Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций.

Неявной называется такая ф-ция у аргумента х, если она задана уравнением F(x,y)=0, не разрешенным относительно независимой переменной.

y=f(x), y=x²-1 - явные

F(x,y)=0, a²=x²+y² - неявные ф-ции.

1)a²=x²+y² - найдем производную, продифференцируем, считая у - сложной ф-цией х.

y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная

y*y`=-x, y`=-x/y

2) x³-3xy+y³=0

3x³-3(xy)`+3y<sup>2</sup>*y`=0 //:3

x²-(x`y+y`x)+y²*y`=0

y`y<sup>2</sup>-xy`=y-x²

y`=(y-x²)/(y²-x)

Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x₀,f(x₀)) при изменении x₀ на величину Dx

Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

дока-во: поскольку ф-ция определена и непрерывна на [a;b], то она достиг своего наибольш(наименьш) значения

m-наим f(x) на [a;b] M-наиб f(x) на [a;b]

а) m=M f(x)=c, на [a;b] f `(x) т.к. c `=0

б) m не= M f(x)=f(b), то наименьш(наиб) знач приним в 1-ой т. x=с M=f(x) c Є (a,b) f `(c)=0

Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест.

т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0.

Теорема Коши.

Если функции f(x) и g(x) не­прерывны на [ а,b] и дифференцируемы на (а,b), и g'(x)¹0 в (a,b), то существует точка cÎ(a,b) такая, что

(f(b)–f(a)/g(b)–g(a))=f'(c)/g'(c).

Доказательство: Отметим, что g(b)–g(a)¹0, так как в противном случае, по теореме Ролля нашлась бы точка c такая, что g'(c)=0, чего быть не может по условию теоремы. Составим вспомогательную функцию F(x)=f'(x)–f(a)–(f(b)–f(a))/(g(b)–g(a))[g(x)–g(a)]. В силу условия теоремы эта функция F непрерывна на [ а,b], дифференцируема на (а,b) и F(a)=0, F(b)=0. Применяя теорему Ролля, получим, что существует точка cÎ(а,b), в которой F'(g)=0. Но

F'(x)=f'(x)–(f(b)–f(a)/g(b)–g(a))g'(x), поэтому, подставляя вместо х точку c, получаем утверж­дение теоремы. Замечание: В формуле Коши, как нетрудно видеть, не обязательно считать а <b. Но тогда [ а,b] и (а,b) обозначают соответственно множества точек х, для которых b£x£ a,b<x< a. Как следствие из теоремы Коши, при g(x)=x полу­чим теорему Лагранжа.

53. Необходимые и достаточные признаки монотонности ф-ции:

Если x₂>x₁, f(x₂)>f(x₁), то ф-ция монотонно возрастает

Если x₂>x₁, f(x₂)<f(x₁), то ф-ция монотонно убывает

Монотонность - постоянство

Необходимые признаки:1)если ф-ция f(x) всюду в интервале возрастает, то ее производная в этом интервале неотрицательна (f`(x)>=0)

2)если ф-ция f(x) всюду в интервале убывает, то ее производная в этом интервале неположительная (f`(x)<=0)

3)если ф-ция f(x) всюду в интервале постоянна, то ее производная в этом интервале =0 (f`(x)=0)

Достаточные признаки монотонности: 1)если f`(x) в интервале положительна, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

2)если f`(x)<0, то ф-ция f(x) возрастает в этом интервале.

3)если f`(x)=0, то ф-ция f(x)=const на интервале.

x₁<a<x₂, x₂-x₁>0, x₂>x₁

1. если f`(a)>0, то f(x₂)>f(x₁)

2. если f`(a)<0, то f(x₂)<f(x₁)

3. если f`(a)=0, то f(x₂)=f(x₁)