Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм данного ряда, то ряд называется сходящимся. В противном случае ряд называется расходящимся.

Рассмотрим сумму u₁ + u₂ + u₃ + …+ u_n + …=

Эта сумма называется числовым рядом. Рассмотрим

S₁ = u₁,

S₂ = u₁ + u₂,

S₃ = u₁ + u₂ + u₃,

……………………

S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n,

………………………..

Необходимое условие сходимости ряда.

Теорема.

Если ряд сходится, то общий член его стремится к нулю при n→ ∞.

Выражение n-го члена при произвольном значении n называется общим членом ряда.

Рассмотрим ряд

Признаки сравнения.

Первый признак сравнения.

Пусть даны два положительных ряда.

Ряд (1) сходится.

2. (1) – расходится. S_n′ ≥ S_n → ∞ при n → ∞, ряд (2) расходится.

Признак Даламбера.

Если существует предел (конечный или бесконечный) то, если ρ < 1, ряд сходится, если ρ > 1, то ряд расходится, если ρ =1, то признак не эффективен, ряд может сходиться, а может и расходиться.

1. ρ < 1. Рассмотрим ρ < q < 1. Тогда, начиная с некоторого N, выполняется неравенство

u_N + u_N q + u_N q² + … (*)

П р и м е р 1.

П р и м е р 2.

Знакочередующиеся ряды.

u₁ – u₂ + u₃ – u₄ + ∙∙∙ (1)

u_i > 0.

Если члены ряда (1) таковы, что u₁> u₂ > ∙∙∙ > u_n > ∙∙∙ и , то ряд сходится, и сумма его не превышает первого члена.

n = 2m. Рассмотрим S_2m =

. S_2m c возрастанием m монотонно возрастает и остается меньше u₁. Следовательно,

n = 2m + 1. S _2m+1 = S_2m + u_2m+1.

Ряд сходится, и сумма его меньше u₁.

П р и м е р.

Абсолютная сходимость.

Рассмотрим ряд с произвольными членами.

u₁ + u₂ +…+ u _n + … (*)

u _n – произвольного знака. Рассмотрим другой ряд

|u₁ | +| u₂ | +…+| u _n | + … (**)

Теорема.

Функциональные ряды.

Рассмотрим ряд

u₁(x) + u₂(x) + … + u_n(x) + … (1)

Ряд (1) – функциональный ряд.

Введем понятие сходимости ряда (1). Зафиксируем значение x. Тогда

u₁(x) + u₂(x) + … + u_n(x) = S_n(x) – частичная сумма ряда. - сумма ряда.

Таким образом, суммой S(x) функционального ряда является функция от x.

Если числовой ряд (2) сходится, то ряд (1) называется сходящимся в точке x.

A b

Полученный результат можно геометрически интерпретировать следующим образом. Рассмотрим график функции y = S(x). Построим около этой кривой полосу шириной 2 ε, т.е. построим кривые y = S(x) + ε иy = S(x) – ε. Тогда при любом ε график функции s_n(x), будет лежать целиком в рассматриваемой полосе. В этой же полосе и будут лежать графики всех последующих частичных сумм.

Определение.

Функциональный ряд (1) называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд

α₁ + α₂ + …+ α_n + … (2)

с положительными членами, что для всех х из данной области выполняются соотношения

Пример.

Ряд является мажорируемым на всей числовой оси. Действительно, для всех х выполняется условие

Непрерывность суммы ряда.

Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть функция непрерывная.

2. Равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать т.е.

3. Равномерно сходящиеся ряды можно почленно дифференцировать т.е.

u₁′(x) + u₂′(x) +....+ u_n′(x) +.... =S ′(x)

Степенные ряды.

Ряды.

Понятие ряда возникает уже в элементарной математике, когда приходится решать задачу одного числа через другие более простые числа.

Н а п р и м е р. Выразить через десятичные дроби два числа ⁵/₈ и ⁵/₉.

Эта сумма бесконечного множества слагаемых есть пример числового ряда.

Числовые ряды.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел u₁, u₂, u₃,…, u_n,….

Суммы S₁, S₂, … S_n, … называютс я частичными суммами.

Рассмотрим

Определение.

Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм данного ряда, то ряд называется сходящимся. В противном случае ряд называется расходящимся.

П р и м е р. Рассмотрим ряд

a + aq + aq² + aq³ + … + aqⁿ + …. Этот ряд называется геометрической прогрессией.