Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-09 | 535 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Известно, что конечная сумма, обладая переместительным свойством, не меняется от перестановки местами слагаемых. Возникает вопрос: изменится ли сумма сходящегося ряда от перестановки членов ряда?
Пусть ряд(1) n сходится: n=A. Объединим члены ряда произвольным образом в группы, не меняя при этом их порядка:
(2) nk = (a1+a2+…+an)+(an1+1+…+an2)+…,где{ni}–возрастающаяподпоследовательность последовательности {n}.
Теорема (сочетательное свойство сходящегося ряда): Ряд (2) сходится и имеет ту же сумму, что и (1).
(Последовательность частичных сумм {An’} ряда (2)– подпоследовательность последовательности {An} ряда (1),а следовательно, сходится и имеет ту же сумму.)
Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно. Но если все слагаемые внутри одних и тех же скобок в (2) одного знака, и ряд (2) – сходится, то скобки можно опустить, ряд (1) будет сходится.
Переместительное свойство абсолютно сходящегося ряда.
Теорема Дирихле-Коши: Если ряд (1) n –абсолютно сходится, тогда любой ряд вида (2), полученный из (1) произвольной перестановкой слагаемых также будет сходится абсолютно и иметь ту же cумму, что и ряд (1).
Теорема Римана: Если ряд (1) условно сходится, то в том числе для A=∞, можно так переставить члены ряда, что сумма его станет равна А. (без доказательства).
Вывод: абсолютно сходящиеся ряды обладают сочетательным и переместительным свойствами, а условно сходящиеся – только сочетательным свойством.
Условная сходимость числового ряда осуществляется за счет взаимного погашения положительных и отрицательных слагаемых и зависит от порядка слагаемых. Абсолютная сходимость определяется только скоростью убывания общего члена и поэтому не зависит от порядка слагаемых.
|
10. Критерий Коши РСФП.
Теорема (Критерий Коши РСФП): Последовательность f(x) :
[Необходимость. Дано: fn (x) : , n+p>n>
=
Достаточность. Дано: , , (*). При фиксированном числовая последовательность –фундаментальна, а следовательно, сходится: = .
В неравенстве (*) перейдем к пределу при p : , значит,
.]
11. Критерий Коши РСФР.
Теорема (Критерий Коши РСФР): Для того, чтобы ряд (2) : , , .
[ - критерий Коши доказан. < .]
Признаки Вейерштрасса и Дирихле
1) Теорема (достаточное условие равномерной сходимости функциональных рядов (Вейерштрасса)):
Если членыфункционального ряда (2) удовлетворяют в области неравенствам , и сходящийся числовой ряд, . Тогда ФР (2) , при этом числовой ряд называется мажорантой для ФР (2).
( Числовой ряд сходится, значит, по критерию Коши для числовых рядов : , Одновременно с этим
, т.евыполняется критерий Коши равномерной сходимость для ФР.)
Пример:
, x так как мажорантный ряд сходится, то ФР сходится равномерно.
2) Теорема (признак Дирихле РСФР): (2 )
Если выполняются условия:
1)
2) – при каждом фиксированном х монотонно убывает
3) ...+ , – равномерно ограничена, т.е. X, тогда (2 ) сходится равномерно.
Непрерывность суммы РСФР
Теорема (Непрерывность суммы равномерно сходящихся ФР): Пусть члены ФР непрерывны на [a,b], ряд равномерно сходится к S(x) на [a,b]. Тогда сумма ряда S(x) непрерывна на [a,b].
( Докажем [a,b] S(x0), т.е.
>0 >0: .
Рассмотрим (*).
Так как:
а) ФР >0 , [a,b] (в том числе для );
в) =u1(x)+...+un(x)- непрерывна на[a,b]
>0 >0: [a,b]: < , то в силу (*) при выполняется .)
Замечание. = =
Замечание. Условия теоремы носят достаточный, но не обходимый характер (т.е. есть ряды составленные из непрерывных функций сходятся неравномерно, но имеют непрерывную сумму)
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!