Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Если в последовательности a₁,a₂,…разность a_n+1-a_n двух соседних членов постоянна, то такая последовательность называется арифметической. Эта разность называется шагом арифметической последовательности. Её первый член называется её основанием. Примером простейшей арифметической последовательности является последовательность 1,2,3,4,… с основанием 1 и шагом 1. Другими примерами являются 5, 3, 1, -1,… с основанием 5 и шагом -2,

, 1, 1 ,…с основанием и шагом и соответственно. Сумму первых n членов последовательности 1,2,3,4,… находят группируя парами первый и последний, второй и предпоследний и т.д. члены – они дают одну и ту же сумму n+1 и таких пар n:2 (если нечётно, то можно начать с 0 – это сумму не изменит, а зато все члены разобьются на пары). В итоге получаем .

75. Найдите теперь формулу для суммы первых n членов общей арифметической последовательности с основанием а и шагом d: a, a+d, a+2d,…a+nd.

Если в последовательности a₁,a₂,…частное a_n+1:a_n двух соседних членов постоянно, то такая последовательность называется геометрической. Это частное называется шагом геометрической последовательности. Её первый член называется её основанием.

Простейшим (и важнейшим) примером геометрической прогрессии является прогрессия

1, х, х², х³,…,хⁿ,…

76. Найдите формулу для суммы первых n членов этой последовательности S_n(x)= , вычислив разность xS_n(x)-S_n(x).

Задачи повышенной трудности.

77. *Три купца – Тит, Карп и Фрол и их жёны Олимпиада, Сосипатра и Поликсена делали покупки на ярмарке. Каждый из них купил столько вещей, сколько рублей заплатил за каждую вещь. Тит купил на 23 вещи больше, чем Сосипатра, а Карп – на 11 вещей больше, чем Олимпиада. Каждый купец потратил на 63 рубля больше, чем его жена. Сколько покупок совершила Поликсена?

78. *У двух братьев было стадо овец. Они продали его и за каждую овцу получили столько рублей, сколько голов было в стаде. Стали делить выручку: Петру 10 рублей, Ивану 10 рублей, Петру10 рублей, Ивану 10 рублей и т.д. Наконец, Пётр взял последнюю десятку, а Ивану нескольких рублей до десятки не хватило. Тогда Пётр вынул из кармана нож и отдал брату в качестве компенсации за недостающую сумму денег. Сколько стоил нож?

79. *(Геофак МГУ, 2004) Две группы геологов исследуют маршрут, проходящий от пункта А через пункт В в пункт С. Первая группа проходит весь путь за 2 дня, а вторая за 3 дня. Расстояние между А и В вдвое меньше расстояния между В и С. Скорости движения групп на участках АВ и ВС постоянны, но на участке АВ скорости обеих групп в m раз меньше, чем их скорости на участке ВС. Группы выходят одновременно из А и С навстречу друг другу. Если первая группа выходит из А, а вторая из С, то они встречаются в В. Если же первая выходит из С, а вторая из А, то они встречаются в пункте D. Чему равно m?
Какую долю всего маршрута (от А до С) составляет участок между В и D?

80. *Пункты А и В соединены двумя дорогами. Первая дорога в два раза короче второй и проходит через пункт С. Одновременно, по короткой дороге, из пунктов А и В выехали, соответственно, грузовик и мотоцикл. Доехав до пункта С, каждый из них вернулся в свой исходный пункт и продолжил движение по другой дороге. Грузовик и мотоцикл прибыли соответственно в пункты В и А одновременно. Скорости грузовика и мотоцикла постоянные. Если грузовик бы двигался со скоростью мотоцикла, а мотоцикл – со скоростью грузовика, то в момент возвращения мотоцикла в пункт В, грузовик также прибыл бы в этот пункт.
Найти: а) отношение скоростей грузовика и мотоцикла;
б) время движения грузовика с момента начала движения до встречи с мотоциклом на второй дороге, если известно, что в пункт С он добрался на 35 минут раньше мотоцикла.

81. *Между вокзалом и аэропортом курсируют такси, каждая из которых имеет свой порядковый номер – 1,2,… Движение организовано так, что такси отъезжает от вокзала в 6:00, а за ним с интервалом в 7 минут начинают работу согласно своим номерам остальные машины. После начала работы каждое такси курсирует туда и обратно независимо от остальных, делая стоянки в течении 5 минут по прибытии в любой из пунктов назначения. Известно, что каждое такси, отправляясь к аэропорту и обратно, тратит на первый км пути 2мин, а на каждый последующий км на 1/9мин меньше, чем на предыдущий. Пассажир отъехал от аэропорта в 9 часов 44 минуты. Определите номер его такси, зная, что расстояние от вокзала до аэропорта составляет 10 км.

Problems in English

82. Tourists came out of the camp at 11a.m. At 11:30 one of them noticed that he had left compass in the camp and run back to the camp. Once he had picked it up, he run with it to catch up with his friends. He met the group at 1p.m. When did he come back to camp?

83. Father and son where skating at the skating-rink. From time to time the father left the son behind. When the son started to run in the opposite direction, they started to meet 5 times as often as before. How much the father is quicker than his son?

84. Prove the Triangle inequality: ½x+y½≤½x½+½y½. →½x-y½≥½x½-½y½.