Аналитическое выравнивание динамических рядов способом наименьших квадратов

Наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание (определение тренда). В этом случае фактические урони ряда, заменяются уровнями, вычисленными на основе определенной функции, выбранной в предположении, что она наилучшим образом описывает эмпирические данные. Наиболее часто задача решается с помощью метода наименьших квадратов, когда наилучшим приближением выровненных данных к эмпирическим считается такое, при котором сумма квадратов их отклонений минимальна:

На практике часто применяется аналитическое выравнивание по уравнению прямой:

где — выровненное значение показателя; t — порядковый номер года в динамическом ряду; a_о и а₁ — параметры линейного уравнения.

Параметры прямой, удовлетворяющие методу наименьших квадратов, находятся из решения системы нормальных уравнений:

где Y – фактические уровни ряда; n — число лет ряда динамики.

Для упрощения расчетов центральному значению t придается значение 0, тогда еt = 0. С учетом этого из системы следует, что:

Þ

Аналитическое выравнивание делает более четким направление тренда и одновременно дает числовую ее характеристику. Так, параметр а₁ при выравнивании по прямой – это абсолютный прирост выровненного уровня за единицу времени t, или средний абсолютный прирост с учетом тенденции к равномерному росту (росту в арифметической прогрессии).

Выбор формы кривой для выравнивания осуществляется на основе анализа изучаемого явления и характера его динамики. Если рост происходит в арифметической прогрессии, то для выравнивания используют уравнение прямой. Если наблюдается динамика в геометрической прогрессии, то необходимо пользоваться уравнением кривой более высокого порядка (парабола второго порядка и т.д.).

Пример выравнивание динамического ряда объектов капитального строительства по способу наименьших квадратов представлен в таблице 2.3.

Таблица 2.3

Расчет параметров трендовой модели

По данным таблицы 2.3 и в соответствии с формулой 21 находим:

Таким образом, уравнение линейного тренда имеет вид:

На рисунке 2.5 представлен график выравнивания динамического ряда объектов капитального строительства (ОКС), где ряд 1 – это фактическое значение уровней динамического ряда ОКС, ряд 2 – выровненное значение уровней динамического ряда ОКС.

Для ознакомления со способами наглядного представления результатов статистической обработки студент, используя исходные данные (по вариантам) проводит выравнивание динамических рядов различными методами, определяя общее направление к росту, снижению или стабилизации уровня динамического ряда. По всем показателям строятся графики.

Рис.2.5. График выравнивания динамического ряда объектов капитального строительства

В результате изучения раздела 2.1 студент сможет:

- раскрыть природу выравнивания динамических рядов как базы для определения основной тенденции (тренда) развития отдельно взятого процесса или явления;

- объяснить разные методы механического и аналитического выравнивания, их содержание и направления практического использования;

- на примере выбранных динамических рядов получить практические навыки их выравнивания.