Линейные дифф. ур-я 2-го порядка

Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1)

Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2)

– линейное однородное урав.

Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор.

1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну вырозить через др, т.е.

y1(x)/y2(x)¹const, то общим решением ур (2) y=C1y1+C2y2

2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2= y1∫[(e^–∫P(x)dx)]/(y₁²)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2

3) y1 находим подбором.

Структура общего реш. неоднородного ур.

1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек. частное реш. самого ур.

2)Метод вариации произ. постоянной

y*= C1(x)y1+C2(x)y2

3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд.

сист. ур-ий. 0 y2

C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0 Þ C1’(x)= f(x) y2’

C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x) y1 y2

y1’ y2’

Þ C1(x)=∫(--)/(--)dx

y1 0

C2’(x)= y1’ f(x) Þ C2(x)=∫(--)/(--)dx

y1 y2

y1’ y2’

Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью.

Рассмотрим случай: y^’’+py^’+qy=f(x), p,q – числа. y=c₁y₁+c₂y₂+y^*, где y₁, y₂ – два лин-но незав. реш.

(1) y^’’+ py^’+qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка.

y=e^kx k²+pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1).

Рассмотрим 3 случия:

1. D>0, k_1,2=(-p±Ö(p²-4q))/2, k₁¹k₂ y₁=e^k₁^x, y₂=e^k₂^x.

Т.к. y₁/y₂¹const, то y=c₁ e^k₁^x+c₂ e^k₂^x.

2. D=0 k_1,2=-p/2

y₁=e^-px/2, y₂=y₁∫(e^--∫pdx)/y₁²dx=e^-px/2, y=e^-px/2(c₁+c₂x).

3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k_1,2=a±bi, y₁=e^axCosbx, y₂=e^axSinbx, y₁/y₂¹const, y=e^ax(c₁Cosbx+c₂Sinbx)

Неоднородные ур-ия со спец. правой частью.

1. f(x)=P_n(x)e^ax 1) a - не явл-ся корнем хар. ур-ия

y^*=(A₀xⁿ+A₁x^n-1 ++...+A_n)=Q_n(x)e^ax.

3) a - однократный корень y^*=xQ_n(x)e^ax.

3) a - двукрат. корень y^*=x²Q_n(x)e^ax.

2. f(x)=p(x)e^axCosbx+q(x)e^axSinbx

1) a+bi – не корень y^*=U(x)e^axCosbx+V(x)e^axSinbx.

2) a+bi – корень y^*=x[U(x)e^axCosbx+V(x)e^axSinbx].

3. f(x)=MCosbx+NSinbx

1)bi – не корень, y^*=ACosbx+BSinbx.

2)bi – корень, y^*=x(ACosbx+BSinbx).

РЯДЫ

Числовые ряды. Основные определения.

Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U₁, U₂...U_n,... Выражение U₁+U₂+...+U_n+... наз-ся числовым рядом,

U₁, U₂...U_n – члены ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся

n-ой частичной суммой ряда: S_n= U₁+U₂+...+U_n.

Если сущ-ет конечный предел lim_n®¥S_n=S, то этот предел наз суммой ряда.

Если предел lim_n®¥S_n равен ¥ или не сущ-ет, то говорят, что ряд расходится.

Если сущ-ет предел lim_n®¥S_n, то ряд сходится.

Некоторые очевидные свойства числовых рядов:

1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Док-во: S_n – сумма n первых членов ряда, C_k – сумма k отброшенных членов, D_n-k – сумма членов ряда, входящих в сумму S_n и не входящих в C_k. Тогда имеем: S_n=C_k+D_n-k, где C_k – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limD_n-k, то сущ-ет и limS_n; если сущ-ет lim S_n, то сущ-ет limD_n-k, а это доказ-ет справедливость теоремы.

2)Теорема 2. Если ряд a₁+a₂+...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca₁+ca₂+...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.

Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через S_n, а ряда (2) – через D_n. Тогда D_n=ca₁+...+ca_n=c(a₁+...+a_n)=cS_n. Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.

lim D_n=lim(cS_n)=climS_n=cS. ч.т.д.

3)Теорема 3. Если ряды a₁+a₂+...(5) и b₁+b₂+...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S₁и S₂, то ряды (a₁+b₁)+(a₂+b₂)+...(7) и (a₁–b₁)+(a₂–b₂)+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S₁+S₂ и

S₁–S₂.

Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через D_n, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S_1n и S_2n, получим: D_n=(a₁+b₁)+...+(a_n+b_n)=(a₁+...+a_n)+(b₁+...+b_n)=S_1n+S_2n. Переходя к в этом равенстве к пределу при n®¥:, получим limD_n=lim(S_1n+S_2n)= limS_1n+limS_2n=S_1n+S_2n.

Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S_1n+S_2n.

4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limU_n=0 n®¥.

Док-во: пусть ряд U₁+U₂+...+U_n+... сходится, т.е. limS_n=S n®¥, тогда имеет место равенство limS_n-1=S.

limS_n–limS_n-1=0, lim(S_n–S_n-1)=0. Но S_n–S_n-1=U_n следов-но lim U_n=0 ч.т.д.

Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов.

1) Признак сравнения. Пусть дан ряд U₁+U₂+...+U_n+...(1), S_1n; V₁+V₂+...+V_n+...(2) S_2n; Известно,что V_n³U_n при n³N₀.

1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится;

2) если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится.

Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что $ lim S_2n=S. S_1n=U₁+U₂+...+U_N0+U_N0+1+...+U_n=S_N0+V_N0+1+...+V_n. limS_1n=lim(S_N0+D_n-N0)=S_N0+D. S_1n – возраст. послед-ть, ограниченная числом S_N0+D => $ lim S_1n=S_n1.

2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limU_n/V_n=L, но L¹0,¥ при n®¥, то ряды ведут себя одинаково.

3) Признак Даламбера. Если $ lim(U_n+1/U_n)=L(2) при n®¥, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L<q<1. Из определения предела и соотношения (2) следует, что для всех n, n³ N, будет иметь место нер-во (U_n+1/U_n)<q (2^’). Действительно, т.к. величина U_n+1/U_n стремится к пределу L, то разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положит числа, в частности, меньше, чем q–L, т.е.

| U_n+1/U_n – L|<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во (2’). Записывая нер-во (2^’) для различных значений n, начиная с номера N, получим U_N+1<qU_N,

U_N+2<qU_N+1< q²U_N

 

Рассмотрим теперь два ряда:

U₁+U₂+...+U_N+U_n+1+... (1)

U_N+qU_N+q²U_N+... (1^’). Ряд (1^’) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с U_N+1, меньше членов ряда (1^’), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(U_n+1/U_n)=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место нер-во (U_n+1/U_n)>1, или U_n+1>U_n для всех n³N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится.

4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limⁿÖU_n=L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1.

Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1. Начиная с некот n=N, будет иметь место соотношение

| ⁿÖU_n–L|<q–L; осюда следует, что ⁿÖU_n<q или U_n<qⁿ для всех n³N. Рассмотрим теперь два ряда: U₁+U₂+...+U_N+U_N+1+... (1) и q^N+q^N+1+q^N+2+... (1^’). Ряд (1^’) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1), начиная с U_N, меньше членов ряда (1^’). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть L>1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: ⁿÖU_n>1 или U_n>1. но если все члены рассматр ряда, начиная с U_N, больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю.

5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ^¥å_n=1U_n, где члены ряда убывают U_n>U_n+1>0. Есть фун f(x)>0, хÎ[1;¥] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=U_n.

Если не собственный интеграл ^¥ò₁f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ^¥ò₁f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.

 

Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U₁>U₂>U₃… и предел его общего члена при n®¥ равен 0

(Lim _n®¥ U_n=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U₁³S.

Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:

S_2m=(U₁-U₂)+(U₃-U₄)+…+(U_2m-1-U_2m). Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака существования придела последовательность S_2m имеет предел Lim_m®¥S_2m=S. Переходя к пределу в неравенстве S_2m<U₁ при m®¥, получим, что U₁³S. Рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n= 2m+1. Очевидно, что S_2m+1=S_2m+A_2m+1; Поэтому учитывая необходимый признак сходимости ряда, Lim _m®¥ S_2m+1=

=Lim_m®¥ S_2m+ Lim _m®¥ А_2m+1=S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Lim _n®¥ Sn=S, т.е. ряд сходится.

Знакопеременные ряды.

Пусть U₁+U₂+U₃….+U_n+ знакопеременный ряд (*), в котором любой его член U_n может быть как положительным, так и отрицательным.

Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд ^¥å_n=1½U_n½; |U₁|+|U₂|+…+|U_n|+…(1), сходится и наз абс. сходящимся. Обратное утверж не справедливо.

Д: Обозначим S_n⁺ и S_n^- суммы абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком плюс и минус. Тогда частичная сумма данного ряда S_n1=S_n⁺-S_n^-, а ряда составленного из абсолютных величин его членов S_n2= S_n⁺+S_n^-. По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел Lim_n®¥S_n2=S. Последовательности S_n⁺ и S_n^- являются возрастающими и ограниченными (S_n⁺ ≤ S S_n^- ≤ S), значит существуют пределы

Lim_n®¥S_n⁺ и Lim_n®¥S_n^-, и соответственно предел частичной суммы данного ряда

Lim_n®¥S_n1=Lim _n®¥S_n⁺ -Lim _n®¥ S_n^- , т.е. ряд (*) сходится.·

Если ряд |U₁|+|U₂|+…+|U_n|+…сходиться, то ряд U₁+U₂+U₃….+U_n+ наз абс. сходящимся.

Если ряд U₁+U₂+U₃….+U_n+ сходиться, а ряд |U₁|+|U₂|+…+|U_n|+…расходиться, то ряд U₁+U₂+U₃….+U_n+ наз усл. сходящимся.

Св-ва абс сход рядов: Если ряд U₁+U₂+U₃….+U_n+ абс сходиться, то на сходимость не влияет перестановка членов ряда и группировка.

 

Степенные ряды.

C₀+C₁X+C₂X²+…+C_nXⁿ..-степенной ряд (*)

Св-ва: 1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X₀≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X₀|, 2)Если степенной ряд расходится при Х=Х₁, то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х₁|.

Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х₀≠0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Lim_n®¥U_n=Lim_n®¥C_nX₀ⁿ=0. Значит последовательность |C_nX₀ⁿ| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство |C_nX₀ⁿ|<M. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величинчленов ряда(*)

|С₀|+ |C₁X₀||Х/X₀|+…+ |C_nX₀ⁿ||X/X₀|ⁿ+…(1). Члены ряда (1) меньше соответствующих членов ряда М+М|Х/X₀|+…+М|X/X₀|ⁿ+… представляющего геометрический ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X₀|<1, т.е. при|X|<|X₀|, на основании признака сравнения ряд (*) сходится. 2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X₁| ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х₁ (т.к. |X|>|X₁|), что противоречит условию.·

Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│<R ряд сходится, а при │Х│>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R;R)- интервала сходимости степенного ряда.

2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке.

4) Степенные ряды вида а₀+а₁х+а₂х²+…+а_nх²+…+а_n+1хⁿ⁺¹+… и

а₀+а₁(х-х₀)+а2(х-х₀)²+…+аn(х-х₀)²+… сходяться равномерно.

5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.

Функциональные ряды

Ряд U₁+U₂+..+Un+.. называется функциональным, если его члены являются функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U₁(Х)+U₂(Х)+..+Un(Х)+...(1) Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.

Обозначим через S_n(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=S_n(x)+r_n(x), где r_n(x) есть сумма ряда U_n+1(x)+U_n+2(x) +…, т.е. r_n(x)= U_n+1(x)+U_n+2(x) +… В этом случае величина r_n(x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение Lim_n→∞ r_n(x)= Lim_n→∞[S(x)-S_n(x)]=0, т.е. остаток r_n(x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞.

Функциональный ряд U₁(Х)+U₂(Х)+..+Un(Х)+.. (1) называется мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся числовой ряд а₁+а₂+а₃+…+а_n..(2) с положительными членами, что для всех значений Х из данной области выполняются соотношения │U₁(x)│≤a_1,…,│U_n(x)│≤a_n,… Иначе, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го сход. ряда с полож. членами.

Ряд Тейлор.

Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора: f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+f¢¢(a)[(x-a)²/2!]+…

…+fⁿ(a)[(x-a)ⁿ/n!]+R_n(x), (1) где остаточный член R_n(х)={[(x-a)ⁿ⁺1]/[(n+1)!]}f⁽ⁿ⁺¹⁾[a+q(x-a)], где 0<q<1. Для того, чтобы ряд сходился к ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n®¥ остаток ряда стремился к 0, т.е. R_n(x)®o. Переходя в формуле (1) к пределу при n®¥, получим справа бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора:

f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+…+fⁿ(a)[(x-a)ⁿ/n!]+…

Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена: f (x)=f(0)+f¢(0)x+f¢¢(0)[x²/2!]+…

…+fⁿ(0)[xⁿ/n!]+….

Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена:

e^x =1+x+x²/2!+…+xⁿ/n!+… (-¥;¥)

sinX =x-x³/3!+x⁵/5!+…+(-1)^n-1[X2n^-1]/(2n-1)!+… (-¥;¥)

cosX =1-x²/2!+x⁴/4!-…+[(-1)ⁿX²ⁿ]/(2n)!+… (-¥;¥)

(1+x)^m =1+mx+[m(m-1)x²]/2!+[m(m-1)*

*(m-2)x³]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xⁿ]/n!+… (-1;1)

ln(1+x)= x-x²/2+x³/3-..+[(-1)ⁿxⁿ⁺¹]/(n+1)+.. (-1;1]

1/(1-x)= 1+x+x²+…+xⁿ+..

1/(1+X²)= 1-x²+x⁴-x⁶+…

arctgX =x-x³/3+x⁵/5-x⁷/7+…+[(-1)ⁿ⁺¹x^2n-1]/2n-1+…