Ламинарный режим движения жидкости

Глава 4

ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
1. Общие представления

При движении реальной жидкости возникают силы гидравлического сопротивления, для преодоления которых и поддержания поступательного движения жидкости необходима затрата энергии. Практически это выражается в потере части напора.

Гидравлические сопротивления в трубопроводах подразделяются на линейные и местные. Линейные сопротивления зависят от длины канала и обусловливаются силами вязкости и влиянием стенок, ограничивающих поток. Местные сопротивления вызываются различного рода фасонными частями и арматурой, приводящими к деформации потока и изменению величины или направления скорости течения жидкости.

Определение потерь при движении реальных жидкостей является одной из основных задач гидравлики.

Потери в результате гидравлических сопротивлений в зависимости от того, рассматриваются давление или напор, выражаются разностью

ΔН = H₁ -Н₂или Δp=р₁-р₂

и имеют размерность соответственно напора или давления.

При исследовании потоков со свободной поверхностью или гидросистем с низким давлением обычно пользуются выражением напора. В настоящей работе рассматриваются в основном системы высокого давления, в которых потери напора в виде разности не обнаруживаются, поэтому чаще используют выражение полного давления.

Из (3.9) следует, что гидравлические потери зависят от скорости потока. Эта зависимость имеет вид

Δp = k ∙vⁿ (4.1)

где k— коэффициент пропорциональности; п — показатель степени, находящийся в пределах 1—2 и зависящий от режима движения жидкости.

 

Режимы движения жидкости

Существуют два резко отличающихся один от другого режима движения жидкости: ламинарный, при котором отдельные струи жидкости, перемещаясь, не смешиваются между собой, и турбулентный,когда струи жидкости интенсивно и беспорядочно перемешиваются. Опытами установлено, что ламинарный поток переходит в турбулентный в

зависимости от критической безразмерной велечины

Re=υ d/ν=υ D/ ν

(4.2)

которая получила название числа Рейнольдса; здесь v -скорость потока; d - диаметр трубопровода иν-кинематический коэффициент вязкости жидкости; D =4S/χ –гидравлический диаметр. гидравлический диаметр.

Ламинарный режим течения жидкости в круглой трубе сохраняется до критического значения числа Рейнольдса, равного 2300

Re =υ d/ ν<Re_кр

 

При числах Re>2300 начинается интенсивное образование возмущений, нарушений устойчивости движения в потоке, что ведет к

изменению режима течения жидкости. Для гибких рукавов Re_кр= 1600.

Из (4.2) определяется критическая скорость, т. е. скорость, ниже которой в данной трубе и для данной жидкости всегда будет иметь место ламинарное движение

υ_кр

Число Рейнольдса можно выразить через расход жидкости из условия vS = Q. Для трубопроводов некруглого и кольцевого сечений при определении числа Рейнольдса используется вместо диаметра трубы гидравлический радиус [см. формулу (3.4)]

Таким образом, переход ламинарного режима в турбулентный происходит при увеличении скорости потока или расхода, при уменьшении вязкости жидкости, при увеличении геометрических размеров трубопровода.

На практике возможны случаи существования в различных точках

участка одновременно обоих режимов.

Эксперименты показали, что в зоне ламинарного течения (Re< 2300) потери пропорциональны средней скорости потока (л = 1). При числах Рейнольдса2300 <Re< 10⁵ существует режим развивающейся турбулентности, потери связаны со средней скоростью зависимостью (4.1) при я, меняющемся от 1,75 до 2. При Re> 10⁶ потери пропорциональны квадрату скорости (n = 2), при этом течение называется автомодельным, так как практически потери напора перестают зависеть от числа Рейнольдса, т. е. от вязкости жидкости.

Таким образом, закон сопротивления, устанавливаемый формулой (4.1), при n= 2 является квадратичным, что соответствуетразвитому турбулентному режиму; прип = 1 закон сопротивления соответствует ламинарному режиму; при п = 1,75 существует область течения, при которой трубы называются гидравлически гладкими, а при п между 1,75 и 2 формула (4.1) характеризует переходную область турбулентного режима.

Для удобства практического использования и единообразия расчета расчетные формулы вида (4.1) обычно представляются в квадратичном виде, что позволяет установить общую форму закона сопротивления. Для точного учета сопротивлений принимают коэффициенты сопротивлений в виде функций от числа Рейнольдса.

Таблица 2

В гидравлических расчетах бывает удобно выражать потери давления в местных сопротивлениях через потери в гладкой трубе, поэтому существует понятие эквивалентной длины местного сопротивления, которое определяется из соотношения

Ϛ=λ L=λ (4.15)

т. е. эквивалентная длина выражается через диаметр.

Таким способом трубопровод с местными сопротивлениями в расчете можно заменить эквивалентным трубопроводом, используя зависимость (4.4),

Δp=λ (4.16)

6. Сопротивление при относительном движении

Относительное движение тела и жидкости возможно как при движении тела в покоящейся жидкости, так и при обтекании жидкостью неподвижного тела. В первом случае тело встречает со стороны жидкости сопротивление, для преодоления которого необходима некоторая сила. Во втором случае, наоборот, тело оказывает сопротивление движению жидкости, на преодоление которого затрачивается часть энергии потока обтекающей жидкости.

Полная сила сопротивления, которая возникает при относительном движении тела и жидкости, складывается из равнодействующей элементарных сил трения, направленных по касательной к поверхности обтекаемого тела, и силы давления, являющейся следствием разности давлений на переднюю и заднюю поверхности тела. При движении тела по свободной поверхности жидкости возможно также волновое сопротивление тела

Воздействие потока на твердое тело в общем случае можно свести к вектору, приложенному в некоторой точке, называемой центром давления. Полный вектор, действующий на твердое тело, представляют в виде силы лобового R_л сопротивления, направленной вдоль вектора скорости набегающего потока, и подъемной силы R_п, направленной перпендикулярно. Эти две силы выражают через максимальное миделево сечение тела Sи скоростной напор потока:

R_п=с_пSρ , (4.17)

R_л= с_лSρ , (4.18)

где с_л — коэффициент лобового сопротивления; с_п— коэффициент подъемной силы.

Коэффициенты с_п и с_л определяются экспериментально для тел различной формы; значение этих коэффициентов можно найти в справочной литературе. Для тел выпуклой формы, приближенной к сфере, коэффициент с_л = 0,5 при турбулентном течении, для хорошо окатанного гравия с_п = 1,1, а для кускового угля — 1,2.

В зависимости от соотношения действующих на тело сил возможен подъем этого тела в жидкости, его погружение или состояние равновесия (витания).

 

Рассмотрим распространенный в практике случай движения тела в восходящем потоке жидкости (рис. 27). Такая задача возникает например, при бурении шпуров и скважин в горных выработках, а также при транспортировании смеси грунта и воды (пульпы). Основной величиной, которую необходимо при этом определить, является критическая скорость восходящего потока, представляющая собой такую скорость течения жидкости, при которой твердая частица остается во взвешенном состоянии.

Пусть частица объемом V и плотностью ρ_т удерживается на весу набегающим со скоростью ν_ж потоком жидкости. Сила тяжести частицы G=ρ_тgVуравновешивается «архимедовой» силой R_A= ρ_жgV, направленной вверх по вертикали, и силой лобового сопротивления, определяемой по формуле (4.18). Из условия равновесия этих сил (равенства проекций этих сил на направление движжия жидкости) получим

откуда критическая скорость

где S— площадь проекции тела на плоскость, нормальную к направлению движения.

Из формулы (4.19) следует, что при одном и том же значении критической скорости во взвешенном состоянии будут удерживаться тела с большим значением S.

Для тел простейшей геометрической формы (шара, цилиндра и т. п.) формула (4.19) может быть представлена теоретически. Так, для тела, имеющего форму шара, получим

(4.20)

При движении пульпы по горизонтальному трубопроводу крупные фракции имеют тенденцию к оседанию на дно трубопровода и тем интенсивнее, чем меньше скорость движения пульпы.Поэтому если средняя скорость движения пульпы окажется меньше некоторой минимальной скорости, то пульповод начнет интенсивно заиляться за счет выпадения на дно взвешенных частиц грунта. Поэтому при расчете пульповодов определяют критическую скорость, которая обеспечивает движение пульпы

без осаждения. Для расчета критической скорости предложены эмпирические зависимости типа (4.19), например

(4.21)

где d—диаметр трубопровода; ρ_п—плотность гидросмеси;φ— опытный коэффициент, зависящий от структуры гидро смеси (при размере твердых частиц 0—25 мм φ= 4,3; при 0—50 ммφ= 4,8).При скорости движения пульпы больше критической гидротранспорт становится неэкономичным из-за большого расхода воды приυ υ_кр вследствие оседания на дно крупных фракций; сечение трубы будет уменьшаться и скорость движения пульпы увеличивается до критического значения, что, впрочем, может привести к закупориванию трубопровода

Глава 4

ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
1. Общие представления

При движении реальной жидкости возникают силы гидравлического сопротивления, для преодоления которых и поддержания поступательного движения жидкости необходима затрата энергии. Практически это выражается в потере части напора.

Гидравлические сопротивления в трубопроводах подразделяются на линейные и местные. Линейные сопротивления зависят от длины канала и обусловливаются силами вязкости и влиянием стенок, ограничивающих поток. Местные сопротивления вызываются различного рода фасонными частями и арматурой, приводящими к деформации потока и изменению величины или направления скорости течения жидкости.

Определение потерь при движении реальных жидкостей является одной из основных задач гидравлики.

Потери в результате гидравлических сопротивлений в зависимости от того, рассматриваются давление или напор, выражаются разностью

ΔН = H₁ -Н₂или Δp=р₁-р₂

и имеют размерность соответственно напора или давления.

При исследовании потоков со свободной поверхностью или гидросистем с низким давлением обычно пользуются выражением напора. В настоящей работе рассматриваются в основном системы высокого давления, в которых потери напора в виде разности не обнаруживаются, поэтому чаще используют выражение полного давления.

Из (3.9) следует, что гидравлические потери зависят от скорости потока. Эта зависимость имеет вид

Δp = k ∙vⁿ (4.1)

где k— коэффициент пропорциональности; п — показатель степени, находящийся в пределах 1—2 и зависящий от режима движения жидкости.

 

Режимы движения жидкости

Существуют два резко отличающихся один от другого режима движения жидкости: ламинарный, при котором отдельные струи жидкости, перемещаясь, не смешиваются между собой, и турбулентный,когда струи жидкости интенсивно и беспорядочно перемешиваются. Опытами установлено, что ламинарный поток переходит в турбулентный в

зависимости от критической безразмерной велечины

Re=υ d/ν=υ D/ ν

(4.2)

которая получила название числа Рейнольдса; здесь v -скорость потока; d - диаметр трубопровода иν-кинематический коэффициент вязкости жидкости; D =4S/χ –гидравлический диаметр. гидравлический диаметр.

Ламинарный режим течения жидкости в круглой трубе сохраняется до критического значения числа Рейнольдса, равного 2300

Re =υ d/ ν<Re_кр

 

При числах Re>2300 начинается интенсивное образование возмущений, нарушений устойчивости движения в потоке, что ведет к

изменению режима течения жидкости. Для гибких рукавов Re_кр= 1600.

Из (4.2) определяется критическая скорость, т. е. скорость, ниже которой в данной трубе и для данной жидкости всегда будет иметь место ламинарное движение

υ_кр

Число Рейнольдса можно выразить через расход жидкости из условия vS = Q. Для трубопроводов некруглого и кольцевого сечений при определении числа Рейнольдса используется вместо диаметра трубы гидравлический радиус [см. формулу (3.4)]

Таким образом, переход ламинарного режима в турбулентный происходит при увеличении скорости потока или расхода, при уменьшении вязкости жидкости, при увеличении геометрических размеров трубопровода.

На практике возможны случаи существования в различных точках

участка одновременно обоих режимов.

Эксперименты показали, что в зоне ламинарного течения (Re< 2300) потери пропорциональны средней скорости потока (л = 1). При числах Рейнольдса2300 <Re< 10⁵ существует режим развивающейся турбулентности, потери связаны со средней скоростью зависимостью (4.1) при я, меняющемся от 1,75 до 2. При Re> 10⁶ потери пропорциональны квадрату скорости (n = 2), при этом течение называется автомодельным, так как практически потери напора перестают зависеть от числа Рейнольдса, т. е. от вязкости жидкости.

Таким образом, закон сопротивления, устанавливаемый формулой (4.1), при n= 2 является квадратичным, что соответствуетразвитому турбулентному режиму; прип = 1 закон сопротивления соответствует ламинарному режиму; при п = 1,75 существует область течения, при которой трубы называются гидравлически гладкими, а при п между 1,75 и 2 формула (4.1) характеризует переходную область турбулентного режима.

Для удобства практического использования и единообразия расчета расчетные формулы вида (4.1) обычно представляются в квадратичном виде, что позволяет установить общую форму закона сопротивления. Для точного учета сопротивлений принимают коэффициенты сопротивлений в виде функций от числа Рейнольдса.

Ламинарный режим движения жидкости

Рассмотрим определяемое перепадом напора в ней (рис. 23). Сила, создаваемая перепадом давления на торцах выделенного элемента с радиусом r, уравновешивается силами трения по боковой поверхности на длине l.Из указанных условий следует

— μ 2πrl=Δpr²или2lμ =- Δpr.

Интегрируя полученное выражение и используя граничные условия, что скорость частиц жидкости на стенке (при r= R) равна нулю, получим

r= 0, т. е. на оси трубы получим максимальную скорость

 

y Umax

Рис. 23. К расчету потерь в трубопроводе

 

 

Таким образом, скорость вязкой жидкости по живому сечению потока изменяется. Эпюра скорости образует параболоид вращения. Общее выражение для средней скорости потока имеет форму

υ_ср =υ = ,

или с учетам (4.3)

υ = ,

υ= .

Средняя скорость в данном случае равна половине максимальной. Формула (4.3) выражает зависимость между скоростью течения вязкой жидкости в гладкой круглой трубе, ее длиной и перепадом давления. Для удобства расчета эту формулу удобно преобразовать к стандартному виду (умножением и делением на 2υp)

Δp=

или

Δp= (4.4)

где λ=64/Re – коэффициент гидравлического трения для ламинарного режима.

Выражения (4.4) называется формулой Дарси и сохраняет силу и для турбулентного режима, однако в этом случае X будет иметь другой вид.

Для определения потер напора в некруглых трубах в формуле (4.4) вместо диаметра необходимо вводить гидравлический радиус. В этом случае формула приводится к виду

Δp= (4.5)

По равенству гидравлических радиусов круглого и отличного от круглого поперечных сечений определяется эквивалентный диаметр канала

d_э= . (4.6)

Полученные выше формулы справедливы для стабилизированного ламинарного течения вдали от входа в трубопровод. Дляначального участка трубопровода в этих формулах необходимо принимать . При расчете технических труб обычно принимают

.

где 75 принимают для стальных труб, а 150 — для гибких шлангов.

Ламинарное течение жидкости обычно имеет место в щелевых зазорах, являющихся элементами гидравлических устройств. Щелевыми называются зазоры, в которых скорость жидкости не достигает значений, вызывающих ее турбулентность. Различают плоские и кольцевые щелевые зазоры.

Рассмотрим случай плоского зазора (рис. 24), когда поток жидкости возникает под действием перепада давления Δp=p₁-p₂ (при p₁>p₂). Длина зазора ι, ширинаB, высота δ.

Выделим в зазоре элемент высотой y и напишем условие его равновесия

τLB=ΔpBy

С учетом (1.7) приходим к следующему дифференциальному уравнению

-μ = y

Если принять, что скорость течения на стенках зазора (при 6/2) равна нулю, получим интеграл приведенного уравнения

u=

 

Следовательно, скорость течения в зазоре изменяется по параболе (кривая 1 на рис. 24).Максимальная скорость будет при у = 0

u_max=

Средняя скорость

ν= u_max=

Расход жидкости в зазоре между пластинками

Q=Sυ= (4.7)

Из (4.7), если известен расход в зазоре, можно определить перепад давления Δр.

Рис. 24. Схема течения жидкости в плоском зазоре

 

 

Рис. 25. Схема кольцевого зазора

 

Если одна из стенок, например нижняя, перемещается со скоростью ν_{1 ,} то ее перемещение будет вызывать перемещение слоев жидкости по линейному закону в функции расстояния от неподвижной стенки (кривая 2 на рис. 24). Это приведет к изменению расхода через зазор на величинуν₁Δb/2.

Кольцевые щели образуются двумя соосно расположенными цилиндрическими поверхностями, например цилиндр—поршень (рис. 25). Так как в подобных соединениях размер щели δ по сравнению с диаметром цилиндра D ничтожно мал, то расход через зазор можно определить по формуле (4.7), заменив значениеВ = πD,поэтому

Q=πD= . (4.8)

Так как расход изменяется пропорционально третьей степени зазора в парах цилиндр—поршень, важно обеспечить весьма малые зазоры между ними.

Для определения расхода жидкости в кольцевом зазоре, образованном эксцентричными цилиндрическими поверхностями, и в случае весьма длинных кольцевых зазоров можно пользоваться формулой

Q= (4.9)

где ε=x/δ – относительный эксцентриситет (х- величина; δ- номинальный зазор).

При максимальном значении эксцентриситета x=δ или ε=1 расход через щель увеличивается в 2,5 раза по сравнению с концентричным зазором

Q₃= 2,5 Q.

Для случая турбулентного течения жидкости в зазоре влияние эксцентриситета на расход значительно меньше и при полномэксцентриситетаравно примерно 1,2 Q.