Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Топ:
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-12-21 | 506 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Основные понятия. Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение вида
(1)
Здесь функции и f(x) заданы и непрерывны в некотором промежутке (а, b).
Уравнение (1) называется линейным неоднородным, или уравнением с правой частью. Если же f(x)≡0, то уравнение называется линейным однородным. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему.
Зная одно частное решение у1 линейного однородного уравнения, можно с помощью линейной замены искомой функции понизить порядок, а следовательно, и порядок соответствующего неоднородного уравнения на единицу. Полученное уравнение (n-1) -го порядка относительно z также является линейным.
676. Дано уравнение и известно частное решение y1 = ln(х) соответствующего однородного уравнения. Понизить порядок уравнения.
Решение:
Воспользуемся подстановкой , где z — новая неизвестная функция. Тогда, подставляя соответствующие производные
, ,
в данное уравнение, получим уравнение второго порядка
Примечание. Отметим, что применяя указанную подстановку к линейному уравнению второго порядка и учитывая, что линейное уравнение первого порядка интегрируется в квадратурах, можно проинтегрировать в квадратурах всякое линейное уравнение второго порядка, если известно одно частное решение соответствующего однородного уравнения.
677. Проинтегрировать уравнение , имеющее частное решение
Решение. Произведем замену ;
тогда
Получаем уравнение
Следовательно,
678. Понизить порядок и проинтегрировать уравнение у" sin2x= 2у, имеющее частное решение у=ctgх.
679. Уравнение имеет частное решение у = х. Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.
|
680. Уравнение имеет частное решение у=sinх. Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.
2. Линейные однородные уравнения. Одним из замечательных свойств линейных уравнений является то, что общее решение таких уравнений можно найти по их известным частным решениям. Приведем теорему о структуре общего решения линейного однородного уравнения.
Теорема. Если у1, у2,..., yn—линейно независимые частные решения уравнения
.
то у = С 1 y 1 + С2 y2 +... + Сn yn есть общее решение этого уравнения (С1, С 2,..., С n — произвольные постоянные).
П р и м е ч а н и е. Функции у1 (х), у2(х),..., yn(х) называются линейно независимыми в промежутке (а, b), если они не связаны никаким тождеством
.
где α 1, α 2,..., α n —какие-нибудь постоянные, не равные нулю одновременно. Для случая двух функций это условие можно сформулировать и так: две функции y 1 (х) и y 2 (х) линейно независимы, если их отношение не является постоянной величиной: y 1/ y 2 ≠ соnst. Например: 1) у1=х, y 2=х2— линейно независимы; 2) у1=еx, у1=е-x — линейно независимы; 3) у1=2езх, у 2 =5езx — линейно зависимы.
Достаточным условием линейной независимости п функций, непрерывных вместе со своими производными до (п— 1)-го порядка в промежутке (а, b), является то, что определитель Вронского (вронскиан) W [у 1, y 2,..., yn ]этих функций не равен нулю ни в одной точке промежутка (а, b), т. е.
Если данные п функций являются частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то это условие (необращение в нуль) является не только достаточным, но и необходимым условием линейной независимости этих п решений.
Вронскиан л решений линейного однородного уравнения n-го порядка
связан с первым коэффициентом этого уравнения а1(х) формулой Лиувилля — Остроградского:
Совокупность n решений линейного однородного уравнения n-го порядка, определенных и линейно независимых в промежутке(а, b), называется фундаментальной системой решений этого уравнения.
|
Для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
фундаментальная система состоит из двух линейно независимых решений у1 (х) и y2(х), его общее решение находится по формуле
Если для такого уравнения известно одно частное решение у1 (х), то второе его решение, линейно независимое с первым, можно найти по формуле
(являющейся следствием формулы Лиувилля—Остроградского)
Это дает возможность интегрировать линейные однородные уравнения второго порядка, для которых известно одно частное решение, сразу, не прибегая к понижениюих порядка.
Так, в примере 677 для уравнения известно решение
Найдем по приведенной выше формуле второе решение:
Поэтому общее решение данного уравнения имеет вид
Рекомендуем решить этим способом примеры 678—680.
681. Показать, что является общим решением уравнения у"— 9y=0.
Решение. Подстановкой в уравнение легко убедиться в том, что функции у1=е3x и у2=е-3x являются его решениями. Эти частные решения линейно независимы, так как , а потому они составляют фундаментальную систему решений и, следовательно, —общее решение.
682. Дано уравнение у'"—у'=0. Составляют ли фундаментальную систему решений функции е x, е -x, сh х, являющиеся, как легко проверить, решениями этого уравнения?
Решение. Для проверки линейной независимости этих решений вычислим вронскиан:
Этот определитель равен нулю, так как элементы 1-й и 3-й строк одинаковы. Следовательно, данные функции линейно зависимы, а потому составить общее решение по этим частным решениям нельзя. Тот же результат можно получить быстрее, поскольку и, следовательно, данные три функции линейно зависимы.
683. Уравнению у"—у=0 удовлетворяют два частных решения y1=shx, y2=chx. Составляют ли они фундаментальную систему?
684. Можно ли составить общее решение уравнения
(x≠0) по двум его частным решениям
Установить, являются ли линейно независимыми в промежутке своего существования следующие функции:
685. x+1, 2x+1, х+2.
686. 2x2+1, x2-1, х+2.
687. , , .
688. ln(2х), ln(3x), ln(4x).
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!