Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-12-21 | 328 |
5.00
из
|
Заказать работу |
После того как найдены все , которые могут быть абсциссами точек перегиба, следует воспользоваться первым достаточным условием перегиба графика функции.
Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от , вторая производная имеет разные знаки, то является точкой перегиба графика функции.
Как видите первое достаточное условие не требует существования второй производной в самой точке , но требует ее существование в окрестности точки .
Сейчас обобщим всю информацию в виде алгоритма.
Алгоритм нахождения точек перегиба функции.
Находим все абсциссы возможных точек перегиба графика функции ( или и ) и выясняем, проходя через какие вторая производная меняет знак. Такие значения и будут абсциссами точек перегиба, а соответствующие им точки будут точками перегиба графика функции.
Первое достаточное условие перегиба графика функции позволяет определять точки перегиба и не требуют существования второй производной в них. Поэтому, первое достаточное условие можно считать универсальным и самым используемым.
Сейчас сформулируем еще два достаточных условия перегиба, но они применимы лишь при существовании конечной производной в точке перегиба до некоторого порядка.
Второе достаточное условие перегиба.
Если , а , тогда является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x).
Третье достаточное условие перегиба.
Пусть , а , тогда если n – четное число, то является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x).
24 Схема исследование функции с помощью производной.
После того, как найдена область определения функции, установлено, является ли она чётной или нечётной, является ли она периодической, найдены корни рассматриваемой функции, находится её производная.
Точки, в которых производная становится равной нулю, являются критическими точками.
Если ƒ (х0) = 0 и нашлось такое число k, что все точки интервала (х0 – k; х0 + k) принадлежат области определения функции и для каждого х ≠ х0 из этого интервала ƒ (х) > ƒ (х0), то точка х0 называется точкой минимума функции ƒ (х).
Если же для каждого х ≠ х0 из интервала (х0 – k; х0 + k) выполняется неравенство ƒ (х) < ƒ (х0), то точка х0 называется точкой максимума функции ƒ (х).
Точки минимума и максимума называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – минимум и максимумом.
Если ƒ (х) > 0 во всех точках некоторого интервала, то функция возрастает на этом интервале.
Если ƒ (х) < 0 во всех точках некоторого интервала, то функция убывает на этом интервале.
Если ƒ (х) – некоторая функция, ƒ ' (х) производная этой функции и ƒ (х0) = 0, то это ещё не означает, что в точке х0, функция имеет максимум и минимум.
Пример 1.
Рассмотрим функцию у = 3 (х – 3)3.
у ' = 3 (х – 3)2. Производная равна нулю при х = 3. Точка (3; 0) данной функции является критической: она может быть точкой максимума или минимума. Но чтобы эта возможность оказалась реальностью, необходимо убедиться, что в некотором промежутке и левее, и правее рассматриваемой точки, функция либо возрастает, либо убывает.
Установить это можно, отыскав знак производной слева и справа от точки (3; 0). Если на каком-то промежутке слева у ' > 0, а справа у ' < 0, то в рассматриваемой точке функция достигает максимума; если слева у ' < 0, а справа у ' > 0, то в рассматриваемой точке функция достигает минимума.
В рассматриваемом примере 3 (х – 3)2 > 0 и слева, и справа от точки (3; 0). Следовательно, ни максимума, ни минимума в этой точке нет. График рассматриваемой функции имеет вид как на рис. 1.
Пример 2.
Установим, имеются ли максимумы или минимумы у функции ƒ (х) = 3/4 х4 + 2/3х3 – 1,5х2 – 2х.
Решение.
Для этого найдём экстремумы (точки в которых производная равна 0) и промежутки монотонности (промежутки, в которых ƒ (х) > 0 и потому функция возрастает, ƒ (х) < 0 и потому функция убывает).
Её производная:
ƒ ' (х) = 3х2 + 2 х2– 3х – 2 = х2 (3х + 2) – (3х + 2) = (3х + 2)(х2 – 1) = (3х + 2)(х – 1)(х + 1).
Корнями производной являются числа -1; -2/3; 1.
Следовательно, область определения функции (-∞; 1); (-1; -2/3); (-2/3; 1); (1; ∞).
Остаётся установить, как ведёт себя функция на интервалах, расположенных левее и правее критических точек. Для этого составим таблицу:
x | ƒ ' (x) | ƒ (x) |
(-∞; -1) | < 0 | убывает |
-1 | 3/4 – 2/3 – 3/2 + 2 = 7/12 | |
(-1; -2/3) | > 0 | возрастает |
-2/3 | 3/4 · 16/81 – 2/3 · 8/27 – 3/2 · 4/9 + 2 · 3/4 = 50/81 | |
(-2/3; 1) | < 0 | убывает |
3/4 + 2/3 – 3/2 – 2 = -2 1/2 | ||
(1; ∞) | > 0 | возрастает |
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!