Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
 2018-01-07 |
 477 |
из
5.00
|
Заказать работу |
|
|
|
|
Уравнение вида 
, где p, q – заданные числа называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейное ДУ второго порядка без правой части 
, соответствующее ЛНДУ, называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ).
Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ). Общим решением ЛНДУ является сумма его общего решения уоо соответствующего ЛОДУ и произвольного частного решения учн, то есть у = учн + уоо.
Рассмотрим нахождение общего решения уоо и частного решения учн.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка . Если 
и 
– корни характеристического уравнения 
(для этого необходимо 
заменить на 
, 
– на 
, 
– на1), то общее решение записывается в одном из следующих трех видов (табл. 1):
Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка
Таблица 1.
| Корни и 
| Общее решение ЛОДУ |
1) 
| действительные и различные ( )
| 
|
2) 
| действительные и равные ( )
| 
|
3) 
| комплексные 
(а и b – действительные числа)
| 
|
Пример 14. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Составим характеристическое уравнение 
и найдем его корни: 
; 
; 
. Т.к. и – действительные и различные числа, то общее решение записывается в виде: 
.
Пример 15. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: 
, 
, 
– комплексно-сопряженные корни, 
, 
. Общее решение имеет вид 
, отсюда 
.
Пример 16. Найти общее решение уравнения 
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: 
. Найдем его корни: 
. Тогда 
.
Найдём теперь частное решение неоднородного уравнения
Рассмотрим следующие случаи:
1) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид 
, где P (x)-многочлен.
|
|
Тогда неоднородное уравнение имеет частное решение вида 
, где Q (x)-многочлен той же степени, что и P (x), k-кратность корня характеристического уравнения, равного m (то есть сколько корней характеристического уравнения равно m).
Неизвестные коэффициенты многочлена Q (x) находим с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Это правило верно и при m =0, когда правая часть есть многочлен. В частных случаях P (x) может быть и постоянной величиной (числом).
2) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид 
.
Если числа 
являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида 
.
Если числа не являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида 
.
Если a =0 или b =0, решение всё равно следует искать в общем виде.
3) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид 
, где P1 (x) и P2 (x) –многочлены.
Если числа m являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида 
.
Если числа 
не являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида 
.
Q 1(x) и Q 2(x)-многочлены степени, равной высшей из степеней многочленов P 1(x) и P 2(x)
Замечание. Частное решение ЛНДУ имеет тот же вид, что и специальная правая часть, но если число 
является корнем характеристического уравнения кратности r, то в частном решении присутствует множитель 
.
Немногим более сложные виды специальной правой части рекомендуем разобрать самостоятельно.
Пример 17. Решить уравнение 
, 
, 
Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка со специальной правой частью 
(
) Соответствующее однородное уравнение имеет вид 
.
Составим характеристическое уравнение 
и найдем его корни: 
, 
.
Тогда общее решение ЛОДУ имеет вид 
.
Найдем частное решение ЛНДУ. Т.к. 
, 
, и число является простым (однократным) корнем характеристического уравнения (совпадает с ), то частное решение будем искать в виде 
. Для отыскания неопределенного коэффициента А подставим 
в данное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, предварительно вычислив 
, 
. Получаем равенство
|
|
, откуда находим 
. Таким образом 
.
Так как. общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения находится в виде 
, то окончательно получаем 
.
Теперь подставим начальные условия в полученное решение, получим
, 
,
,
, 
.
Решив систему, получаем 
, 
.
Частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,
.
|
|
|
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!