Сходящиеся последовательности и их свойства.

Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число а, что последовательность {xn−a} является бесконечно малой.

Если последовательность {xn→a } является сходящейся и имеет своим пределом число a, то символически это записывают так:limn→∞xn=a или xn→a при n→∞

Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое вещественное число a, что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N(ε) такой, что при всех n>Nэлементыxn этой последовательности удовлетворяют неравенству ∣xn−a∣<ε
При этом число a называется пределом последовательности.

Неравенство (5) можно записать в эквивалентной форме −ε<xn−a<+ε или, a−ε<xn<a+ε. (5')

Определение. Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует такое число a, что в любой ε-окрестности точки aнаходятся все элементы последовательности {xn} начиная с некоторого номера (зависящего от ε).

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Предположим, что два вещественных числа а и b являются пределами сходящейся последовательности {xn}. xn=a+an и xn=b+bn, где {an} и {bn} - некоторые бесконечно малые последовательности. Получим an−bn=b−a. Последовательность {an−bn} является бесконечно малой, а в силу равенства an−bn=b−a все элементы этой бесконечно малой последовательности равны одному и тому же вещественному числуb−a. Число b−a равно нулю, т. е. b=a. Теорема доказана.

Теорема 2. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Доказательство. Пусть {xn} - сходящаяся последовательность и a ее предел. Фиксируем некоторое положительное число ε и по нему номер N такой, что ∣xn−a∣<ε при n≥N или, a−ε<xn<a+ε при n≥N. Обозначим через A наибольшее из следующих (N+1) чисел: ∣a−ε∣,∣a+ε∣,∣∣x1∣∣,∣∣x2∣∣,...,∣∣хN−1∣∣. Тогда, очевидно, ∣xn∣≤A для всех номеров n, а это и доказывает ограниченность последовательности {xn}. Теорема доказана.

 

Следствие 1. Не всякая ограниченная последовательность является сходящейся. Так, например, посл. 0,1,0,1,...,0,1,... является
ограниченной, но не является сходящейся. В самом деле, обозначим n-й член этой последовательности символом xn и предположим, что эта последовательность сходится к некоторому пределу a. Но тогда каждая из последовательностей {xn+1−a} и {xn−a} являлась бы бесконечно малой. Стало быть, являлась бы бесконечно малой и разность этих последовательностей {xn+1−xn} а этого быть не может в силу того, что ∣∣xn+1−xn∣∣=1 для всех номеров n.

Последовательность {an} называется бесконечно малой, если для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N(ε) такой, что при всех n>Nэлементan последовательности удовлетворяет неравенству ∣an∣<ε.

Теорема 3. Сумма сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {xn} и {yn}.

Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn} сходятся к пределам а и b соответственно. Тогда в силу того что xn=a+an будут справедливы соотношения
xn=a+an,yn=b+bn, (6),
в которых anиbn представляют собой элементы некоторых бесконечно малых последовательностей {an} и {bn}. Из (6) вытекает, что(xn+yn)−(a−b)=an+bn. (7)

Т.к. сумма {an+bn} двух бесконечно малых последовательностей {an} и {bn} представляет собой бесконечно малую последовательность, то из соотношения (7) вытекает в силу определения, что последовательность {xn+yn} сходится и вещественное число a+b является ее пределом. Теорема доказана.

Теорема 4. Разность сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {xn} и {yn}

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству Теоремы 3, только вместо соотношения (7) мы получим соотношение (xn−yn)−(a−b)=an−bn.

Теорема 5. Произведение сходящихся последовательностей {xn} и {yn} представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {xn} и {yn}.

Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn}сходятся к пределам a и b соответственно. Тогда для элементов этих последовательностей справедливы (6), перемножая которые, мы получим
xn·yn=a·b+abn+ban+an·bn или, xnyn−a·b=abn+ban+an·bn (8)

Лемма 1. Если последовательность {yn} сходится к отличному от нуля пределу b, то, начиная с некоторого номера, определено частное {1yn} последовательностей {\{}1{\}} и {yn}, которое представляет собой ограниченную последовательность.

Теорема 6. Частное двух сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, предел второй из которых отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и представляет собой сходящуюся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей {xn} и {yn}.

Доказательство. Предположим, что последовательности {xn} и {yn} сходятся к пределам a и b соответственно. В силу леммы 1 найдется номер N такой, что при n>N элементы ynнe обращаются в нуль, определена последовательность {1yn} и эта последовательность является ограниченной. Начиная с номера N, мы и будем
рассматривать частное {ynxn}. В силу определения достаточно доказать, что последовательность {ynxn−ba} является бесконечно малой. Будем исходить из тождества ynxn−ba=yn·bxn·b−yn·a (9)

Т.к. для элементов xn и yn справедливы (6), то

n·b−yn·a=(a+an)·bn−(b+bn)·an=anb−bna

Подставляя (10) в (9), получим ynxn−ba=1yn(an−babn) (11)

Остается доказать, что в правой части (11) стоит элемент бесконечно малой последовательности, но это сразу вытекает из того, что последовательность {1yn} (в силу леммы 1) является ограниченной, а последовательность {an−babn} (как разность двух бесконечно малых) является бесконечно малой последовательностью. Теорема доказана.

25 вопрос

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.Определения

Пусть имеется множество , на котором введено отношение порядка.

Последовательность элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

— неубывающая

Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

— невозрастающая

Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

— возрастающая

Последовательность элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

— убывающая

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.^[1]

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Промежутки монотонности

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров , а лишь для номеров из некоторого диапазона

(здесь допускается обращение правой границы в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке , а сам диапазон называется промежутком монотонности последовательности.