Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) — КиберПедия 

Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

2017-11-22 198
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

Дана система линейных алгебраических уравнений

Ax = B

Необходимо найти из этого уравнения вектор х.

Методы решения СЛАУ делятся на прямые и итерационные.

Прямые методы дают точное решение за конечное число арифметических операций. Недостатком прямых методов является то, что на ЭВМ вычисления делаются с погрешностью, а это может привести к тому, что полученное решение будет неверным. При хорошо обусловленной матрице А прямые методы необходимо использовать при размерности матрицы А n <= 200.

Итерационные методы основаны на построении сходящейся к точному решению рекуррентной последовательности. В отличие от прямых методов итерационные дают решение с заданной погрешностью за неизвестное заранее число действий.

Метод исключения Гаусса

Метод исключения Гаусса является прямым методом, суть которого основана к сведению исходной СЛАУ к СЛАУ с верхней треугольной матрицей.

На первом шаге комбинацией 1-й строки и i -й строки (i =2.. n) обнуляется 1-й столбец матрицы, начиная со второго элемента. Для этого 1-я строка A и 1-й элемент B делятся на a 11 и умножается на ai 1 для соответственно i -й строки. Далее из получившейся 1-й строки вычитается i -я:

…………………………………

На втором шаге аналогичными преобразованиями обнуляется второй столбец матрицы А начиная с 3-го элемента. Аналогичные действия проводятся для всех столбцов до (n – 1)-го. В результате этих преобразований получается система с верхней треугольной матрицей:

Эта система решается с конца:

xn = dn / cnn

Подставная xn в предпоследнее уравнение легко найти xn –1 и т. д. до получения x 1.

Метод Зейделя

Метод является итерационным. В качестве начального приближения задается вектор решения x 0.

В основе метода Зейделя лежит последовательное вычисление x 1, x 2 и т. д. из соответственно 1-го, 2-го и т. д. уравнений системы.

Первый шаг итерации начинается тем, что из первого уравнения вычисляется x 11:

Далее определяется погрешность E=|x11 – x10| и полагается x 10 = x 11.

Из второго уравнения аналогичным образом вычисляется x 21:

По x 21 и x 20 определяется очередное значение погрешности E=max(E,| x 21- x 20|) и полагается x 20 = x 21. Процесс вычисления xj 1 по аналогии с x 21 продолжается до вычисления xN 1. Первый шаг итерации заканчивается проверкой Е на допустимую погрешность. Ели Е больше допустимой погрешности, то выполняется очередной шаг итерации начиная с вычисления x 11. Если Е окажется меньше допустимой погрешности, то итерационный процесс завершается с решением в векторе x 0.

Метод простой итерации

Сутьметода основана на сведении исходного уравнения

Аx = В

к виду

x = x + u (Ax – B),

где u — произвольная константа, подбираемая индивидуально для каждого уравнения из условия наилучшей сходимости итерационного процесса.

В качестве начального приближения в методе задается вектор x 0. Затем вычисляется новое приближение вектора x

x 1 = x 0 + u (Ax 0 B)

и погрешность E= . Если Е окажется меньше погрешности, то решение в x 1. В противном случае полагается x 0 = x 1 и итерационный процесс продолжается с вычисления очередного x 1.

 


Поделиться с друзьями:

Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...

Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...

Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.024 с.