Рациональное распределение ресурсов между альтернативами

 

Актуальной является задача распределения ресурсов между альтернативами. В частности, интерес представляют задачи комбинаторной оптимизации, самая простая из которых — определение комбинации (альтернатив, проектов), максимизирующей "общие выгоды" при ограничениях на издержки.

Общая постановка задачи определения комбинации альтернатив с максимальной эффективностью (или эффективностью на единицу требуемого ресурса) заключается в определении сочетаний альтернатив, удовлетворяющих следующим целевым функциям:

 

 

при выполнении одного из следующих условий:

 

 

где Э — эффективность рассматриваемой комбинации альтернатив, полученной генерацией множества сочетаний с различным числом альтернатив;

Э _i — эффективность i -й альтернативы, входящей в рассматриваемую комбинацию из п альтернатив;

Р_Т — требуемый ресурс рассматриваемой комбинации альтернатив;

— требуемый ресурс i -й альтернативы, входящей в рассматриваемую комбинацию из п альтернатив;

Р_и — имеющийся в наличии ресурс рассматриваемой комбинации альтернатив;

— имеющийся в наличии ресурс i -й альтернативы, входящей в рассматриваемую комбинацию из п альтернатив;

С— заданное пороговое значение ресурса.

Эффективность исходного множества альтернатив рассчитывается на основе МАИ и может быть определена либо на одной иерархии, отражающей критерии эффективности, либо на основе отражения значений векторов приоритетов альтернатив, характеризующих выгоды и издержки, получаемые от их реализации.

Существуют ситуации, в которых при распределении ресурсов руководствуются следующим правилом: делать как можно больше при ограниченных (имеющихся в наличии) ресурсах. Целевая функция в данной задаче — обеспечить

 

при выполнении одногоиз условий

 

 

где N_a — число альтернатив;

А_i — альтернатива, на которую распределяется ресурс.

Таким образом, для решения задачи комбинаторной оптимизации необходимо прежде всего сгенерировать множество всех возможных сочетаний (комбинаций) из п- го числа альтернатив. В указанное множество должны входить парные сочетания, тернарные сочетания и далее все п — 1 сочетания, а также сочетание, состоящее из всех п альтернатив. Максимальное число возможных сочетаний N_K для данной задачи определяется на основе следующей формулы:

 

 

где К— число альтернатив в i -й комбинации, принимающеезначение в диапазоне [0, М ];

М — максимальное число рассматриваемых альтернатив.

Определим множество комбинаций с различными числом и составом альтернатив.

Допустим, имеется множество из М альтернатив и каждой альтернативе соответствует ее уникальный порядковый номер.

Требуется из заданного множества получить комбинации всех возможных альтернатив, которые должны удовлетворять следующим условиям: 1) в каждой i -й комбинации не должно присутствовать одинаковых альтернатив; 2) каждая i- я комбинация должна отличаться от других не менее чем одной альтернативой; 3) комбинации альтернатив должны содержать в общем случае все единичные, парные, тернарные и другие М-1 и М сочетания альтернатив. Каждой альтернативе в процессе генерации комбинаций присваиваются два типа признаков: "истина" (И) и "ложь" (Л).

В начальном состоянии всем альтернативам присваивается признак "ложь". В этом случае сгенерированная комбинация содержит нуль альтернатив. Далее осуществляется циклическое изменение признаков альтернатив и генерацияиз них новых комбинаций по следующим правилам.

Правило 1. Если альтернатива А₁ множества А имеет признак "Л", то изменяем его на признак "И" и заканчиваем изменение признаков у альтернатив. В противном случае, если альтернатива A₁ множества А имеет признак "И", осуществляем переход к альтернативе А₂.

Правило 2. Если i -я альтернатива A_i множества А имеет признак "Л", то изменяем его на признак "И" и заканчиваем изменение признаков альтернатив. В противном случае изменяем признак i -й альтернативы А_i множества А на "Л" и осуществляем переход к i +1 альтернативе А_i+1.

Правило 3. Если альтернатива А_N множества А имеет признак "Л", то изменяем его на "И" и заканчиваем изменение признаков альтернатив. В противном случае, если альтернатива А_N имеет значение признака "И", то генерируемая на данной итерации комбинация является последней и содержит все альтернативы множества А.

Таким образом, генерируемая на каждой итерации комбинация включает альтернативы множества А, имеющие на текущей итерации значение признака "Истина".

В табл. 2.11 приведен пример генерации комбинаций с учетом приведенного выше алгоритма для множества А, включающего три альтернативы.

 

Таблица 2.11