Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-12-10 | 585 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Процесс Грама ― Шмидта ― наиболее известный алгоритм ортогонализации, при котором по линейно независимой системе a1,a2,...,ak строится ортогональная система b1,b2,...,bk такая, что каждый вектор bi линейно выражается через a1,a2,...,ai, то есть матрица перехода от {ai} к {bi} ― верхнетреугольная матрица.
Этот процесс применим также и к счётной системе векторов.
(Процесс Грама ― Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной матрицы в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами, что есть частный случай разложения Ивасавы.)
Классический процесс Грама — Шмидта
Алгоритм
Пусть имеются линейно независимые векторы
Определим оператор проекции следующим образом:
где — скалярное произведение векторов и . Этот оператор проецирует вектор ортогонально на вектор .
Классический процесс Грама — Шмидта выполняется следующим образом:
На основе каждого вектора может быть получен нормированный вектор: (у нормированного вектора направление будет таким же, как у исходного, а длина — единичной).
Результаты процесса Грама — Шмидта:
— система ортогональных векторов либо
— система ортонормированных векторов.
Вычисление носит название ортогонализации Грама — Шмидта, а — ортонормализации Грама — Шмидта.
Геометрическая интерпретация — вариант 1
Рассмотрим формулу (2) — второй шаг алгоритма. Её геометрическое представление изображено на рис. 1:
1 — получение проекции вектора на ;
2 — вычисление , то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование конца на . Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (2) вектор ;
|
3 — перемещение полученного на шаге 2 вектора в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (2).
На рисунке видно, что вектор ортогонален вектору , так как является перпендикуляром, по которому проецируется на .
Рассмотрим формулу (3) — третий шаг алгоритма — в следующем варианте:
Её геометрическое представление изображено на рис. 2:
1 — получение проекции вектора на ;
2 — получение проекции вектора на ;
3 — вычисление суммы , то есть проекции вектора на плоскость, образуемую векторами и . Эта плоскость закрашена на рисунке серым цветом;
4 — вычисление , то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование конца на плоскость, образуемую векторами и . Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (6) вектор ;
5 — перемещение полученного в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (6).
На рисунке видно, что вектор ортогонален векторам и , так как является перпендикуляром, по которому проецируется на плоскость, образуемую векторами и .
Таким образом, в процессе Грама — Шмидта для вычисления выполняется проецирование ортогонально на гиперплоскость, формируемую векторами . Вектор затем вычисляется как разность между и его проекцией. То есть — это перпендикуляр от конца к гиперплоскости, формируемой векторами . Поэтому ортогонален векторам, образующим эту гиперплоскость.
Геометрическая интерпретация — вариант 2
Рассмотрим проекции некоторого вектора на вектора и как компоненты вектора в направлениях и (рис. 3)
Если удалить из компоненту в направлении , то станет ортогонален (рис. 4):
Если из удалить компоненты в направлениях и , то станет ортогонален и , и (рис. 5):
В формуле (2) из вектора удаляется компонента в направлении вектора . Получаемый вектор не содержит компоненту в направлении и поэтому ортогонален вектору .
|
В формуле (3) из вектора удаляются компоненты в направлениях и (формуле 3 соответствует переход от рис. 3 к рис. 5; рис. 4 не соответствует формуле 3). Получаемый вектор ортогонален векторам и .
В формуле (4) из вектора удаляются компоненты в направлениях . Получаемый вектор ортогонален векторам .
Таким образом, по формулам (1) — (4) на основе векторов получается набор ортогональных векторов .
Численная неустойчивость
При вычислении на ЭВМ по формулам (1) — (5) вектора часто не точно ортогональны из-за ошибок округления. Из-за потери ортогональности в процессе вычислений классический процесс Грама — Шмидта называют численно неустойчивым.
|
|
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!