Моделирование реологических свойств

Многообразие реологических свойств реальных тел можно моделировать с помощью различных сочетаний рассмотренных идеальных моделей. Сложные модели состоят из нескольких идеальных моделей, соединенных между собой последовательно или параллельно.

При последовательном соединении элементов полная нагрузка приходится на каждый элемент, а полная деформация или ее скорость складываются из деформаций и скоростей составляющих элементов:

(18)

При параллельном соединении элементов деформации и их скорости одинаковы для всех элементов, а полная нагрузка складывается из нагрузок отдельных элементов:

(19)

С помощью этих правил сравнительно просто моделировать реологические свойства реальных тел.

Известно, что нет принципиальной разницы в реологических свойствах реальных жидкостей и твердых тел. Жидкости и твердые тела имеют практически одинаковую природу сил сцепления, величина которых зависит только от расстояния между частицами. Максвеллом было развито представление о механических свойствах тел как о непрерывном ряде переходов между идеальной жидкостью и твердым телом.

Механические свойства были смоделированы с помощью модели, названной моделью Максвелла (рис. 7).

Рис. 7. Модель упруго-вязкого тела Максвелла

Общая деформация и ее скорость складываются из тех же параметров элементов Гука и Ньютона:

(20)

Уравнение (20) является математической моделью тела Максвелла. Наиболее интересна эта модель для мгновенной и фиксированной деформации (γ=const). Такое состояние реализуется при мгновенном растяжении модели с сохранением в дальнейшем постоянной деформации. После этого возникшее внутреннее напряжение постоянно спадает со временем (релаксирует). Изменение напряжения в этом случае описывается соотношением:

(21)

где λ = η/Е – время релаксации напряжения.

Величина λ представляет собой время, в течение которого начальное напряжение Р₀ в теле уменьшается в е раз. Чем больше λ, тем медленнее релаксирует напряжение в теле. Полное рассасывание напряжений может произойти при τ = ∞.

Модель Максвелла представляет собой упруго-вязкую жидкость, которая может течь (релаксировать) под действием любых нагрузок. Для нее характерна необратимость деформаций. Уравнение (21) показывает, что различие между жидкостями и твердыми телами носит кинетический (реласационный) характер.

Если, например, время релаксации значительно больше времени действия напряжения (λ>>τ), то тело называется твердым.

Если же время релаксации мало по сравнению с временем действия напряжения (λ<<τ), то тело ведет себя, как жидкость – напряжения уменьшаются благодаря ее течению.

Отсюда следует, что поведение тела определяется временем действия напряжения по отношению ко времени релаксации.

Моделью вязко-упругого твердого тела, способного восстанавливать свои свойства после снятия нагрузки (эластичность), является модель Кельвина-Фойгта (рис. 8).

Рис. 8. Модель вязко-упругого тела Кельвина-Фойгта

Для этой модели справедливы соотношения:

(22)

что и является математической моделью тела Кельвина-Фойгта.

Деформация в таком теле под действием постоянной нагрузки Р₀ развивается со временем. Скорость ее снижается, т.к. на упругий элемент Гука приходится все большее усилие. Когда скорость деформации уменьшится до нуля, деформация достигнет максимального значения. При условии постоянства напряжения математическая модель Кельвина-Фойгта примет вид:

(23)

Решением этого уравнения является соотношение:

(24)

где θ = η/Е – время релаксации деформации, характеризующее эластичность тела.

Если снять напряжение после достижения определенной деформации, то система возвращается в исходное состояние также в течение определенного времени. При этом решение уравнение (23) имеет вид:

(25)

Снятие нагрузки приводит к возвращению тела Кельвина-Фойгта в первоначальное состояние. В отличие от упругости, характеризуемой мгновенными деформациями (равновесное состояние достигается со скоростью, близкой к скорости звука в данном теле), эластичность или упругое последействие проявляется со временем. Чем больше время релаксации, тем выше эластичность тела.