уравнение
.
Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения:
при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .
|
Подставляя найденную функцию в (***), получим дифференциальное уравнение для функции u: или .
Найдем функцию – общее решение этого уравнения:
, откуда
Общим решением исходного уравнения является функция
.
Ответ: .
Решение задачи 3. Данное дифференциальное уравнение – это дифференциальные уравнения 2-го порядка, не содержащие независимой переменной x. Полагаем = p (y), тогда и уравнение примет вид:
Решая первое уравнение, получим: – первое семейство решений. Оно не удовлетворяет начальному условию
Второе уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, заменяя на и проинтегрируем:
где . Производя обратную замену p = , получим дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции y:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Прежде чем его интегрировать, целесообразно определить значение постоянной С 1, используя начальные условия (y = 3, = 2 при х = 1):
Подставив значение в дифференциальное уравнение, получим:
Разделяя переменные и интегрируя, найдем
Здесь использовано: .
Определим значение постоянной С 2, соответствующее начальному условию y (1) = 3:
Отсюда искомое частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (решение задачи Коши): .
Получим частное решение уравнения, выразив y (x):
Ответ:
Решение задачи 4. Данное дифференциальное уравнение – это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид . Найдем его в 2 этапа.
1 этап. Построим общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По таблице 1 определим вид его общего решения
2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения при помощи метода вариации произвольных постоянных. Здесь , т.е. , тогда частное решение будем искать в виде .
Составим условиям вариации согласно (24):
Поделив оба уравнения почленно на , получим систему с неизвестными и :
Для решения этой системы можно использовать метод исключения. Выразим из первого уравнения и подставим во второе:
затем найдем
Переходим к интегрированию:
|
(константы интегрирования считаем равными нулю).
Тогда , и общее решение .
Ответ: .
Решение задачи 5. Данное дифференциальное уравнение – это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид . Найдем его в 2 этапа.
1 этап. Построим общее решение соответствующего однородного уравнения Составим для него характеристическое уравнение и найдем его корни: По таблице 1 определим вид его общего решения
2 этап. Построим частное решение данного неоднородного уравнения при помощи метода неопределенных коэффициентов. В заданном уравнении – правая часть 2-го специального вида: , где . Числа , тогда, согласно (29), частное решение будем искать в виде:
где А и В – неизвестные постоянные. Подставим в данное неоднородное уравнение:
Сократим обе части тождества на и приравняем коэффициенты при cos3 x и при sin3 x в левой и правой частях тождества.
Решая полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными, находим Подставив найденные значения А и В в выражение , получим частное решение неоднородного уравнения:
Объединяя результаты 2-х этапов, запишем ответ – общее решение данного уравнения.
Ответ:
Решение задачи 6. Для решения системы методом повышения порядка исключим из нее одну из функций – z (x).
Выразим z (x) из первого уравнения системы: , продифференцируем ее: и подставим z и во второе уравнение системы:
.
После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка:
.
Общее решение этого уравнения имеет вид . Найдем его в 2 этапа.
1 этап. Построим общее решение соответствующего однородного уравнения . Составим для него характеристическое уравнение и найдем корни: – корни комплексные сопряженные. Здесь , тогда по таблице 1 определим вид общего решения однородного уравнения:
.
2 этап. Построим частное решение неоднородного уравнения. Здесь – правая часть 1-го специального вида: , где , n = 1. Число не совпадает с корнями характеристического уравнения , тогда, согласно (28), частное решение будем искать в виде:
,
где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
|
Найдем производные и подставим в неоднородное уравнение , при этом для простоты используем следующую форму записи:
(здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми входят в уравнение). Приравниваем левую и правую части уравнения после подстановки в него :
.
Приравнивая коэффициенты при х 1 и при х 0 в обеих частях тождества, получаем:
откуда находим: A = –1, B = 4. Подставляя найденные значения в , получим: .
Объединяя результаты 2-х этапов, получаем общее решение уравнения : .
Найдем вторую неизвестную функцию:
Ответ:
Варианты РГЗ №4
Каждый вариант контрольной работы №6 содержит 6 задач, охватывающих материал по теме «Дифференциальные уравнения».
Перед выполнением контрольной работы необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями к выполнению контрольной работы №6, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.
Интегрирование всех уравнений следует приводить подробно, указывая метод интегрирования.
Вариант контрольной работы соответствует последней цифре студенческого билета
Задача 1. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка и точка М. Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых. Построить все эти кривые в системе координат.
№ варианта | Дифференциальное уравнение | Точка |
1 | M (–2; 4) | |
2 | M (0; 3) | |
3 | M | |
4 | M (0; 1) | |
5 | M (1; 2) | |
6 | M | |
7 | M (0; –1) | |
8 | M (0; 1) | |
9 | M (2; 1) | |
10 | M (–1; 2) | |
11 | ||
12 | ||
13 | ||
14 | ||
15 | ||
16 | ||
17 | ||
18 | ||
19 | ||
20 |
Задача 2. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение.
№ варианта | Дифференциальное уравнение | № варианта | Дифференциальное уравнение |
1 | 6 | ||
2 | 7 | ||
3 | 8 | ||
4 | 9 | ||
5 | 10 | ||
11 | 12 | ||
13 | 14 | ||
15 | 16 | ||
17 | 18 | ||
19 | 20 |
Задача 3. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка и начальные условия. Определить тип дифференциального уравнения и найти его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
№ варианта | Дифференциальное уравнение | Начальные условия |
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 | ||
11 | ||
12 | ||
13 | ||
14 | ||
15 | ||
16 | ||
17 | ||
18 | ||
19 | ||
20 |
Задача 4. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод вариации произвольных постоянных.
|
№ варианта | Дифференциальное уравнение | № варианта | Дифференциальное уравнение |
1 | 6 | ||
2 | 7 | ||
3 | 8 | ||
4 | 9 | ||
5 | 10 | ||
11 | 12 | ||
13 | 14 | ||
15 | 16 | ||
17 | 18 | ||
19 | 20 |
Задача 5. Дано дифференциальное уравнение 2-го порядка. Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение, используя метод неопределенных коэффициентов.
№ варианта | Дифференциальное уравнение | № варианта | Дифференциальное уравнение |
1 | 6 | ||
2 | 7 | ||
3 | 8 | ||
4 | 9 | ||
5 | 10 | ||
11 | 12 | ||
13 | 14 | ||
15 | 16 | ||
17 | 18 | ||
19 | 20 |
Задача 6. Дана система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Найти общее решение системы методом повышения порядка.
№ варианта | Система дифференциальных уравнений | № варианта | Система дифференциальных уравнений |
1 | 6 | ||
2 | 7 | ||
3 | 8 | ||
4 | 9 | ||
5 | 10 | ||
11 | 12 | ||
13 | 14 | ||
15 | 16 | ||
17 | 18 | ||
19 | 20 |
Вопросы для самопроверки.
1. Сформулируйте задачу Коши для дифференциальных уравнений 1-го порядка.
2. Методы решения дифференциальных уравнений 1-го порядка: ДУ с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка.
3. Сформулируйте определение обыкновенного дифференциального уравнения 2 порядка.
4. Дайте определение общего и частного решения ДУ 2-го порядка.
5. Сформулируйте задачу Коши ДУ 2-го порядка.
6. Линейные однородные ДУ 2-го порядка. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений.
7. Дифференциальные уравнения 2 порядка: метод вариации постоянных.
8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами. Поиск частного решения уравнений с правой частью специального вида.
Рекомендуемая литература
1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д.Т. Письменный. –М.: Рольф, 2002. – 256 с.
2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 1998.– 479 с.
3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Высш. шк., 1999.– 416 с.
4. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 2001.– 304 с.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!