Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-12-12 | 184 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Системы линейных однородных уравнений
Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные в первой степени. Так, например, есть линейное уравнение с одним неизвестным; - линейное уравнение с двумя неизвестными.
Если в исходной системе все свободные члены равны нулю, то система называется однородный. Такая система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение: .
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение: , и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Если система совместна и имеет единственное решение, то она называется определенной; если же решений бесконечно много, то система называется неопределенной. При работе с системой принципиальным является вопрос о ее совместности. Пусть доказано, что система совместна. Возможны следующие случаи:
а) если система совместна, то есть и число неизвестных равно рангу матриц А и В , то она имеет единственное решение;
б) если же система совместна, но , то она имеет бесконечно много решений.
Теорема Кронекера-Капелли: Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, что бы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.
ФормулыКрамера.
Рассмотрим частный случай системы (4), когда число уравнений совпадает с числом неизвестных. Пусть для определенности , то есть система имеет вид
.
Определитель называется основным определителем данной системы. Следующие три определителя называются вспомогательными:
, , .
Теорема Крамера:Если определитель матрицы А то система имеет единственное решение определяющееся формулами: .
Доказательство:
АХ=B.не трудно показать что матрица Х= является решением данного уравнения ( существует т.к.определитель матрицы А ).Действительно А()=В; ( А)В=В; ЕВ=В; В=В.Верно.Покажем, что данное математическое уравнение имеет единственное решение.Пусть решение данного уравнения, тогда
|
АХ=В определяется формулой Х= В. То есть = ==
Заметим что определитель матрицы А(1);
А(1)=
А(2)=
- - - - - - - - - - - -- - - - - - - -
А(3)=
Алгебраические дополнения последних формулах составлены к матрицам отличных от А, но при их нахождении столбик свободных членов вычеркивается, поэтому они совпадают с соответств. алгебраич. дополнением матрицы А.Таким образом:
Замечание: При доказательстве теоремы 5 мы получили попутно способ решения систем с помощью обратной матрицы, его удобно применять если обратная матрица, матрица систем известна.
Метод Гаусса. Решение систем линейных уравнений.
Метод Гаусса
Метод Гаусса –решение СЛУ в последовательном исключении неизвестных.
Замечание1-при решениисист. Методом Гауса работают только со строками расширенной матрицы.
Существует общий метод решения системы из уравнений с неизвестными, который называется методом последовательного исключения неизвестных или методом Гаусса. Последовательное исключение неизвестных проще и короче проводить с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы данной системы. К ним относятся:
а) перестановка местами каких-либо строк матрицы;
б) умножение или деление (сокращение) какой-либо строки матрицы на число, отличное от нуля;
в) умножение какой-либо строки матрицы на число и прибавление к другой строке.
Очевидно, что элементарные преобразования не изменяют ранга расширенной матрицы, другими словами, не нарушают равносильности исходной системы. После ряда таких преобразований исходная матрица будет приведена к одному из следующих видов:
или .
В первом случае система имеет единственное решение, во втором – либо бесконечно много решений, если , либо не имеет решений, если .
|
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!