Темы1.3,1.4. Линейные векторные пространства. N-мерное пространство.

Вопросы к экзамену.

1 семестр

Раздел 1. Линейная алгебра

Темы 1.1, 1.2

1. Понятие матрицы, типы матриц

2. Операции с матрицами (сложение, умножение на число, умножение матрицы на матрицу, транспортирование матриц). Свойства операций.

3. Определители матриц, их свойства.

4. Разложение определителя по элементам любой строки, столбца.

5. Обратная матрица. Критерий ее существования и формула для вычисления.

6. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

7. Совместные, несовместные, определенные, неопределенные СЛАУ.

8. Формулы Крамера для решения СЛАУ.

9. Матричный метод решения СЛАУ.

10. Минор матрицы, ранг матрицы.

11. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы и их ранги.

12. Линейно зависимые, линейно независимые строки матрицы. Критерий линейной зависимости.

13. Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли.

14. Метод Жордано-Гаусса решения СЛАУ. Базисный минор, базисные и свободные переменные СЛАУ.

15. Решение однородных систем линейных уравнений (ОСЛАУ).

16. Критерий существования нетривиальных решений ОСЛАУ.

17. Фундаментальная система решений ОСЛАУ, общее решение.

Темы1.3,1.4. Линейные векторные пространства. N-мерное пространство.

Элементы векторной алгебры в Еn, n£3.

18. Понятие n -мерного вектора, операции с векторами.

19. Линейное арифметическое векторное пространство.

20. Линейно зависимая и независимая система векторов. Критерий линейной зависимости системы векторов.

21. Существование в Rn системы n линейно независимых векторов. Базис в Rn.

22. Линейная зависимость в Rn любой системы из m векторов (m > n).

23. Критерий базиса в Rn. Разложение вектора по базису и его единственность.

24. Скалярное произведение в Rn, его свойства. Экономический и механический смысл скалярного произведения.

25. n -мерное евклидово пространство, модуль вектора, направление косинусы вектора.

26. Проекция вектора на вектор, ортогональные, коллинеарные, компланарные векторы,.

27. Вектор как направленный отрезок. Декартов прямоугольный базис и декартова

прямоугольная система координат (д.п.с.к.).

28. Радиус-вектор точки, координаты точки в д.п.с.к.

29. Векторное произведение векторов в Е ₃, его свойства, механический смысл.

30. Смешанное произведение векторов в Е ₃, его свойства.

31. Условия ортогональности, коллинеарности, компланарности векторов в Е ₃.

 

Тема 1.5. Аналитическая геометрия

32. Понятие уравнения геометрического образа.

33. Плоскость, нормальный вектор плоскости. Общее уравнение плоскости и его частные случаи.

34. Угол между плоскостями, условие перпендикулярности и параллельности плоскостей, расстояние от точки до плоскости. Плоскость в Еn, n >3.

35. Прямая в Е ₃, ее направляющий вектор. Общие, канонические, параметрические уравнения прямой. Луч и отрезок.

36. Угол между прямыми в Е ₃. Перпендикулярные, параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые. Расстояние от точки до прямой в Е ₃. Прямая, луч и отрезок в Еn, n >3.

37. Угол между прямой и плоскостью, условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости, принадлежность прямой плоскости.

38. Прямая на плоскости, как частный случай прямой в Е ₃ и как линия пересечения плоскости с плоскостью ОХУ.

39. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.

40. Уравнение кривой второго порядка, его преобразование с помощью поворота и параллельного переноса осей координат.

41. Эллипс, гипербола, парабола. Оси симметрии, центр, вершины, эксцентриситет. Канонические уравнения и уравнения со смещенным центром.

Раздел 2. Математический анализ

Темы 2.1-2.5.

42. Множество, операции с множествами.

43. Функция одной переменной, способы задания. Основные элементарные функции, их графики. Сложная функция.

44. Предел функции при х ® х ₀ (х ®¥).

45. Бесконечно малая функция и ее свойства.

46. Бесконечно большая функция, связь с бесконечно малой.

47. Основные теоремы о пределах функции (критерий существования предела, единственность, предел суммы, произведения, частного).

48. Первый и второй специальные пределы.

49. Сравнение бесконечно малых функций.

50. Односторонние пределы функции.

51. Непрерывность функции в точке, на интервале, отрезке. Точки разрыва и их классификация.

52. Основные теоремы о непрерывных функциях (непрерывность основных элементарных функций, сложной функции).

53. Свойства функций непрерывных на замкнутом отрезке, абсолютный экстремум функции.

 

Семестр

Темы 3.1, 3.2

22. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

23. ДУ с разделяющимися переменными

24. Однородные ДУ.

25. Линейные дифференциальные уравнения.

26. Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия

27.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

 

Раздел 3. Ряды

Темы 4.1-4.3

28. Числовые ряды. Частичная сумма. Сумма ряда

29. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд

30. Достаточные признаки сходимости. Признак сравнения

31. Признак Даламбера

32. Радикальный признак Коши

33. Интегральный признак Коши

34. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Функциональные ряды. Сходимость функциональных рядов

Задания для промежуточной аттестации

Вариант №1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Определитель при значении а равном… Варианты ответов: а) -1; б) 5; в) -5; г) 1.

2. Матрица D=AB, где , равна… Варианты ответов: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Диагональной матрицей называется…

Варианты ответов:

а) матрица, все элементы которой, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю;

б) матрица, все элементы которой, не стоящие на главной диагонали, равны нулю;

в) матрица, полученная из данной матрицы заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером;

г) матрица, все элементы которой стоящие на главной диагонали равны единице, а остальные элементы равны нулю.

4. Решением системы является…

Варианты ответов: а) x = 0, y = 1; б) x = -1, y = 1; в) x = -2, y = 1; г) x = 0, y = 0.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. Прямая проходит через точки А (2,-1) и В (3,1). Тогда ее угловой коэффициент равен…

Варианты ответов: а) 2; б) ; в) -2; г) .

6. Уравнением прямой, параллельной , является …

Варианты ответов: а) ; б) ; в) ; г)

7. Уравнение гиперболы имеет вид . Длина ее мнимой полуоси равна…

Варианты ответов: а) 16; б) 4; в) 6; г) 36.

8. Координаты нормального вектора плоскости равны…

Варианты ответов: а) {-4, 3, -11}; б) {-4, -11, -10}; в) {3, -11, -10}; г) {-4, 3, -10}.

9. Прямая параллельна плоскости при значении а равном…

Варианты ответов: а) 1; б) 0; в) 5; г) -5.

10. Уравнение прямой проходящей через точку N (0,-3,1) перпендикулярно плоскости имеет вид…

Варианты ответов: а) ; б) ; в) ; г) .

11. Расстояние от точки А (1,-7,-3) до плоскости равно…

Варианты ответов: а) ; б) 49; в) 5; г) 7.

12. Установить какая из точек А (1,1,1), В (1,-2,0), С (0,1,0), D (0,-3,1) принадлежит плоскости

Варианты ответов: а) А; б) B; в) C; г) D.

13. Скалярное произведение векторов и равно…

Варианты ответов: а) 2; б) 1; в) -8; г) -2.

14. Даны векторы и , тогда их векторное произведение имеет вид…

Варианты ответов: а) ; б) ; в) ; г)

15. Смешанное произведение векторов , , равно…

Варианты ответов: а) 6; б) 1; в) 0; г) -6.

16. Для вектора соответствующий ему нормированный вектор имеет вид…

Варианты ответов: а) ; б) ; в) ; г) .

Примеры заданий по Математическому анализу.

1.Вычислить пределы:

 

 

2.Найти производную:

3.Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя:

4.Провести полное исследование функции и построить её график:

5.Вычислить неопределенный интеграл:

Вопросы к экзамену.

1 семестр

Раздел 1. Линейная алгебра

Темы 1.1, 1.2

1. Понятие матрицы, типы матриц

2. Операции с матрицами (сложение, умножение на число, умножение матрицы на матрицу, транспортирование матриц). Свойства операций.

3. Определители матриц, их свойства.

4. Разложение определителя по элементам любой строки, столбца.

5. Обратная матрица. Критерий ее существования и формула для вычисления.

6. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

7. Совместные, несовместные, определенные, неопределенные СЛАУ.

8. Формулы Крамера для решения СЛАУ.

9. Матричный метод решения СЛАУ.

10. Минор матрицы, ранг матрицы.

11. Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы и их ранги.

12. Линейно зависимые, линейно независимые строки матрицы. Критерий линейной зависимости.

13. Критерий совместности СЛАУ Кронекера-Капелли.

14. Метод Жордано-Гаусса решения СЛАУ. Базисный минор, базисные и свободные переменные СЛАУ.

15. Решение однородных систем линейных уравнений (ОСЛАУ).

16. Критерий существования нетривиальных решений ОСЛАУ.

17. Фундаментальная система решений ОСЛАУ, общее решение.

Темы1.3,1.4. Линейные векторные пространства. N-мерное пространство.

Элементы векторной алгебры в Еn, n£3.

18. Понятие n -мерного вектора, операции с векторами.

19. Линейное арифметическое векторное пространство.

20. Линейно зависимая и независимая система векторов. Критерий линейной зависимости системы векторов.

21. Существование в Rn системы n линейно независимых векторов. Базис в Rn.

22. Линейная зависимость в Rn любой системы из m векторов (m > n).

23. Критерий базиса в Rn. Разложение вектора по базису и его единственность.

24. Скалярное произведение в Rn, его свойства. Экономический и механический смысл скалярного произведения.

25. n -мерное евклидово пространство, модуль вектора, направление косинусы вектора.

26. Проекция вектора на вектор, ортогональные, коллинеарные, компланарные векторы,.

27. Вектор как направленный отрезок. Декартов прямоугольный базис и декартова

прямоугольная система координат (д.п.с.к.).

28. Радиус-вектор точки, координаты точки в д.п.с.к.

29. Векторное произведение векторов в Е ₃, его свойства, механический смысл.

30. Смешанное произведение векторов в Е ₃, его свойства.

31. Условия ортогональности, коллинеарности, компланарности векторов в Е ₃.