Тема 2: действия над событиями

Событие – один или несколько исходов эксперимента. События бывают:

· невозможные – те, которые не могут произойти в результате данного опыта;

· достоверные – обязательно наступающие в результате данного испытания;

· случайные – происходящие или непроисходящие в результате данного опыта.

 

События называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого. Например, при стрельбе по мишени события «попадание» и «непопадание» - несовместны.

События называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появления другого. Например, при подбрасывании игральной кости события «на верхней грани выпала 3» и «на верхней грани выпало нечетное число очков» - совместные события.

События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным. Несколько событий называются единственно возможными, когда в результате эксперимента должно произойти хотя бы одно из них.

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными результатами эксперимента. Это означает, что в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.

Два несовместных события, из которых одно обязательно должно произойти, называются противоположными. Случайное событие, противоположное к A, обозначается .

Результат действия над случайными событиями – это тоже случайное событие.

Пусть с некоторым опытом связаны события A и B. Их суммой называется третье событие A+B, состоящее в наступлении хотя быодного из данных событий.

Если A и B – совместные события, то их сумма A+B обозначает наступление или события A, или события B, или обоих событий вместе. Если A и B – несовместные события, то их сумма A+B обозначает наступление или события A,или события B.

Произведением событий A и B называется третье событие AB, состоящее в совместном наступлении этих событий.

Формирование навыков работы со случайными событиями является необходимым условием для дальнейшего успешного решения задач по теории вероятностей, так как решение любой задачи на вычисление вероятности случайного события начинается с ответа на вопрос: «Что считать элементарным исходом в данном эксперименте, и как исследуемое событие может быть представлено с помощью элементарных исходов?»

Задачи для самостоятельного решения:

2.1 Что означают события: а) ; б) ?

2.2 Эксперимент состоит в проверке трёх приборов. Событие A – «хотя бы один из проверяемых приборов бракованный», событие B – «брака нет». Что означают события: а) ; б) ?

2.3 Монета бросается четыре раза. Обозначим - событие, состоящее в том, что «герб» появился I раз. Что означают события: а) ;

б) ?

2.4 Бросается игральный кубик. Обозначим - событие, состоящее в том, что выпало на верхней грани I очков. Выразите через следующие события: B – «число выпавших очков меньше 4»; C – «число выпавших очков больше 2»; D – «число выпавших очков чётно».

2.5 Два шахматиста играют одну партию. Событие А – «выиграет первый игрок», событие В – «выиграет второй игрок». Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

2.6 Банк выдал три кредита по 1 млн. руб. Обозначим - событие, состоящее в том, что i -й заёмщик своевременно вернёт кредит. Выра-зите через следующие события: B – «все вернут кредиты вовре-мя», C – «вернут хоть что-нибудь», D – «вернут не менее 2 млн. руб.»

2.7 Пять человек надевают шляпы. Обозначим - событие, состоящее в том, что i -й человек надел свою шляпу. Выразите через следующие события: B – «всеодели свои шляпы», C – «ни один не одел свою шляпу», D – «хотя бы один надел свою шляпу».

2.8 Двое поочередно бросают монету, выигрывает тот, кто раньше выбросит герб. Опишите следующие события: «выигрывает первый», «выигрывает второй». Какое событие будет в данном случае невозможным?

2.9 Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Обозначим событие «первый студент решил задачу» через , «второй студент решил задачу» - , «третий студент решил задачу» - . Выразить через события следующие события:

а) A – «все студенты решили задачу»;

б) B – «задачу решил только первый студент»;

в) C – «задачу решил хотя бы один студент»;

г) D – «задачу решил только один студент».

2.10 Пусть A, B, C – три произвольных события. Выразить через A, B, C и их отрицания следующие события: а) произошло только событие C; б) произошли все три события; в) произошло по крайней мере одно из этих событий; г) произошло по крайней мере два события; д) произошло только два события; е) ни одно событие не произошло; ж) произошло не более двух событий.

2.11 Совместны ли события и ?

2.12 Являются ли несовместными следующие события:

а) опыт – бросание двух монет. События: - «появление двух гербов», - «появление двух цифр»;

б) опыт – три выстрела по мишени. События: - «хотя бы одно попадание», - «хотя бы один промах»;

в) опыт – бросание двух игральных костей. События: - «хотя бы на одной кости появилось три очка», - «появление чётного числа очков на каждой кости»;

г) опыт – извлечение двух шаров из урны, содержащей белые и

черные шары. События: - «взято два белых шара», - «оба изв-лечённых шара одного цвета»;

д) опыт – покупка двух лотерейных билетов. События:

- «выиграют два билета», - «выиграет хотя бы один билет», - «выиграет только один лотерейный билет»?

2.13 Образуют ли полную группу следующие события:

а) опыт – два выстрела по мишени. События: - «два попадания в мишень», - «хотя бы один промах по мишени»;

б) опыт – бросание двух игральных костей. События: - «сумма очков на верхних гранях больше 3», - «сумма очков на верхних гранях равна 3»;

в) опыт – выдано четыре кредита. События: - «возвращен один кредит», - «возвращены два кредита»; - «возвращены три кредита», - «возвращены четыре кредита»;

г) опыт – покупатель посещает три магазина. События: - «покупатель купит товар хотя бы в одном магазине», - «покупатель не купит товар ни в одном магазине»?

2.14 В экзаменационном билете три вопроса. Рассматриваются события: - «дан правильный ответ на первый вопрос», - «дан правильный ответ на второй вопрос», - «дан правильный ответ на третий вопрос». Что означают события: а) ;

б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ?